主题:几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 (0) -- changshou
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家园博客 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (25)

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (25)时空分解与演化(续2)

25.1 柯西超曲面和初值问题

回顾23.4对初值问题的描述。初值问题说的是给定物理量在某一时刻的信息,用微分方程推出 物理量在(过去的或未来的)其他时刻的情况。于是我们说 物理量是从初值 随时间演化而得到的

根据24.5 我们把全局双曲的时空看成是 柯西超曲面随坐标时间演化而得到的。 于是我们觉得 爱因斯坦方程的初值问题应该是 某些数学量 从某柯西超曲面开始 随坐标时间演化。

25.2 柯西超曲面的度量结构和外在弯曲

把时空的度量结构限制在柯西超曲面上,我们可以得到一个柯西超曲面上的度量结构。因此 柯西超曲面的度量结构 应该是我们在设置初值问题时,放在某一时刻的全部空间(即柯西超曲面)上的数学量。

不过显然我们也需要知道 柯西超曲面这个3维流形 是怎样嵌入在 时空这个4维流形里的。也就是说我们必须知道 柯西超曲面在时空中的外在弯曲程度。一个重要的数学事实是 外在弯曲可以只用柯西超曲面上面的数学量描述。这听上去很奇怪。大体说来是因为 外在弯曲的情况,可以用时空中 “垂直于”柯西超曲面的方向沿柯西超曲面移动时的变动情况来描述。而这方向的变动可以只用柯西超曲面上面的数学量描述。

因此我们知道从度量结构的角度看,我们应该将 柯西超曲面的度量结构 和描述柯西超曲面外在弯曲的数学量 联系到柯西超曲面上。这里的要点是 这两个数学量(柯西超曲面的度量结构 和描述柯西超曲面外在弯曲的数学量)都可以看成是 柯西超曲面上的东西。当然我们一旦这样做,我们事实上就可以忘记他 们是来自于4维时空的。

25.3 爱因斯坦方程的初值问题

前面讲的是一个全局双曲的时空已定,我们可以选择一个柯西超曲面 以使得时空可以被看成是 柯西超曲面 随整体坐标时间演化而成的。不同的柯西超曲面的选择,意味着对给定时空的 时空分解和演化的 不同理解

现在我们把前述的逻辑扭转过来。我们考虑一个任意的3维流形。这3维流形上有一个给定的度量结构(我成为数学量A),一个从数学上 有可能实现为 描述这个3维流形 在某个4维洛仑兹流形(注意这里并没有给定任何特定的4维洛仑兹流形)中的外在弯曲的数学量 的数学量(称为数学量B)。另外 我们还给定在这个3维流形上 描述物质分布的数学量(称为数学量C)。

这里我给定了一个 3维流形 和上面的三个数学量:两个几何性的,一个物质性的。我们把这个3维流形 和上面的三个数学量(ABC) 统称为 一个 爱因斯坦方程的初值

我们提出以下问题:给定一个爱因斯坦方程的初值,是否存在一个4维全局双曲的时空满足以下性质

第一 在这4维全局双曲的时空中,爱因斯坦方程的初值中的3维流形 是一个 柯西超曲面。

第二 该柯西超曲面 在该4维全局双曲的时空中的 外在弯曲 正是 爱因斯坦方程的初值中的数学量B

第三 该4维全局双曲的时空中的 度量结构 限制在该柯西超曲面上 正好给出 爱因斯坦方程的初值中的数学量A

第四 该4维全局双曲的时空中存在物质分布,而描述物质分布的数学量 限制在该柯西超曲面上 正好给出 爱因斯坦方程的初值中的数学量C

第五 该4维全局双曲的时空(洛仑兹流形)以及其中的物质分布 满足爱因斯坦方程。

第六 这样的满足前五条要求的4维全局双曲的时空 是唯一的。

如果上述六条均满足 我们就说 该(唯一的)4维全局双曲的时空 是爱因斯坦方程的初值问题 的解。

这里我其实还隐瞒了一个问题,就是爱因斯坦方程的初值中的 那几个数学量 相互之间不是完全独立的。爱因斯坦方程 要求他们之间要满足一定的约束关系。所以我以后说的爱因斯坦方程的初值 都是指满足约束关系的初值。

25.4 任何给定的爱因斯坦方程的初值问题 存在解

数学上相当复杂,我就不解释了。大家知道25.3提的问题有肯定的答案 并且这件事是一个数学问题 就可以了

25.5 意义

前面两节(25.3 25.4)解决了(23)中提出的一系列问题,使我们有了概念清晰的 对时空分解和演化的理解。

此话怎讲?

首先我要再强调:时空(作为度量流形) 和对时空的描述 是两码事。同一个时空可以有无穷多的不同的描述法 以及无穷多的时间-空间分解法。一般而言 广义协变性不允许存在 一个特殊的描述法或分解法。

好了。爱因斯坦方程 两边的数学量 不包含坐标,也没有时空分解。纯数学的描述方程 也不需要 时空分解和演化的概念。但是当我们要解方程的时候,就需要引入坐标系。物理上这对应于 当我们想要 从一个或一批观察者的角度 描述时空的时候 我们就需要引入坐标系和时空分解

现在我们设身处地的 从一批(不是一个!) 有共同坐标时间的观察者的角度想。理论上可以假定他们遍布某一(共同)时刻的全部空间。在他们看来,时空是 空间一个时刻一个时刻的演化出来的。时空中的物质分布也是 空间中的物质分布 一个时刻一个时刻的演化出来的。因此如果我告诉他们时空和物质分布 是由爱因斯坦方程描述的, 那么他们自然会问,假如给定了(对他们而言的)某个时刻的 空间(不是时空!)和物质分布的全部信息,爱因斯坦方程能不能告诉他们 对他们而言的全部时空和物质分布的情况。注意对这批观察者而言,时空和物质分布是未知的,而某一时刻的空间和空间物质分布(理论上)是已知的(当然只能是对遍布空间的有共同坐标时间的观察者全体而言)。这样他们是知道数学量AC的。我们还假定他们通过观测一小段(可以任意短)坐标时间间隔内的 空间度量流形变化 决定出了数学量B。当然我们前面说了数学量ABC之间要满足一定的约束关系。

所以他们应该要求我们能从一个3维流形(某时刻的空间)及其上的数学量ABC出发 推出全部时空及物质分布。对他们而言,空间和空间中物质分布是同时给定的(比如由观测),而时空和时空中物质分布是由爱因斯坦方程的初值 按照采用他们的有整体时间的坐标系的 爱因斯坦方程 沿着他们的整体坐标时间演化出来的。4维时空流形本身 也是这样“生长”出来的。这就是 对这批观察者而言的 初值问题

25.3 25.4 告诉我们 这批观察者的这种想法是成立。特别是这样演化出来一个全局双曲的时空。而全局双曲意味着每一条类时或类光世界线 都和该3维流形(某时刻的空间)正好相交一次,因为该3维流形是柯西超曲面。这意味着该3维流形正好可以在因果关系上影响到整个未来的时空 而又不造成整体上的因果问题(见14)。

然而 这批观察者在广义相对论中 没有特殊地位。我们可以用另一批观察者。 不同批次的观察者有不同的时空分解与演化或柯西超曲面与初值问题。这样 爱因斯坦方程的初值 对于时空而言并没有本质的意义。因此 我们说 时空和物质分布本身 没有 自然的分解和演化。但是我们可以对他们进行分解与演化。而时空和物质分布 不依赖于我们采用何种时空分解与演化的观点

为了强调上一自然段的内容,我愿指出,我们也可以不把时空作 时间1维 空间3维的分解, 而采用 2维加2维的分解(不解释)。 在处理有的物理问题时,这种没有时间的“时空分解”反倒是方便合理的。 如果你真的理解了上文,这种思路并不是不可思议的。

25.6 全局双曲是必要的吗

前面的讨论使我们觉得 物理上能实现的时空都应该是全局双曲的。这既使得初值问题有满意的解决 又保证了因果关系。从前面讲的那一批 和空间位置对应的观察者的角度看 我们确实应该要求全局双曲性, 不过时空有可能存在观察者们无法观察到的部分(比如以前讲的黑洞视界之内)和“超越”初值问题而不可被预言的部分(以后会讲)。所以这个问题并没有那么简单,我们以后会再讨论。

待续

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