主题:数学闲话(闲话开始前的闲话) -- 明日枯荷包

大河奔流 导读 复 111 阅 140479

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2010-08-16 04:03:33
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明日枯荷包
明日枯荷包`36973`/bbsIMG/face/0000.gif`70`4977`4023`92586`正五品上:中散大夫|定远将军`2009-07-15 04:04:56`
数学闲话(一)——代数结构(4) 有限域 42

要把一个环弄成一个域,我们可以回想整数环是怎么给弄成有理数域的:本来在整数环里有些除法可以做,比如15/3=5,这可以通过3*5=15来解释。有些除法就不能做,比如1/3=?,没有什么整数乘以3会等于1的,作为乘法逆运算的除法在这个时候就没法定义。这时候,我们可以把1/3这样的元素补充进去,最后弄出有理数集合来,它在加法乘法下就是个域:有理数集合里加减乘除都能做(除了除以0以外)。

前面的Zn怎么把它变成域?很遗憾,上面这套加元素的把戏要么行不通,要么用不着(不过这套把戏在其他地方还是很用得着的,比如可以添加元素把多项式环变成有理函数域,这个在这里就不讲了)。具体来看看为什么。

先看Z10,我们前面说过它有个怪异的地方是有可能两个不是[0]的元素乘起来也会是[0]:

[2]*[5] = [10] = [0]

这就麻烦了。你说比如[1]/[5]得是什么?就算我加进去一个原来不存在的元素x,命令它就是[1]/[5],那么我们会有[1]=x*[5],现在等式两边乘[2],我们就有

[2]=[1]*[2]=x*[5]*[2]=x*([5]*[2])=x*[0]

两边再乘以[2]:

[4]=[2]*[2]=x*[0]*[2]=x*([0]*[2])=x*[0]

这下好,[2]和[4]都等于x*[0],于是[2]=[4],这就乱套了。前面整数环可以变成有理数域,是因为没有这种会乱套的东西出来,而不会乱套是因为两个不是0的整数乘起来也不会是0。而Z10的性质就没这么好,所以没法变域。

再看Z7。它里面不会有两个不是[0]的元素乘起来得[0]。为什么?要是

[x]*[y]=[0]

那么[x*y]=[0],也就是x*y能被7整除(除以7的余数为0)。可7是一个素数,除了1和自己就没有因子了,所以不是x可以被7整除,就是y可以被7整除,换句话说,不是[x]=[0],就得是[y]=[0]。所以Z7里不是[0]的两个元素乘起来就不会是[0]。

你说这下好了,我们就可以玩整数环变有理数域的把戏了。可是用不着,实际上Z7不用添任何其他元素,它已经是个域了。在Z7里做乘法:

[1]*[1]=[1],[2]*[4] = [1],[3]*[5]=[1],[6]*[6]=[1]

于是就象在整数环里不用添加元素还是可以做的那些除法一样,我们有

[1]/[1]=[1],[1]/[2]=[4],[1]/[3]=[5],[1]/[4]=[2],[1]/[5]=[3],[1]/[6]=[6]

所有非[0]的元素其实都已经有了“倒数”(行话叫“乘法逆元”,到现在下面sywyang说的很牛叉的口诀中的“乘群么逆”大家都碰上了:乘法,群,么元,逆元)。

这下好了,任意两个元素的除法就解决了,比如:

[3]/[5]=[3]*([1]/[5])=[3]*[3]=[2]

而且这样的除法的确是乘法的逆运算:

[2]*[5]=[3]

Z7和Z10到底有什么差别,两个环的性质差这么多?一个成域是没指望了,一个天生就是域。大家应该早看出来了,7是素数,10是合数。是这样的,其实对于任何一个合数c,Zc里面都有两个不是[0]乘起来却是[0]的元素,于是没法成域。而对于任何一个素数p,Zp都天生是一个域,在里面加减乘除都可以。

有理数域,实数域,复数域这些域都有无限个元素,而Zp(p是素数)这样的域则里面只有p个元素,所以叫有限域。

那么到底有多少种有限域呢?这是个很重要的问题,叫做有限域的分类。

其实何止有限域,我们碰上一类东西,总喜欢给它们分分类,对原子们我们分出各种化学元素来,对力我们分出引力电磁力强力弱力来,对生物我们分出各界门纲目科属种来,就算政治上都要分出左中右来呢。分类问题无论在哪个学科里都是顶顶重要的问题之一。所谓分类,就是把各个个体按照一定的性质归类,同样性质的归一类,不同性质的归在另一类。考虑的性质不同,分类的方法也不同。比如对原子,我们如果只考虑原子核内质子的数目,那么分出来的类就是化学元素,同一种元素的各种同位素(核内质子数量相同但是中子数量不同)都给归成同一类了;但是如果还要考虑核内中子数量,那么各同位素会被归到不同类中去。中学里我们学过氢有三种同位素氕氘氚,化学性质都一样,对于化学家来说,把它们看作相同的也不离谱。但是它们的其他性质就差远了,氕也就是在太阳那个环境里能核聚变,地球上要搞核聚变,得氘氚才行,对于搞核聚变的工程师来说,把它们归一类就荒唐了。所以考虑的问题不同,分类方法也可能不一样。

有限域的分类是按什么方式分呢?当然是按照同构的性质来分类,也就是说,两个域算是同一类,当且仅当它们同构,也就是结构相同。比如2是素数,Z2是个域,它里面两个元素[0]和[1],加法和乘法是这样的:

[0]+[0]=[0],[0]+[1]=[1],[1]+[0]=[1],[1]+[1]=[0]

[0]*[0]=[0],[0]*[1]=[0],[1]*[0]=[0],[1]*[1]=[1]

我现在定义另一个域,里面也有两个元素:”花“和”蛋“,它们也能做加法和乘法:

花+花=花,花+蛋=蛋,蛋+花=蛋,蛋+蛋=花

花*花=花,花*蛋=花,蛋*花=花,蛋*蛋=蛋

你说这”花+蛋“是有什么意义?啥意义也没有,也许是因为我要做蛋花汤想出来的呢,反正我这么定义了。但是稍微一观察,我们发现如果把”花“看作[0],”蛋“看作[1],它其实不就是Z2嘛:”蛋“”花“之间由加法和乘法定义出来的关系,和Z2中[0][1]之间由加法和乘法定义出来的关系是一样的。我们知道,结构就是这些关系形成的,于是蛋花域和Z2的结构是一样的:它们是同构的。代数学是研究代数结构的学问,它对结构是什么很关心;形成这些结构的元素具体是什么,是写成[0][1]还是蛋花,它并不太关心。所以有限域,或者是其他的代数结构,是以同构来分类的。两个代数结构如果同构,那么完全可以把它们看作是同一个东西。于是我们经常会在一些代数定理里看见”在同构的意义下唯一“这样的话。蛋花域和Z2当然不是同一个东西,一个里面是蛋花,一个里面是[0][1](大家记得这其实是整数集合的两个子集,[0]里面元素被2整除,其实就是偶数集,[1]是奇数集),但是在同构的意义下,它们是同一个东西。

对每个素数p,我们都有Zp是一个域,其中有p个元素;不仅如此,代数学里可以证明,如果一个域里面有p个元素,那么它一定是和Zp同构的。换句话说,有p个元素的域,在同构的意义下是唯一的,就是Zp。

对某个合数c,是不是有恰好c个元素的有限域呢?对大部分合数都没有。只有形状如p^n的合数,其中n是个大于1的整数,存在在同构意义下唯一的一个域,其中元素恰好有p^n个。所以没有恰好有10个元素的域,但是有恰好比如说有2^2=4,7^2=49,3^4=81个元素的域。具体这些域是什么,比较复杂,这里就不说了。

于是上面两段叙述完整地解答了有限域的分类问题。

对于”同余“和本篇”有限域“,大家应该记住的,就是对于一个素数p,Zp是一个域,所以可以做加减乘除,里面的元素是什么,怎么做加减乘除,就够了。


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关键词(Tags): #数学闲话#代数#有限域资深推荐:游识猷,
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