主题：【原创】草菅人命的概率 -- 淮夷

《How Doctors Think》是哈佛大学教授Jerome写的畅销书，2007年出版。此书讨论美国医生各种奇怪的诊断错误。我读完此书的第一印象是，在草菅人命这事儿上，中外医生似乎都有无穷潜力。

中国的例子我在《笑林广记》读过：一医迁居，谓四邻曰“向来打扰，无物可做別敬，每位奉药一帖。”邻舍辞以无病。医曰，“但吃了我的药，自然生起病来。”

去医院不是看病而是送命，也许要深入想一想，背后的理由到底是什么。

本书作者认为，大量的误诊或许不该归咎医生的学业不精，而是因为医生和普通人一样，存在顽固的思维误区和认知偏差。

举例来说，有一个典型的认知偏差，心理学称作“availability bias”。意思是，如果医生很难判断一个病症，医生倾向用最熟悉的诊断方式来解释。您觉得四肢无力是吗？那您也许是中毒、肿瘤、大脑幻觉、需要截肢。这取决于您瞧的医生是内科、放射科、精神科、抑或外科的。而四肢无力的唯一原因，也许只是，饿了。

这种认知偏见有一个衍生后果，就是医生们为那些容易留下印象的病症，分配更高的发生概率。

这种大脑赋予的概率分布，是一种下意识的直觉。譬如，人们直觉之一就是，无家可归者往往疯疯癫癫。实际上，人们过高地估计了该人群精神疾病的占比。遇到一个精神正常的流浪汉，你也许毫不留意，偶然碰到一个流浪汉冲你傻笑，更容易长久记得，并在直觉中赋予它更高的概率。

显然，此种直觉很可能是出错的。

针对概率出错的问题，美国的认知心理学家，诺奖得主Daniel Kahneman，做过很多精彩的研究。1983年， Kahneman在一个实验里，请一群实习医生对肺血栓的症状进行概率判断。

这实验设置是这样。病人得了肺血栓，最常见的症状是呼吸短促。偶然的病例中，病人也可能因肺血栓而身体偏瘫。医生要考虑两种情形：A）病人只发生偏瘫，B)病人同时发生偏瘫和呼吸短促，哪一种的概率更高？

91% 的受测医生坚信，B的概率更高。因为，凭医生的经验，患者呼吸短促的确是更常见的。

您也许发现，这个测试不需要懂医学。只要稍稍懂得统计学，就能看到91%的医生都答错了。A的概率无论如何都要高过B，因为B是两个事件并发，等同于A的概率乘以呼吸短促的概率，这乘积肯定小于A的。

可见，这些强有力的认知偏见扭曲了人们对周围事物的认识。这是一个普遍存在的现象，不独医生如此。

事实上，就草菅人命的潜力来说，我觉得比医生更猛的是法官大人。这方面也有一些概率问题，不妨略作了解。

我读过一些书籍谈论美国司法系统用数学概率进行分析，有越来越广的趋势。这似乎是好的现象，不过，人们可能要担心的是 --- 法庭的数学水平。

譬如，犯罪现场的DNA证据，常被陪审团或法官采信，认为是不可争辩的铁证。根据DNA专家的统计，随机抽样一个人，其DNA与案件DNA吻合的概率，只有10亿分之一。这意味着，对DNA吻合的嫌疑人，法庭判错的概率只有10亿分之一，微不足计。

真的微不足计吗？

法院其实忽视了另一个指标，这就是DNA样本自身的出错率。样本也会出错吗？出错的概率有多高？实际上DNA从采样、送检、到最后生成报告，每个环节都可能出现操作失误。

俄克拉荷马州法院基于DNA证据，曾经判一个叫Timothy的嫌犯3100年刑期，而此人有11个证人证明他不在犯罪现场。Timothy在大牢蹲了四年，法院才发现，实验室对其DNA检验操作错了，真凶另有其人。

DNA样本的出错率，尽管科学界没有统一测量值，但很多专家的估计是，概率约为1%。

所以，法庭面对一份DNA匹配的证据，必须考虑两个差错概率：A）随机匹配出错率（10亿分之一）；B）样本自身出错率（1%）。那么，综合的错误率又是多少呢？很多陪审员对此做了估计，凭感觉，他们觉得也许在两者之间，比如1千万分之一。

这本身其实是个相当简单的概率题，用加法法则即可。A或B任一发生差错，法院都不该采信DNA证据。所以，法院错判的概率，其算法是P(A or B) = P(A)+P(B)。由于A的概率实在微小，样本出错率这个较大的数值，基本上决定了法庭的错判概率。

这意味着，DNA作为司法证据绝对可靠，也许是一个被严重夸大的事情。法庭更应关注的数据是实验室的人为差错率，而人为差错率因其主观性，偏偏又不被法庭采纳！

说到法庭的数学水平被挑战，远不止DNA一项。1968年的People v. Collins案件，加州法院也被概率搞晕了。

这案件本身是一宗小型抢劫案。案情颇简单：洛杉矶一老太太推购物车出商场，被一年轻女孩推倒。女孩抢走老太太的钱包，跳上一辆汽车。汽车司机是男的，两人开车逃窜。钱包内有40美元。

这起价值40美元的劫案，演变为法律史上的著名案例之一，因为这是一起概率引发的冤案。

老太太和目击者都没看清楚凶手相貌，只能描述出一些特征。另外，作案的一男一女看来是一对夫妇。于是，检察官雇了一个州立大学的数学家，基于这些特征的概率进行了分析：

凶手特征 发生概率

- 开黄色汽车 1/10

- 短胡男 1/4

- 络腮胡黑人男 1/10

- 马尾辫女孩 1/10

- 金发女孩 1/3

- 夫妇的肤色不同 1/1000

洛杉矶警方找到了一对夫妇，Malcom Collins和Janet Collins，他们符合全部特征。

数学家把每个特征看作独立事件，然后用乘法公式，推算一对夫妇相符的概率：

(1/10) X (1/4) X (1/10) X (1/10) X (1/3) X (1/1000) = 1/12,000,000

计算结果表明，相符夫妇的概率非常低，低到只有1200万分之一。

陪审团觉得，如此低的巧合，可谓强大铁证，遂裁定Collins夫妇罪行成立。

加州最高法院最终推翻了这一判决，因为陪审团采信的概率计算，完全算错了！

首先，这些特征之间存在很高关联。譬如短胡子很可能也是络腮胡，二者并发的概率，远比独立事件为高。因此法庭不能用各事件的概率简单相乘。修正了算法后，相符概率只有100万分之一。这当然仍是一个极小概率，人们想，如此低的概率下找到一对相符夫妇，真凶的可能性难道不是极高吗？

这是一个更关键的问题，而陪审团在此又搞错了概率的方向。以洛杉矶案发区数百万人口为基数，以100万分之一为遇合概率，可推算本地约有2-3对夫妇，从概率角度都符合全部特征。

这意味着，判Collins夫妇有罪，判对的可能性只有1/2甚至低到1/3。此案绝非陪审团相信的铁证如山，而更可能是一场冤案。

在法学界，加州陪审团所犯的这个错误代表了一种典型现象，这现象也称作“prosecutor’s fallacy”（检察官谬误）。此谬误最常见的数学原因，在于法庭错误应用了贝叶斯理论。

贝叶斯理论的要点之一，就是A发生时B发生的概率，并不等同于B发生时A发生的概率。

如果你把A看作“犯罪证据吻合”，把B看作“嫌疑人是无辜的”。那么法院的眼睛往往过多的盯住了P(A|B)，意即，当你真的无辜时，你吻合犯罪证据的概率是多少？P(A|B)本身是一个条件概率，亦称“false positive”（假阳性），其数值往往极小，譬如前面提到DNA遇合概率，加州抢劫案的夫妇相符概率，皆属此类。法庭据此相信，错判的概率可以忽略不计。

事实上，法院忽视了另一个条件概率，P(B|A)。意即，当犯罪证据吻合时，嫌犯是无辜的概率有多高？

P(B|A)与P(A|B)的计算公式不同，几乎不可能产生相同数值。在一些司法案件中，前者的数值很可能远高于后者，这意味着，无辜被抓的概率相当之高。

法庭对前者的忽视，正是很多冤假错案的数学根源。

下面的知名案例中，法庭对贝叶斯理论的应用，出现了一个经典错误。

这起谋杀案发生在英国。1999年，英国法庭宣判Sally Clark谋杀罪。Sally生了两个孩子，第一个孩子出生11周死亡，死于一种极罕见疾病叫SIDS（婴儿猝死症）。第二个孩子出生8周后也死了。

两个孩子连续死于SIDS疾病的概率有多高呢？法庭传唤了资深的儿科医生，Roy Meadow。Roy推测，像Sally这样没有吸烟史且家境富裕的女性，孩子死于SIDS的概率只有1/8543。

所以，连续两婴死于SIDS的概率是：1/8543 X 1/8543 = 1/7300万。

法庭对7300万分之一的理解是：Sally的婴儿几乎绝不可能连续死于SIDS疾病，所以，Sally一定是谋杀了婴儿。

话说Sally入狱后，英国Salford大学的数学家Ray Hill写了一篇论文，分析英国法庭在此案中的数学错误。（此处链接可读之 http://www.cse.salford.ac.uk/staff/RHill/ppe_5601.pdf ）

数学家Ray指出，法庭要寻找的，并非两婴连续死于SIDS的概率，而是已知有两起死亡发生时，死亡确由SIDS引起之概率。前者是一个连续事件概率，后者是一个条件概率。此处听来有一点绕，却是一个关键的逻辑区别。

Ray进一步计算，当连续两婴死亡时，死于SIDS的概率是死于谋杀概率的9倍。这个相对概率的比较，才是法庭应采信的证据。所以在统计意义上，法庭判Sally谋杀，基本上可说是判错了。

(Sally入狱4年后，无罪释放)

不论是认知偏见造成availability bias，还是混淆贝叶斯理论造成prosecutor’s fallacy，现代法律对统计证据和复杂概率的使用，一直是一个有争议性的话题。

不过，任何复杂的概率分析，在罗马教廷的律令面前，都变得一点用处没有了。

因为教廷律令是这样写的：不可判主教有罪，除非有72个证人。不可判司铎有罪，除非有44个证人。不可判助祭有罪，除非有36个证人。不可判副助祭有罪，除非有7个证人。

潜台词是，主教的犯罪概率永远很低，只有1/72，官阶次之的司铎，犯罪概率是1/44，以此类推。

当你读到这种无敌的律令，你还肯相信“一切动物生来平等”吗？