主题:几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 (0) -- changshou
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家园博客 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (24)

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (24)时空分解与演化(续1)

24.0 如何描述已知时空

上一篇提了一些困难的问题。我们先看一个简单一点的。假如我们已有一个时空,我们如何在数学上描述好它?

24.1 时空没有自然的分解,但时空可被分解

广义相对论中的时空是没有自然的分解为时间与空间的办法的(其实在狭义相对论中也是这样)。但没有自然的分解不代表不能分解。事实上每个观察者都可以选择自己的时空分解。然而我们讲过 单个观察者使用的时空分解只是局部的。

能不能有整体的时空分解呢?我们考虑以下的可能性:能否存在一个整体的坐标时间 以使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的,即 对每一个坐标时刻,时空在这一时刻的截面都是 相同的3维流形(注意我没说是相同的度量流形)。整体的意思是 我们把三维的流形上的每一个点都看作一个观察者的话, 这些观察者都使用相同的坐标时间。注意我说坐标时间线 就已经意味着 对每个上述的观察者而言 沿着整体坐标时间运动的世界线都是类时的。

如果有一个 这样的整体的坐标时间 我们就有无穷多的其他的 整体的坐标时间。这是因为我们可以把观察者们的世界线 作连续的形变(只要形变幅度不大 就仍然是类时的)。从这个意义上讲 没有一个自然的优于其他的 整体坐标时间的选择。但我们先不管这件事,只问能不能找到 一个整体的坐标时间。另外我们还要求 整体的时间线不能首尾相接。

一般而言,在作为爱因斯坦方程的解的时空上 是找不到上面描述的整体坐标时间的。然而我们还有因果性的考虑。

24.2 因果结构

在(14)中我们讲了我们只考虑有因果结构的时空。而当时我们描述了一种可行的要求,正好就是24.1中要求的情况:有整体的(不首尾相接的)坐标时间 使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的。于是我们感到24.1中的要求 似乎是合理的

24.3 柯西超曲面

可是24.1中的要求(存在整体坐标时间)要求 感觉也太强了。于是我们考虑另一种可能:时空中 存在一个3维流形,并且每一条类时或类光的曲线 和这个3维流形 正好相交一次。如果这件事成立,我们就说时空是全局双曲的时空,而这个3维流形 就叫 柯西超曲面。一个全局双曲的时空包含无穷多的柯西超曲面。我们并没有 一个自然的选择某个特定柯西超曲面的办法。先不管这问题,随便乱选一个就行。

这个要求实际上是 我们想因果结构存在的时候 自然也能想到的。因为我们可以把这3维流形看成是 一个观察者A在某一时刻对他而言的全部空间。该时刻就是该观察者A的类时世界线和这个3维流形的交点。物理上我们当然不希望 某个其他的观察者B能在两个对他自己而言的不同时刻 出现在 对观察者A而言的某一时刻的空间中(这相当于说从A的角度看B在作回到某一时刻的时间旅行)。同时因为这是全部空间,所以我们自然希望所有其他观察者或者光线(世界线往两头不断延伸的观察者或者光线),都出现在(观察者A在某一时刻对他而言的)全部空间中 的某一处。仔细想想,这说的就是第一自然段的内容。

全局双曲的时空 其定义的优点在于 我们只在处理一个3维流形。而在24.1中我们在处理无穷多的3维流形(每个整体坐标时间的时刻 都对应一个),看起来要麻烦得多。

这个 “全局双曲”的定义看起来和24.1的存在整体时间不是一回事。但数学上可以证明,全局双曲的时空 存在整体的坐标时间。于是24.1 和24.3 的要求可以统一起来!

24.4 广义协变性

在24.1 和24.3 的讨论中 我们容许有很大的选择性。我们可以随意选择整体坐标时间。在知道了是时空是全局双曲的情况下,我们可以随意选择柯西超曲面。会不会出乱子?不会。你可能想到了,这又是我们的老朋友:广义协变性 在起作用了。选择整体坐标时间 实际上是在选时空分解。相当于选择 有一部分整体化了的坐标系(沿时间方向是整体的)。而时空是不依赖于坐标系的选取的。

24.5 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的

为什么要扯全局双曲的时空之类的东西?

第一 如前所述,这类时空不会有因果关系方面的问题。

第二 这类时空 有整体的坐标时间和 对应于(该坐标时间的)某一时刻的空间部分(柯西超曲面)。于是 我们可以说 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的。柯西超曲面和坐标时间的选择有极大的任意性,但这不过是对应着 对同一时空的不同描述罢了

待续

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