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主题:海雯娜在微博上支持大麻像极了三年前某些人支持共存的样子 -- 亮子

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家园 同济版一样被人诟病

我们也是用的同济版,当时还不觉得,因为也没怎么花精力去学(相比同时学的《线性代数》已经算好的了,虽然后者分数比前者高得多)。但后来进修的时候用到时才发现很多东西没讲明白,后来看了龚昇教授的《微积分五讲》和《简明微积分》,才有茅厕顿开的感觉(就是前面帖子提到的龚昇),这个教材的观点很高,对数学家或者数学专业可能很适合,但对工科生来说有点太抽象了,后来又看了张筑生教授的《数学分析新讲》,这个教材比较适合本人的水平,大部分能比较容易的理解和运用。

作为普通人,只能对创造这一切的伟人们深感叹服,想知道他们到底就怎么想到这些的,所以看了《古今数学思想》,但不禁疑惑没解决,反而觉得这些人更加伟大了,除了牛顿莱布尼茨之外,又添了笛卡尔费马欧拉等一批。

这本《高等数学引论》其实很多年前也看过,虽然能理解一些作者的思路,很多地方感觉很惊艳,但除了感觉大师真牛之外很快就放弃了。这两年看齐民友的《重温微积分》,又看了一些中国古代数学,再翻这本书,终于又有了更深的认识,自觉终于把这个东西搞明白了。

所谓高等数学,给人的第一个印象就是处理”无限“的数学,《高等数学引论》开始讲了最早的无限表示法-也就是连分数。

人类最早认识的数是(正)整数,在整数的基础上又发展出分数,世界各大文明早期的最高成就基本都是分数的计算法,而中国又是其中达到最高水平的,《九章算术》里就总结了很多分数计算法,但实际上在历算家实际上已经达到更高的水平,也就是掌握了连分数的计算法,称为”通其率“(甚至可能在汉代就已经掌握了解同余方程(组)的”大衍求一术“)。在《三统历》中,出现了很多很大又很精确的数字,说明当时对连分数和分数序列的用法已经达到很高的水平。

分数和分数序列的意义在于:不管是有理数还是无理数,都可以通过一个连分数或者分数序列去逼近。看到这里,是不是感觉很熟悉?没错,这就是现代数学分析里提到的极限思想(潜无穷)。这条路实际上2000年前都被中国人给硬生生趟出来了,然而现代教材里很多都是从小数入手讲实数和极限,从费马的定义讲微分,难免会有一些突兀。实际上小数的诞生相当晚,费马也是15世纪的人了,而他那个时候欧洲还没有掌握连分数,所以极限理论晚于微积分很可能也有这个原因。

作为一个程序员,华老这本书一上来就觉得很亲近,因为在开始的部分就讲到了二进制的四则运算(虽然还不太理解这部分和高等数学有什么关系),这次看完,生出对自己在学校所经受的数学教育进行改革的想法。

上面提到的连分数,其实小学生就可以掌握,所以可以放到小学去讲,让小学生就对极限建立初步的概念,而珠算课-不知现在还有没有-可以取消了(可以作为和钢琴一样的业余活动,因为这个东西可以锻炼记忆力以及手眼心的配合,可以促进智力发育)。而中学的平面几何和立体几何可以取消或者压缩,这套东西本身对现代数学其实贡献不大,也不是主流,历史上几何学贡献最大的其实是严密的逻辑体系,但这个东西对非数学专业的人其实不是特别重要,数学不是靠严格证明发展的,主要还是靠人的创造力。近现代数学主要走的路子还是中国人的路子,即使是数学已经严重衰落的明朝,王文素也在实际上最早应用了导数,早于笛卡尔和费马,说明沿着这个路子到近现代数学是非常自然的。

集合论等特别抽象的东西也没必要讲太多,不如把整数-有理数-无理数-实数-复数-四元数这一套讲好,再加上解析几何和空间解析几何,以及基础微积分。这些传统”高等“数学的基础部分在高中就可以讲完。到了大学就可以学更加”现代“的数学,也就是《高等数学引论》第三部的部分和第四部,以及未完成的勒贝格积分、测度论以及概率基础等内容,讲法上当然可以更加抽象,尤其是对数学专业。

从个人经历来看,这套体系无论对理科和工科都有好处,理科里的纯数学就不用说了,可以更早接触到高等数学,无疑对数学创造这个对年龄要求很高的活动有好处。对其他更偏向实用的理工科也有好处,比如一般工科要讲的理论力学和工程力学,其实是建立在哈密顿力学的基础上的,而一般工科能讲到拉格朗日力学就不错了,更不要说哈密顿力学,这样讲其实很难讲明白。再比如物理中的量子力学也受哈密顿力学影响,甚至量子力学可以看成哈密顿力学的一种特殊情况。

实际上四元数的作用被大大低估了,历史上近世代数,矢量分析(包括点乘叉乘等概念,以及后来的线性代数和矩阵分析),物理上的散度旋度等概念都是从四元数开始的。可以说没有四元数就没有麦克斯韦方程组,而整个电磁学都可以用这个方程组描述(《费恩曼物理学讲义》的电磁学卷就是从它开始讲的,后面所有的内容都可以看成是对这个方程组的解释和应用)。

此外,高中或者大学也可以适当加入差分、拟合/逼近、或者”有限微积分“(《具体数学》里的定义)的内容,这部分在工程上应用比较广泛,理解起来也不困难,但沟通的知识比较多,应用的技巧也比较多,有些部分思想也比较深刻。

当然,对数学大神来说,我等凡人还是不要替他们着急了。像望月新一,自己发明数学符号,并用来自己推导各种已知和未知的定理;Arnold是通过读欧拉和厄米特的著作自学成才的;Grothendieck中学就开始琢磨测度论,并且用了3年左右时间琢磨清楚了,但被告知勒贝格几十年前就完成了。其实华老本人也是自学成才的(阿贝尔,伽罗华等人也是)。对这些大神来说,教材只能起一个引导作用,根本不能满足他们旺盛的求知欲。

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