【原创】从一个小学数学问题谈开去 [ lucase ] 于:2007-07-12 07:42:25
同学参加招聘会，回来后谈到他们面试时候碰到的一个提问。这个问题说：甲、乙两个人沿一条直线段AB分别从A 点和B点相向而行，第一次相遇时甲走了40米，然后两人继续各自前进，走到线段的端点后再折回，第二次相遇时甲离开B点20米，问两次相遇的地方相距多远？    

    答案是40米。倒也简单，列个方程就一目了然了。但是人家要求用小学生能听懂的方式来做这个问题，我们几个数学系的大学生足足想了有十几分钟也没有想到一个好的初等解法。后来大家都去吃午饭，吃完后看中央二套的全球资讯榜。我突然想到，对于那个问题，实际上确实有更简单的初等方法。明显，从第一次相遇到第二次相遇，因为两人速度不变，而一共走了两个AB，所以甲应该走了两个40米也就是80米，这样第一次相遇的地点距离B应该是60米，从而两次相遇的地点相距40米。这样的方法，比所谓列方程要简单也自然许多了。我向我的同学们宣布了这个方法，我没有料到的是，原来要理解这个更简单也最初等的方法也需要我费一些口舌讲解。    

    不过，虽然问题已经圆满，我却没有什么感到高兴的地方。回想我从读书开始一直都是参加数学竞赛的，在解竞赛问题上是标准的科班出身，这样的问题，假如放在当时，估计不用费什么力气就做的出来，现在大家学习了高等数学，反而有些不习惯了。或者，在很多时候我们这些在高等数学上训练有素的人，在处理一些初等的问题时反而变的迂回起来，再也不象以前那样直截了当了。我印象很深的另外一件相类似的事情是，一次我返回宿舍，正碰上我的一个室友和他的一个老乡讨论一个平面几何问题，两人在草纸上画了一副图，加了一个坐标系，然后列出了一长串的方程，但是还是没有算出什么结果。他们来问我，我已经忘了具体是个什么问题，只是记得当初我做了一条辅助线，然后用了没有几行就得到了答案。当时他们两个好象还很感叹的样子。其实那个问题，假如在几何上有较好的训练，扔掉坐标系，直接考虑初等的方法，反而更加简洁漂亮，没有什么累赘。    

    其实我一直都有这样的两个疑问：    

    第一个：对我们这些在高等数学方面训练有素的人来说，初等数学究竟是什么样子的？  

    第二个：在初等的场合使用高等数学的方法，有时候是不是已经难以体会那种直截了当的“初等方法”的乐趣？    

    但是，这其中的第二种情形，有时却往往被当作“技巧”来赞赏。    

    由此引申开去，现在我们大家都喜欢谈论技巧之类的东西，倘不如此，便好象一副落伍者的样子，尤其是用一些看来好象“高深莫测”的方法，更是让人追捧。这样的时髦，恐怕不是什么好的现象。其实哪里有什么技巧，不管什么样的方法，使劲看穿了，也平凡到不过如此。象Hilbert在Dirichlet原理上的著名工作，以前让人惊叹于他的“妙手回春”，现在呢？这个问题可以当作一个在泛函和PDE上有较好的训练的大学生手中的练习题！其最初的解答已经可以整理成短短的若干行！（请看伍鸿熙的书《紧黎曼曲面》里的一个评论或G B Folland的书《偏微分方程》的相应内容）盖因为过去模糊的概念今天已经很清楚了，而过去需要具体研究的对象今天可以成披处理。而这不是因为我们的方法有多么了不起，而是我们已经很好的理解了旧的方法并做了系统的整理和发展。    

    我想，不管是在初等的还是在高等的领域里，我们都应该尽量少一些“迂回的技巧”，尽量避免一些“不得要领的技巧”引起的累赘，抓住问题的实质直截了当的解决问题，让数学在我们手中更加干净和漂亮，这才是真正值得提倡的。


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