主题:数学闲话(闲话开始前的闲话) -- 明日枯荷包

大河奔流 导读 复 111 阅 144307

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2012-02-26 00:05:34
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罗化生罗化生`27853`/bbsIMG/face/0000.gif`70`1240`16001`139048`从六品上:奉议郎|振威校尉`2008-09-20 19:51:54`
黎曼猜想没有证明的话,素数分布研究就受到很多制约了 2

这个领域我因为想证明哥德巴赫猜想,很可能比楼主还要知道得多一些。

素数分布研究的一个重要函数π(x),注意这里的π与圆周率一点关系都没有,指的是小于x的素数的个数。

这个素数的个数是有准确的计算公式的,与所谓的ζ函数的零点有关。

所谓ζ函数指的是1+2(-s)+3(-S)+4(-s)+......

这里我用2(-s)表示2的-s次方(因为难以编辑成那种数学形式。这个函数经过解析拓展以后有很多的零点,有显然零点和非显然零点。

与π(x)直接相关的一个函数叫做ψ(x)---这个函数要说明白的话就需要把解析数论的基础知识或者说Λ(n)函数,Dirichlet级数什么的都说清楚了,总之,那两个函数是相联系的,有了一个函数就可以求出另外的函数。

ψ(x)约=x-∑x(ρ)/ρ,还有其他比较小的项,对应于ζ(s)函数的显然零点--即s=-2,-4,-6......等等一大堆式子的累加,而∑x(ρ)/ρ,这里的(ρ)还是同前面一样表示指数函数,ρ是ζ函数的非显然零点,即把所有的非显然零点的x(ρ)/ρ都要给累加起来。

黎曼猜想的意思是说,非显然零点的实部都等于1/2,如果是这样的话,那么就可以算出素数分布的余项是x的 1/2次方的倍数。

但是黎曼猜想不是那样好证的,人们只能从其他渠道,例如对零点的分布密度的规律,在潘承洞的那本书里面的素数分布的余项只达到xexp(-(logx)(-3/5))的水平

陈景润之所以能够证明1+2,是因为人们对素数分布的理解接近于黎曼猜想的余项的值,黎曼猜想可以给出素数分布的平均值的误差大致为x的1/2次方除以log(2)x,而根据零点的密度分布,可以给出的误差,最精确的结果是x的1/2次方除以log(11)x--即差了一个logx的9次方

所谓1+2,x的1/2次方的平方等于x,所以容易证明,但是证明1+1呢,则根据那个已经接近于黎曼猜想的结果也是不对的---有另外的机制需要去找


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