主题:几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 (0) -- changshou

2012-02-19 09:09:21changshou
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (19)

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (19)时空弯曲举例

19.0 静态球形天体

以稳定状态的地球为例。 忽略其他所有天体。也忽略自转(不忽略的话会有更丰富的现象,不过无自转的情形已足矣)。地球周边的弯曲时空是怎样的呢?

描述这种时空的是 爱因斯坦方程的 史瓦西解。我不讲怎么解方程, 我只讲 这个史瓦西解 是什么样的F

19.1 史瓦西解是静态的

在这个解中 存在一个整体的时空分解,将时空分为时间部分和空间部分。该时空 作为流形 是3维的空间部分 沿着一条线(时间部分)扫出来的。我们有一个坐标时间(目前就是一个参数而已)标记这条线。3维的空间部分 作为流形 是3维欧式空间挖掉一个实心球(如果我们只想研究地球外的时空)。挖掉的实心球 是被地球占据的空间。

该流形上的度量结构 当然是使用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义的。所有变系数 都与坐标时间无关,所以我称它是静态的(严格得说,静态条件比这还强一些。我不说是什么了,反正史瓦西解也是满足的)。但是 变系数们(包括时间方向的)依赖于空间位置

在这度量结构下, 每一个空间位置扫出的时间线都是类时的。 所以都可以由观察者的世界线实现。简单的说,某一个观察者可以固定其空间位置 随时间演化。这句话看起来像废话F。不是的F。以后我们会看到这有时是一件做不到的事F

目前为止,坐标时间是否被某观察者体验 尚属未知。

19.2 史瓦西解是球对称的

固定任何时刻后的空间部分有球对称性(不奇怪吧?地球是个球对称的东西)。 也即 变系数们只依赖于 到地球球心的距离(称为径向距离)

注意 这个径向距离只是一个数学距离。即我标记好空间部分的点后,把空间部分当作平直的3维欧式空间挖掉一个实心球 来处理 从而算出的距离。

19.3 史瓦西解是渐近平直的

指的是径向距离很大时,时空很接近闵可夫斯基时空。径向距离趋于无穷时,可任意接近于闵可夫斯基时空。这也不奇怪,因为我们应该能接受 离地球很远时 地球造成的时空弯曲应该很小F

这意味着,径向距离很大时, 所有变系数都很接近常数1(因为这是闵可夫斯基时空的情况)。因此19.1的坐标时间 极接近于 在径向距离很大时固定其空间位置的观察者所体验的 原时(严格的说 坐标时间 是无穷远处观察者的原时)。

19.4 史瓦西解 对径向距离的依赖

在空间部分 我们用球坐标,即 我们先定径向距离。 定好后 所有固定了径向距离的点都在一个球面上。在这球面上,我们再用经纬度来标记位置。

在变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”的定义中, 经纬度坐标前面的系数 和标准的3维欧氏空间中几何球面一样径向距离坐标前面的变系数 依赖于径向距离本身,径向距离越小,变系数越大。

最后 时间方向的情况是:径向距离越小,变系数越小F

19.5 史瓦西解的空间部分是内在弯曲的

由于史瓦西解是静态的,我们可以抛开时间只谈空间部分(如果不是静态就不可以)。其实19.4 已经讲清了, 现在说说直观上如何理解空间部分 不是平直的3维欧式空间。

在平直的3维欧式空间中画两个到原点 径向距离(即半径)分别为1和2的2维球面。在这两个球面上的测量赤道的长度。两个赤道的长度之差 是2π(2倍圆周率)

现在来到史瓦西解的空间部分。注意 史瓦西解的空间部分里的球面 和平直的3维欧式空间里的球面是完全一样的,都是以前讲的嵌入的几何球面(即我们通常说的标准的球面)。现在 两个到原点(地球球心) 径向距离(即半径)分别为1和2的2维球面(当然我们假定距离单位足够大 使得这两个球面在地球以外)。在这两个球面上的(物理地)测量赤道的长度。结果两个赤道的物理测量的长度之差 不是2π(2倍圆周率)。如果一定要得到2π,两个球面径向距离之差必须大于1F

原因在于径向距离坐标前面的变系数 导致计算赤道的长度(这时就要使用 史瓦西解的空间部分的度量结构了,否则就不是物理上测的长度了)与 平直的3维欧式空间中不同。反过来我们也可以说 所谓径向距离 只是一个用于标记位置的数学距离。事实上 两个径向距离之差为1的球面间物理测量的距离不是1。 当两个赤道的物理测量的长度之差是2π时,相应的两个球面物理测量的距离之差也不是1F。这样我们就确信 空间部分不是平直的3维欧氏空间

如果你只在史瓦西解的空间部分中 一个固定半径的球心在地球球心的球面上搞测量,你是无法和平直的3维欧氏空间中的球面区分的,因为史瓦西解中固定径向距离后径向的变系数就固定了,而球面部分的度量结构系数 和标准的3维欧氏空间中几何球面一样。但一旦比较不同半径的球面,就发现蹊跷了。

你可能对“物理测量的(长度)距离”还怀有疑虑。这究竟是什么?要测量 空间部分中的一条曲线的长度,原则上我们可以用很多小段等长的刚性的小棍 沿该曲线摆放,然后数小棍的个数而得到物理测量的长度(的极好近似)。而广义相对论预言 史瓦西解中用其度量结构算出来的就是 这长度

注意:不要担心狭义相对论里讲的 不同观察者测到的长度不一样的问题, 因为这里只有一个观察者在自己的时空分解中测量空间距离。事实上 狭义相对论里的某个确定的观察者测长度 也可以这样做。你还可能质疑放小棍需要时间,这是有道理的质疑。不过别忘了史瓦西解是静态的,因此坐标时间改变时,相应的时空分解中 空间部分中的一条固定曲线的长度是不变的。也就是说 空间长度测量 在静态时空中 不受坐标时间改变影响。(在非静态时空中情况就不同了。)

原则上我们可以在地球周边做这种测量来进行验证。 然而在天文尺度上 做这种测量不易作准 因为没有一个自然的运动是在空间部分沿着圆周进行的。 比较自然的运动 是自由运动,即测地线。

19.6 用测地线探测 史瓦西解

基本方法是这样的, 计算弯曲时空(史瓦西解)中的测地线(某物体自由运动的世界线)。 然后用平直时空的理论也计算 该物体运动的轨迹。结果是不同。然后进行观测,观测结果总是支持弯曲时空的理论结果。

典型例子有:水星的运动(类时测地线),光的弯曲(类光测地线, 见上篇),雷达波(电磁波)在行星间的反射(类光测地线)。当然这些测的是 太阳周边的(忽略行星的影响)史瓦西解。

不过我要强调,有很多极其精确的 广义相对论的验证 不是利用测地线搞的。

下一篇中我将详细解释一个 用类光测地线探测史瓦西解的例子:引力红移。 这个例子可以让我们直接体验时空弯曲(不是空间弯曲)。

待续

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