【原创】补充一下割圆法 [ 安德的游戏 ] 于:2007-05-15 18:35:33
我们说到刘徽用割圆法得到了圆周率的值，那么什么是割圆法呢？我们先看看圆内接正六边形，如果圆的半径是1的话，那么六边形的每一边都是1，周长就是6。如果用圆内接正六边形近似圆周的话，就可以得到跟直径的比，也就是圆周率的近似值是3。如果像下面这张图，每一边都变成两条边，也就是说内接正多边形的边数翻一倍，根据刘徽得到的结论，边长就会更接近圆周。其实几何上可以证明，边长跟正多边形的面积是关联的，当正多边形边数越多，就越接近于圆，面积也就越接近于边长为一的圆面积，也就是圆周率的数值了。

具体的操作，我们假设圆内接正n边形的边长是d，那么根据勾股定理，2n边形的边长就是sqrt(l^2+(d/2)^2)。怎么得到l的长度呢？这个也是初中几何的内容，根据勾股定理得到l=1-sqrt(1-(d/2)^2)。（才发现l和1不好区分，大家凑合看吧）所以最后得到的圆内接正2n边形的边长就是sqrt(2-2*sqrt(1-(d/2)^2))。现在看到了，每多倍增一次多边形的边数，要做一次平方，两次开方，还有其他的一些运算。用Excel可以很容易得到当时祖冲之运算的结果，我把边数，边长和总长度列出来如下：
6       1               3      
12      0.51763809      3.105828541    
24      0.261052384     3.132628613     0.026800072
48      0.130806258     3.139350203     0.00672159
96      0.065438166     3.141031951     0.001681748
192     0.032723463     3.141452472     0.000420521
384     0.016362279     3.141557608     0.000105136
768     0.008181208     3.141583892     2.62842E-05
1536    0.004090613     3.141590463     6.57109E-06
3072    0.002045307     3.141592106     1.64281E-06
6144    0.001022654     3.141592517     4.10545E-07
12288   0.000511327     3.141592619     1.02053E-07
24576   0.000255663     3.141592645     2.66804E-08
看，祖冲之算到24576边形，已经很接近圆周率了。
有人问，第四列是什么数？这个，呵呵，接下来，就是我自己的发挥了。我们注意到，每倍增一次边数，得到的圆周率越来越接近真值，那么每次增加了多少呢？这个就放在第四列了，表示比上一次运算增加的差值。仔细看看，发现一个有趣的规律：每次增加的差值基本上是以四分之一递减的。到了384边形，这个规律已经很明显了。我们现在要大胆假设，以后的增加也是以这个规律来的，那么后面我们就不再算了，而是改用四分之一递减的无穷级数的和来代替。从384以后，无穷级数的和是前一个差值0.000105136的三分之一，我们把这个值加到384边形边长3.141557608上面，就得到了3.1415926533。看！这个数跟圆周率在小数点后面第十位才有差别，比祖冲之的结果精确100倍。
当然，这是对割圆法的创新，用几乎百分之一的边数得到几乎一百倍的精确度。不过想一想祖冲之是在什么年代，拥有的是什么样的数学方法和计算工具。而我们学到现在掌握了多少现代的科学知识和工具，这点改进也就只能算游戏了。

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