主题:几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 (0) -- changshou
共:💬346 🌺962新:
家园博客 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (21)

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (21)黑洞

21.0 史瓦西半径

前面讲了引力红移的道理,这和时间膨胀是一回事。一个有趣的问题是,史瓦西解的时空中 度量结构在时间方向的变系数 会不会随着径向距离的减少 而降为0?答案是肯定的。在某个半径处变系数的确会变为0,这叫做 史瓦西半径。 然而在地球周边我们不会体验到这一半径,因为它小于地球自身半径。别忘了上一节的史瓦西解 只描述地球外的时空(无物质的真空),对这部分时空爱因斯坦方程的右边的物质量是0(真空嘛)。在地球内部,物质量当然不是0,于是方程就变了。我们得根据地球物质的性质 写一个描述它们的物质量 并重新解方程。最后再把两个时空解在地球边界处拼接起来 得到描述全时空的解。这样我们就遇不到 史瓦西半径了

21.1 无限红移和事件视界

然而我们忍不住去考虑 如果没有地球占据一个3维实心球体,我们一直沿着径向走到史瓦西半径,会发生什么?

如果你还记得引力和弯曲时空是一回事,那你就会抗议:没有地球的话,根本就没有引力,哪来的时空弯曲?对不起,抗议无效。因为你的意识还是牛顿引力论的意识:引力的唯一来源是物质(的质量)。

难道不对吗?还真是不对。别忘了现在是爱因斯坦方程主导的世界了。爱因斯坦方程说:因为4维的时候弯曲的花样比较多,所以即使没有物质(方程两边都等于0),也不意味着时空没有弯曲(我在(17)已经讲过了)。物理上我们说 引力的来源除了物质还可以是引力自己,或者用等价的但更玄乎的话说:时空的内在弯曲 可以纯粹是由自身引起的。

那么真空中的爱因斯坦方程的解是怎样的呢?解 太多了。不过如果我们假设 这个解是静态的 且有球对称性, 那么我们就得到 史瓦西解。 事实上即使上一篇在讨论地球周边的时空(引力)时,我们也是这么解的(只不过这个解只在地球半径外有效)。

好了。现在我们知道在没有物质的情况下,史瓦西解 可以一直朝径向推进到(至少)史瓦西半径。这下就有意思了。史瓦西半径处 度量结构在时间方向的变系数 降为0,而按照上一篇的分析 这就是说当一个静止观察者A无限靠近 史瓦西半径的时候,他的时间流逝 和离开史瓦西半径有一段距离的静止观察者B(称为 远处观察者)比起来 无限的放缓。而接近史瓦西半径的观察者A 向远处观察者B发来的信号,频率越来越小,波长越来越大,携带的能量来越来越少(光子的能量和频率成正比)。若有另一个观察者C沿着径向自由的 从史瓦西半径外 朝史瓦西半径运动(这样的世界线是测地线),我们让一系列逐步靠近趋向史瓦西半径的静止观察者 在观察者C经过他们的时候 用光信号向远处观察者B 汇报 观察者C的位置。由于时间的无限膨胀和光波的无限红移 在远处观察者B看来,C需要无限长时间才能抵达史瓦西半径, 而且随着对史瓦西半径的接近,远处观察者B 看到的光也无限的暗淡下去

位于史瓦西半径处的球面,即半径为史瓦西半径的2维球面(更准确的说 是该球面沿时间方向运动而在4维时空中扫出的3维流形)叫做事件视界

21.2 穿越 事件视界

我们已经知道 远处观察者B看来 任何东西都需要无限长的时间才能抵达 事件视界。 可观察者C的时间体验却不同。观察者C的时间体验(原时)就是从 从史瓦西半径外某一处到事件视界的测地线的长度。经计算,这是有限的。于是在观察者C看来,他在有限时间内就可以抵达事件视界。 接下去他就可以穿越事件视界

穿越事件视界时 观察者C会有什么奇特感觉吗?只要限制在自身周边的很小局部内,就不会。因为此种情况下,时空近似地是闵可夫斯基时空。

21.3 再看广义协变性

前两节告诉我们不同观察者的时空体验可以极为不同。再回头看 广义协变性: 时空与爱因斯坦方程不依赖于坐标系(观察者)的选取。这时你应能体会到 这条语不惊人的性质是多么的不平凡

21.4 事件视界之内

好了,我们知道观察者C 可以自由穿越事件视界。接下来会怎样呢?这时会发生一件惊人的事:如果我们依然用我们一直用的坐标系(即(19)中对史瓦西解的描述),事件视界之内 时空交换。确切地说 原来的时间方向上的系数变成了正的,而径向方向的系数变成了负的(另外两方向 即球面经纬方向 不变)。由于“三正一负”式的 “勾股定理”中,“一负”的方向应该是时间方向,所以在事件视界之内 事件视界之外认为的(空间的)径向变成了时间方向,事件视界之外认为的时间方向变成了空间方向。这就是有的科普里说的:尺子变成了钟,钟变成了尺子

不必为这件事感到困扰。这里其实没有任何神秘。数学上讲,该坐标系在事件视界处就已经失效了(事实上有个变系数成了无穷大)。但这不意味着度量结构有什么问题,因为度量结构不依赖于坐标系。我需要的无非是选另一个坐标系。物理上讲,我们原先用的坐标系和时空分解 是远处静止观察者的坐标系和时空分解。 但在远处静止观察者看来,任何东西都不能抵达事件视界 更不用说到事件视界之内了。所以在事件视界之内再用这种坐标系和时空分解 可能是不妥的。这里的要点是:我们不仅要区分不同观察者的时空体验还要明白 某个观察者原则上可以体验到的时空 与时空本身 是不同的(在这个例子中,远处静止观察者(通过信息交换)原则上可以体验到的时空 只是时空的一部分:事件视界之外)。

当然为了比较事件视界之外和事件视界之内的时空,采用同一坐标系是方便的。因此下面我们还是用这坐标系(即(19)的坐标系)。

那么观察者C 在事件视界之内有何体验呢?他的世界线是类时的 向时间的未来方向(根据史瓦西解这个时空的时间定向 而定的未来方向,见(14))延伸的,它发出的光信号是类光的 向时间的未来方向延伸的。由于时空互换,从我们用的描述史瓦西解的坐标系角度看,观察者C(或光)沿对他而言的时间方向 向未来运动 等同于 沿减少径向距离的方式(但不必一定沿着径向)靠近(我们用的球坐标的)球心。这意味着 哪怕光也只能越来越接近球心。也就是说一旦进入事件视界,任何信号都不能从事件视界之内来到事件视界之外。 于是我们说这是一个(史瓦西)黑洞

注意 这里的光不能逃出事件视界的机制是:如果能的话,对发出光信号的观察者而言 就意味着光在向(时间上的)过去传播

另一个后果就是:事件视界之内无静止。(观察者C)时间的流逝 意味着在我们的坐标系下 径向距离变小。所以 此时我们说的 在我们用的坐标系中空间上静止 对C而言是时间上静止 而这是不可能的:时间方向上是无法静止的。

更有意思的是到达球心的原时(测地线长度)也是有限的,所以一切进入事件视界的东西必然在自身看来的有限时间内 坠入球心

21.5 奇点

球心就是著名的黑洞奇点。广义相对论要求一切进入事件视界的东西坠入奇点(更准确的说 是在自己世界线的时间方向上流逝到奇点)。但在奇点处会发生什么 广义相对论却回答不了。这是因为接近奇点时,时空弯曲量趋于无穷大,广义相对论失效了

一般认为,很靠近奇点时,必须使用(尚未确立的)量子引力理论

21.6 质量/能量

作为真空中爱因斯坦方程的解,由于没有物质,是不是所有的史瓦西解都一样呢? 事实上,在解方程的过程中会出现一个未定的常数,只有这个常数确定了,史瓦西解才完全确定。常数越大,史瓦西半径越大。

通过分析 史瓦西解对无穷远处观察者的影响,学者们指出这个常数应该解释为史瓦西解的总质量。这是储存在弯曲时空中的总质量,或者等价的说 是引力场的总质量

狭义相对论中,时间间隔与空间间隔被联系了起来(见(11)),质量和能量也被联系了起来(著名的爱因斯坦质能关系:能量等于 质量乘以光速平方)。我虽然没讲 质量/能量 联系的机制,但我想指出其基础,就和 时间间隔/空间间隔的联系一样,归根到底是 时空是闵可夫斯基时空。我们之所以通过分析史瓦西解对无穷远处观察者的影响 来定义总质量,就是利用了 史瓦西解是渐近平直的(在无穷远处趋向闵可夫斯基时空)。这也告诉我们(由质能关系),我们得到了 史瓦西解的总能量

然而我们有 总质量/总能量, 却没有局部的 质量/能量密度。这是因为任何合理的定义 应该使得 弯曲时空的质量/能量 和闵可夫斯基时空不同。这是因为 闵可夫斯基时空对应没有引力的情况,如果你希望定义弯曲时空(引力)的质量/能量,他们当然应不同于 没有引力的情况。 可是我们知道 闵可夫斯基时空 是任何弯曲时空的局部近似,局部区域越小, 近似越好。定义某种东西在某一点处的密度时,我们要让包含这一点的区域趋向于0,可这意味着我们回到了闵可夫斯基时空的情形。于是我们无法合理的定义弯曲时空(引力)的局部的 质量/能量密度

普通的物质和场(如电磁场)都是既有 总质量/总能量, 又有局部的 质量/能量密度(一大块物质有质量,其中一小片物质也有;整个电磁场携带能量,一个小区域内的电磁场也携带能量)。 所以我们知道,不能把黑洞想象为一团隐藏在事件视界里的物质 或弥漫在时空中的场

广义相对论中的质量/能量问题是著名的理论难题。对渐近平直的时空 我们算是有较成熟的理论了。 可对于不是渐近平直的时空,比如宇宙,我们连如何定义 总质量/总能量 都不知道。因此在一般的弯曲时空中 能量守恒(如果有的话)是怎么一回事,目前尚属未知

21.7 大质量天体坍缩可能形成黑洞

天体物理学家已在宇宙间指出了不少天体,怀疑他们是黑洞。大质量天体坍缩可能形成黑洞。组成大质量天体的物质跑哪里去了? 计算表明, 一部分被抛射出去,一部分则在有限原时内坠入奇点,在奇点处发生什么则没人知道。不过我们讲的 史瓦西黑洞 不是理想的模型,因为它忽略了自转。旋转黑洞是更好的模型。

待续

帖:3671602 复 3659016
帖内引用