主题:Max Tegmark: 意识是一种物质形态 -- 晓兵

2014-10-12 11:26:22晓兵
changshou:世界线=一个观察者的运动轨迹

1.

why GR again?

GR is not only a beautiful 實驗驗證 theory, it is starting getting into business of global information capitalism.

vs. TG's 毛林共识 ALGO

in this world of increasingly 网络扁平化, 群體體驗, which ALGO is going to win eventually?

Erik Verlinder 时空可以对应在一张全息屏上 [ 晓兵 ]

2.

changshou:世界线=一个观察者的运动轨迹

as a follow up of

changshou: "时空中 度量结构(距离)的定义" [ 晓兵 ]

the following is largely directly quoted from

/alist/3659016/1

时空洛仑兹流形中的世界线:一个观察者(或物质点)的运动轨迹

作为流形,闵可夫斯基时空就是 4维的欧氏空间。 他的度量结构(距离)是什么呢?

9.2 点(或观察者)的世界线

我们把观察者简化为一个点。 一个点(或观察者)在时空中的位置 说的是 它某时刻在物理空间的某位置 (4维的位置 包含了在物理空间的位置和在时间中的位置:时刻)。 一个点(或观察者)的运动 意味着 它 在时空中的位置 在时空中变动, 其扫出的轨迹 是一条线 (为什么是1维的?F), 这叫 该点(或观察者)的世界线。

注意,世界线的定义 对 4维流形模型也是成立的。

9.3 勾股定理

在平面上 如何用勾股定理 定义距离? 要定义 一个点 到另一个点(简单起见,假设他是原点) 的距离。 我们取这个点的两个坐标, 取它们的平方和, 再取平方和的平方根, 这就是距离F。

在三维欧氏空间, 如何用勾股定理 定义距离? 要定义 一个点 到另一个点(简单起见,假设他是原点) 的距离。 我们取这个点的三个坐标, 取它们的平方和, 再取平方和的平方根, 这就是距离。

在4维欧氏空间, 如何用勾股定理 定义距离? 要定义 一个点B 到另一个点A(简单起见,假设他是原点) 的距离。 我们取这个点的4个坐标, 取它们的平方和, 再取平方和的平方根, 这就是距离。F

任何实数的平方是正数(或0), 在4维欧氏空间中用勾股定理定义距离时,我们把四个正数或0加起来(然后求平方根), 所以这是一个 “带四个正号” (因为在加四个正数)的度量结构。

9.4 “三正一负” 的度量结构。

现在我们做一件有趣的事。 在定义上文的距离时, 强行把其中一个正号换为负号。 这个“三正一负” 的度量结构有什么性质呢?

三正一负 说明 4个方向中有一个与其它不一样。 另一方面 时空中, 1维的时间 似乎是与其他三个空间的方向不一样。于是我们 把这两个独特的方向等同起来(即三正一负时, 在时间方向的坐标平方前面用负号)。

三正一负 的实质 就是 时间和空间 有所不同。

四个正号 意味着我们把 四个正数或0(四个都是实数的平方)加起来, 结果 不会是负数。可三正一负 就不一定了。 3个正数加起来再减一个正数, 结果可正可负。结果如果是正的, 我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的;结果如果是0, 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的;结果如果是负的, 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。

这样一来, 固定了点A之后 整个 闵可夫斯基时空中的点 就根据 其与点A的分隔 属于何种类型,而分为了 3类。和点A类光分隔的点 比较特殊。这些点构成的集合 只有3维(别忘了闵可夫斯基时空是4维)。 为啥? 应为结果刚好等于0 是一个等式。在4维,满足一个等式的点 构成一个 3维的 东西 (如同 在3维,满足一个等式的点 构成一个 2维的 东西 和 在2维,满足一个等式的点 构成一个 1维的 东西)。 和点A类光分隔的点 构成的 3维的 东西 叫光锥。 3维的光锥 把 4维闵可夫斯基时空 分为两部分,光锥内部的 正是 和点A类时分隔的点;光锥外部的 正是 和点A类空分隔的点。

9.5 光锥是对于一个点定义的

因为我们使用点A 来定义光锥。

9.6 “三正一负” 的度量结构 似乎是局部的

因为 “三正一负” 的度量结构是从“带四个正号” 的度量结构 修改符号得来的。而9.3 中用勾股定理分析时 我们固定了 点A, 把它作为坐标系的原点。所以似乎 我们的分析取决于 以点A 为“中心” 的一个坐标系。 按8.4的观点, “三正一负” 的度量结构 似乎是局部的。注意 这里说 “三正一负” 的度量结构是局部的 和 8.5 不矛盾。这里说的是 由于定义时用的坐标系 有可能只是局部的,所以它 有可能只是定义在 装备这些局部的坐标系的标准模块上。

9.7 强行要求“三正一负” 的度量结构是整体的

可以强行要求吗?F 可以,只要 定义“三正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形,闵可夫斯基时空就是4维的欧氏空间 所以我们可以规定 该4维欧氏空间是唯一标准模块,粘合指示为:什么也不粘。

这样一来 整体的坐标系 意味着“三正一负” 的度量结构是整体的。 4维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。

闵可夫斯基时空的物理意义。 狭义相对论概要.

提示:一个物质点和一个时空中的点 不是一回事F。一个物质点在时空中对应一条线:它的世界线。即它的运动在时空中(不是空间中)扫出的轨迹。这是因为随着时间的流逝,他会在时空中扫出一条线,哪怕它相对于某坐标系静止(这情况下 时间方向上还在动嘛)。它的世界线完整描述了 这个物质点在时空中的运动。这里说的相对于某坐标系静止,是指一个物质点在某坐标系下,空间坐标不变。某物质点在闵可夫斯基时空里匀速直线运动,指的是物质点的世界线是直线。注意 定义闵可夫斯基时空里匀速直线运动时我们没选任何坐标系F。一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 和 相对于某个坐标系的匀速直线运动 是两回事(见下文讨论)F。我们可以把一个时空中的观察者 理想化地当作一个物质点。

11.0 用两句话解释 狭义相对论:我们的物理时空是闵可夫斯基时空。 物理规律 在洛伦兹变换和平移下 不变,如同 闵可夫斯基度量结构 在洛伦兹变换和平移下 不变。

仅用第一句话我们就能推出很多东西。

11.1 取一个描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。接下来所说的整体坐标系 都指 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。我们叫该整体坐标系 整体坐标系A. 整体坐标系A的选取,给出了一个将 闵可夫斯基时空 分解为时间部分和(物理)空间部分 的时空分解(因为“三正一负”中的“一负”的方向 被定为时间方向)。F

11.2 由于整体坐标系A是整体的 时空分解也是整体的。整体坐标系A的时间轴 自身是一根世界线 且是一条直线。这世界线对应于一个物质点(观察者)的运动。由于 观察者 在 时空分解的坐标系中 (物理)空间坐标为零(时间轴上的点 空间坐标总是0), 在该时空分解中,该观察者是静止的 (时间位置在变 空间位置没变)。

11.3 取第二个定义闵可夫斯基时空的 整体坐标系B。我们便有了 另一个整体时空分解 和在其中静止的观察者。这个观察者的世界线是整体坐标系B的时间轴。 这是一条直线。于是我们说观察者在闵可夫斯基时空里匀速直线运动。在整体坐标系A的时空分解中这也是一条直线。 所以在整体坐标系A的观察者看来,这是相对于该观察者的匀速直线运动的轨迹。为啥是相对于该观察者的匀速直线运动? 因为 直线(世界线)总是和整体坐标系A的时间轴有一个固定的夹角,这说的不就是 在整体坐标系A的观察者看来 匀速直线运动吗?这就是我们通常理解的 相对的 匀速直线运动。

注意:如果我们不选某个 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系, 而是乱选一个坐标系(哪怕他可以扩张到整个闵可夫斯基时空),一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 可能不是 相对于这个坐标系的匀速直线运动。

11.4 前面讲过不同的整体坐标系由洛伦兹变换和平移 联系起来。根据11.3 在这些整体坐标系中静止的观察者 相对间 作匀速直线运动。我们把这类观察者称为惯性观察者。整体坐标系 称为 惯性参照系

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (11.5)闵可夫斯基时空的物理来源

上文已经解释了闵可夫斯基时空 和狭义相对论的关系。但有的读者对 闵可夫斯基时空的物理来源 仍感到迷惑。因此我写了这一篇。

狭义相对论的一个基本假设是:世界上存在一种观察者, 名叫惯性观察者,他们之间相对匀速直线运动。我们可以这样定义他们:不受外力的物质点(观察者), 就是惯性观察者。有了惯性观察者, 就可以 以他们的世界线为时间轴 建立每个惯性观察者自带的时空坐标系(从而有了时空分解),叫惯性参照系。(当然从实际角度讲,你必须先提供一个物质点不受外力的判据。这不是一个实验观测能解决的问题, 因为此时还没有建立研究运动的任何参照系。 通常能做的是指定一个看上去 受其它物体影响很小的东西 作为近似的不受外力的东西,比如在地球上,就指定地球。)这个假设可以说是先验的。以后我们会看到广义相对论不要这假设。

狭义相对论的又一个基本假设是:光在不同惯性参照系下速度不变。这个假设来源于电磁场的理论。电磁场的麦克斯韦方程说 电磁波(包括可见光)在不同惯性参照系下速度不变。这个假设也受实验支持。 如果我们用勾股定理 在某个惯性参照系里 定义空间距离, 我们就发现 之前我们定义的某点处的光锥 就是经过该点的所有方向的光的世界线的集合。 光在不同惯性参照系下速度不变 意味着 光锥也不变。可是 我们前面讲过光锥可以用 “三正一负”的“勾股定理”定义的闵可夫斯基时空距离 来定义。 而我们又知道 不同整体坐标系下 闵可夫斯基时空距离不变(意味着光锥也不变)。

如果 我们把惯性参照系 作为时空中的 整体坐标系, 然后用这些整体坐标系 和“三正一负”的“勾股定理”来定义距离, 我们就得到闵可夫斯基时空。 反过来, 如果我们假定时空是 闵可夫斯基时空,然后用整体坐标系来定义惯性参照系,我们就既建立了 惯性参照系(而且惯性参照系间相对匀速直线运动), 又实现了光在不同惯性参照系下速度不变。

这就是闵可夫斯基时空的物理来源。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (12)时空是洛仑兹流形

提示:如果你读的是(10)而不是(9)。下面自动降一维就行了。 注意:三正一负 要换为 二正一负。

12.0 (8)和(9)各讲了一个时空模型。(8)建议 用4维流形。 (9) 用了闵可夫斯基时空。

12.1 “三正一负”类型的度量结构

闵可夫斯基时空 是在 4维欧式空间上 用“三正一负”式的 “勾股定理” 定义的。4维欧式空间上 还可以定义 其他度量结构。 一个基本的想法是 使用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。

此话怎讲? 闵可夫斯基时空 使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 在把 四个坐标的平方 作加减时, 每一个单独的平方 前面的系数是 1。 这里的要点是 不管你在时空中任何一处用这个“勾股定理” 这些系数都不改变。即 坐标的平方前面的系数 是常数 (不依赖于时空位置)。 在此意义上讲 我说 闵可夫斯基时空使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 是“常系数的”。

现在 我们放宽要求 我们允许 坐标的平方前面的系数 不是常数(依赖于时空位置)。 这时的 “勾股定理” 就叫变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义的度量结构(距离)叫做 “三正一负”类型的度量结构。

当然你可能问 变系数时 取那个系数。 这其实是标准的微积分课程里的积分的问题。我们想要算一条线的长度。 我们把线切成很多小段,每一小段上系数变化很小, 我们任取一个系数 然后在这一小段上 用“勾股定理”。因为小段上系数变化很小 这是一个好的近似。 把所有小段上所算的距离加起来,这就是一个近似的长度。 现在我们让每一小段的长度 越来越小趋向于0,则近似长度的偏差 越来越小趋向于0。

上面一段话不懂没关系,只要能接受 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义度量结构 就可以了。

但还有一个问题, 我们上面算的 实际上是连接某两点的某条线的长度。 它当然依赖于 这条线的选取。固定两个点有没有一条特殊的线连接它们呢?答案是肯定的。这叫测地线。 对闵可夫斯基时空 或 有标准度量的欧式空间 测地线都是通常所说的直线。 在闵可夫斯基时空 两点间直线(测地线)的长度(按上面的算法)就是 闵可夫斯基时空距离。

测地线的定义我就不写了(以后会解释物理意义),我只指出 测地线是由度量结构决定的。它可以理解为 在一个度量结构下的 标准的定义(测量)两点间距离的方法F。 如果度量流形是以前讲的几何球面(有经纬线圈), 那么经线都是测地线。 这也是测地线 名称的由来。

12.2 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形

最快捷的方法,是把这看成是平直的时空的定义。 如果要负责一点, 平直的原因在于我们用了“常系数的”“三正一负”式的 “勾股定理” 定义闵可夫斯基时空。

你可能问 为何 闵可夫斯基时空 和有标准度量的4维欧式空间 都是平直的(感觉他们俩不一样啊)。 回答是, 我们不比较 “三正一负”类型的度量结构 和 “四个正号”类型的度量结构F。 我们只比较同一类型的。 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形, 有标准度量的4维欧式空间 是平直的“四个正号”类型的度量流形。

12.3 把流形和闵可夫斯基时空 结合

我们把(8)和(9)的想法结合起来。 我想接受狭义相对论, 又不想排除 时空整体上有蹊跷 的可能。 于是一个自然的模型是 时空是一个度量流形,在局部上这个度量结构是闵可夫斯基时空。

12.4 也许时空有内在的弯曲

在12.3中给的模型已经是一个很精确的模型了。12.2告诉我们 这个模型是平直的。 可是我一旦知道了 度量流形可以内在的弯曲, 我便禁不住怀疑 也许时空是 有内在的弯曲的度量流形。哪怕在实验上我暂时证明不了(当然目前的实验已经可以证明有内在弯曲了),我也不愿排除这种可能。 于是一个更稳妥的模型是 时空是 (可以有内在弯曲的) 一个 “三正一负”类型的度量流形。F我们把 “三正一负”类型的度量流形 叫做 洛仑兹流形。

12.5 广义相对论认为 时空是洛仑兹流形。 这是广义相对论的一个基本观点F。有时候为了强调时空是洛仑兹流形, 我称时空为 时空洛仑兹流形。

狭义相对论是广义相对论的局部近似

一个观察者在时空中运动的轨迹是一条世界线。观察者有权利 用自己喜欢的方式 来标记时空中的点。 也就是说,他可以自行选择自己附近时空区域上的坐标系。这就是 观察者体验时空的最基本一步。由于内在弯曲是局部的, 并且是不依赖于坐标系选取的(8.7)。所以观察者有可能利用自己的局部坐标系 就判断出时空是弯曲的(比如发现勾股定理在现实中不成立)。

然而 13.1 告诉我们如果区域很小,闵可夫斯基时空是很好的近似。所以如果不仔细,观察者会误认为 时空是平直的闵可夫斯基时空。这其实就是人类在广义相对论以前的认识状态

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (14)因果结构

提示:这篇不理解的话,可以跳过。

14.1 狭义相对论中的因果结构

狭义相对论中如果一个观察者超光速会怎样? 超光速意味着世界线落在光锥外, 即 世界线可以把 两个类空间隔的点联系起来。于是这两个点处发生的事情可以有物理联系。 比如 第二个点处发生的事(结果) 可以是由第一个点处发生的事(原因)引起的。可是用洛仑兹变换不难证明 存在惯性参照系 使得在这惯性参照系看来 第二个点处发生的事(结果)发生在前, 第一个点处发生的事(原因)发生在后。于是在这惯性参照系看来 因果关系被破坏了。如果不想因果关系被破坏, 我们就得禁止超光速运动。也就是说观察者的世界线应该是 类时世界线(亚光速运动)。

14.2 广义相对论中的观察者的世界线应该是 类时世界线

这是14.1 和13.3 的结合。

14.3 时间定向的洛仑兹流形

闵可夫斯基时空是有时间定向的。 我们可以分过去未来。这意味着我们需要 给每一条世界线定方向F。取某个点A上的光锥。它由两个锥形分支尖对尖的组成(两个锥形分支的尖点都是点A)。 为啥是两个? 因为光锥 是由 坐标平方 三正一负的加起来等于0 这个条件定义的。如果一个点在光锥上,把它的坐标全添上负号得到一个新的点。 新的点的坐标平方没变,三正一负的加起来仍等于0, 所以仍在光锥上。这个对称性说明光锥有两个形状相同的分支对称的放置在一起。一个分支里的时间坐标是负号,另一个是正号。所以一个对应光在过去(点A的过去)的轨迹,另一个对应光在未来(点A的未来)的轨迹。 这两个分支一个称为过去光锥 一个称为未来光锥。这两部分的内部各自对应 过去与未来的 与点A类时间隔的点。 所以 对一条类时世界线(观察者的世界线) 我们知道 它在某点的未来方向 是指向该点的未来光锥内部的。 由于光锥被洛仑兹变换保持, 不同惯性参考系对时间方向不会有不同看法。F

我们要求洛仑兹流形也有类似的用光锥定义的时间定向。细节不重要。大致说来,有的洛仑兹流形可以,有的不可以。所以我们应该要求,时空是 可以时间定向的洛仑兹流形。 以后我要举的例子 都是这样的。但要注意的是 洛仑兹流形上用光锥场(见13.3)来定义时间方向只能是局部的。

14.4 广义相对论中的因果结构

乍看起来14.2 保证了广义相对论中 因果关系也不被破坏。但还有其他可以破坏因果关系的机制。比如 由于洛仑兹流形整体上 可以不是闵可夫斯基时空, 我们不能排除 某个观察者的世界线(类时世界线)首尾相接的可能。 这意味着 沿着这观察者的世界线走 在任何一点 都有良好的时间定向, 但整体上 他却回到了他时空之旅的起点(注意这意味着他回到了过去的某个时刻)F。这里的破坏机制 是我们有局部的时间定向,但没有整体的 (因为有首尾相接的类时世界线)。这与闵可夫斯基时空中超光速破坏因果关系的机制 完全不同。更糟糕的是有些这类例子 满足爱因斯坦方程 属于“可能的时空”(见(16)篇)F。

物理学家倾向于 以违反因果关系为由 排除这类时空。 为了解决 广义相对论中的可能的因果矛盾,一个一劳永逸的办法是规定 我们考虑的时空 作为一个流形 应该是由 一个3维的切片 沿着一条1维的不闭合的线运动而扫出来的。 这条1维的线 应该代表 某个观察者的世界线, 所以应该是类时曲线。3维的切片 对这个观察者而言, 就是时空的空间部分

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (15)观察者的时间体验

15.1 世界线

一个观察者(点)在时空中运动的轨迹是一条类时世界线。 观察者可以自行选择自己附近时空区域上的坐标系。观察者最直接体验的时空长度是什么呢?应该是自身世界线的长度。世界线的长度有什么物理意义?F

15.2 原时

在自身世界线上任何一点,观察者都有在那一点所做的时空分解。指的是那一点为原点的局部坐标系有时间和空间方向。这是因为我们可以把 “三正一负”中“一负”方向指为时间方向。但是我们仍可以有很多(无穷多)种选择局部坐标系的方法。

然而一个观察者总是乐意在选局部坐标系时 使得自己相对于局部坐标系 是静止的。注意 它在某点的速度方向 沿着自身世界线的方向(严格的说是切线方向)。因为世界线是类时世界线, 所以观察者可以用这个方向作为局部坐标系时间轴方向,这样一来 观察者自己相对于局部坐标系就是静止的(只沿时间方向运动)。这样一来 沿着自身世界线把长度(距离)加起来(作积分)作的实际上是时间的累积。换言之,观察者自身世界线长度 就是观察者 自己(通过钟)体验的时间。这叫 原时。

当然 这里说的体验的时间,是数学上沿时间方向的求和。 它和 通常说的时间, 即观察者随身携带的物理钟(比如原子钟)的走时有何关系呢? 其实 建立时间坐标,就是用钟上的时刻来标记的。 于是数学上沿时间方向的求和 的确是 物理钟的计时结果(钟上的时刻的累积)F。

这里有一个可能的混淆。你可能问 我怎么知道物理钟在世界线上不同的点走得一样快?不一样快 计时不就乱了吗?回答是 物理钟在不同的点完全可以走得不一样快(以后会详细讨论),但没有关系。因为这一点已经在计算的时候考虑到了。别忘了长度是很多小段 用变系数的“三正一负”的“勾股定理” 定义的距离 加起来的(积分)。这里的 “变” 就是 允许 物理钟在时空中不同的点 走的速率发生变化。一旦变化,系数就相应变化, 这样 用变系数定义的距离 算出的长度 已经自动计入了物理钟的速率变化。

15.3 原时与坐标时间

观察者的类时世界线既然是1维的,我们就可以用一个变化的参数 来标记他。这样的参数叫坐标时间。名称由来是因为 局部上选了时间轴沿着类时世界线的坐标系后, 可以用坐标系的时间坐标来做(局部的)坐标时间。 不过这里我们不假定坐标时间是局部的。 坐标时间当然有无穷多种选择(你有无穷多种 连续地标记类时世界线的点 的方法)。 最自然的方式, 就是用 类时世界线的长度(即原时)作为这个参数。这其实是 普通人 参数化 自身世界线的办法(自带一块表,用表的读数来标记自己的经历F)。 然而 有时我们可能要用其它的坐标时间。于是我要强调,原时与坐标时间 不一定一致。

15.4 原时不是局部的

在(13)中我们讲过 局部上,闵可夫斯基时空 是一个时空的近似。 局部越小, 近似越好。在近似很好的情况下,一切时空体验问题 都可看成是 闵可夫斯基时空里的问题。如果范围大,就不能用闵可夫斯基时空近似。 原时 不是近似的闵可夫斯基时空里的计算。观察者的类时世界线 可以在时空里大范围的延伸。 以后我们会看到 比较不同观察者的原时,是探测弯曲时空的一个好办法。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (16)爱因斯坦方程

我们已经说了广义相对论的一个基本观点: 时空是洛仑兹流形。 洛仑兹流形有很多很多。所以下一个问题是

16.0 时空是哪个洛仑兹流形?

广义相对论的回答是

16.1 时空是 爱因斯坦方程的解。

这是广义相对论的又一个基本观点。我们可以在数学上定义一个量 用于描述 某个洛仑兹流形的内在弯曲的程度。 另一方面,我们再定义一个量用于描述 时空洛仑兹流形中 物质的能量动量的分布。 这里说的量,不是数,也不是一般的函数,具体是啥就不解释了。 但重要的是这些量描述了流形上 每一处的情况。

爱因斯坦方程说的是:

描述洛仑兹流形的内在弯曲的 数学量 等于 描述能量动量分布的 数学量

这里的未知量是度量结构,它决定了 描述洛仑兹流形的内在弯曲的 数学量。

方程的左边 是纯粹的几何量, 右边则是物理的(物质的分布)。简单的说, 物质告诉时空如何弯曲,时空告诉物质如何运动(分布)F。

16.2 时空 是动力学的

时空是动力学的 指的是 时空是一个微分方程--爱因斯坦方程的解。

朴素的观念中,时空同其中运动的物质没关系F。即使在狭义相对论也是这样。 狭义相对论中时空是给定的, 就是闵可夫斯基时空。 物质的运动分布不改变这一点, 虽然不同观察者认定的时空分解 是不同的。广义相对论中 时空不是 给定的 不受物质影响的东西

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (17)引力和广义协变性

17.1 不需要谈引力

有质量的东西会产生引力, 引力作用于任何物体。它的作用就是 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。

根据爱因斯坦方程, 有质量的东西会导致时空弯曲, 时空弯曲 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。

广义相对论的再一个基本观点是: 上面两段话说的就是一回事(所谓的“等效原理” 说的就是这件事)F。引力就是时空弯曲。 所以不必再说什么 地球产生引力以及这引力是怎样的话了, 直接说 地球弯曲了时空以及是怎样弯曲的。

17.2 爱因斯坦方程的来历

虽然在我的科普中不需要谈引力, 但我要指出历史上 爱因斯坦方程的导出 是研究引力的结果。大体上说 是通过分析引力的一些特性 意识到用弯曲时空的几何语言来描述 是很好的选择, 然后比照着场论的一些方法 以及 在弱引力场的情况下应该化为牛顿引力的要求 凑出一个结果(但是不对)。 然后对这个结果进行修补, 消除一些明显不合理的地方。 最终 制约时空的基本方程:爱因斯坦方程就诞生了。

17.3 爱因斯坦方程有多种导出法

我知道的导出法就有七八种。有看起来比17.2 更自然的方法。 而且不少并不需要先分析引力F。 这其实是一件很深刻的尚未被人类吃透的事情(比如弦理论的一个惊人之处 就是它可以从一个与引力和动力学的时空毫不相关的出发点 导出爱因斯坦方程)。

17.4 在广义相对论中 爱因斯坦方程是基本假设

因为所谓的导出,实际上总要用一些不能从纯粹逻辑推出的假设(过程是数学推理, 但用什么数学从何推起 不是由纯数学决定的)。因此我要强调这一点。

17.5 广义协变性

这是广义相对论中 重要性可与“时空是动力学的” 这一观点相并列的要点F。 广义协变性 指的是 爱因斯坦方程中左边的几何量 只依赖于 度量结构本身而不依赖于坐标。 还有 右边的物质量 也不依赖于坐标。

这为什么是一件重要的事呢? 回想一下 坐标系的物理意义。每一个时空中的观察者 都带有自己的坐标系(自己的标记时空中点的方式)。他们 可以在自己时空经历中(世界线)的任意一点使用任意的坐标系 并随时转用不同的任意的坐标系。每一个坐标系都带有不同的时空分解方式。不同坐标系之间,不同观察者之间对于时间空间的看法有极大的差异F。 而且坐标系还只是局部的。这是一个多么混乱的世界啊。这时,广义协变性要求,时空的性质 物质的分布 和制约他们的规律 是不依赖于 坐标系和观察者的。这就为 纷乱的 时空体验 建立了一个基本组织原则。

在狭义相对论中,我们有一组特殊的整体坐标系(惯性参照系)。 当我们用它们来定义 度量结构后,只有特殊的坐标变换(洛伦兹变换)能保持物理规律的形式。但在广义相对论中 广义协变性要求 任何的坐标变换都不改变我们的方程。这就是 广义相对论中“广义”一词的由来F。(这里有一个重要的区别,狭义相对论中我们用整体坐标系定义度量结构, 这其实是很不自然的观点(见(8))。在广义相对论中,我们再也不能这么做了,我们只能用局部坐标系描述度量结构(8)。)

广义协变性 是很强的对称性要求。 它限制了 要在弯曲的动力学的时空中描述物质运动的规律 所能采用的形式。 为了能成为一般的时空中 也能成立的规律,传统的电磁场论,流体力学等都必须作改造 以满足广义协变性(已经改造过了)。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (18)测地线

18.0 度量结构决定测地线

在时空洛仑兹流形确定后,度量结构就有了。12.1告诉我们可以考虑测地线。这样即使在闵可夫斯基时空不是好的近似的情况下,我们也能有精确的距离计算(算测地线长度)。

可是测地线长度和观察者未必有直接关系, 因为观察者的世界线 未必是测地线。

18.1 自由运动的观察者的世界线 是测地线

自由运动 指的是不与其他物质发生作用(不受外力)。在牛顿力学中,第一定律说自由运动就是匀速直线运动。 狭义相对论中 假定惯性观察者的存在(惯性观察者间相对作匀速直线运动), 假定 自由运动的观察者 就是 惯性观察者。 然后用惯性参照系 定义 闵可夫斯基时空。广义相对论中 时空是洛仑兹流形。洛仑兹流形上一般而言没有直线,但有直线的直接推广 这就是测地线。 因此广义相对论中认为 自由运动的观察者的世界线 是时空中的测地线F。 这样当我们使用狭义相对论作局部近似时,自由运动的观察者的世界线 就自动退化为 闵可夫斯基时空中的直线(惯性观察者)。注意 在说外力时 我们不考虑引力了(因为我们已经在弯曲时空中,引力效应已经记入)。

至此 我们似乎做了一个假设:自由运动的观察者的世界线是测地线。然而 不要忘记广义相对论中 时空是会受其中运动的物质影响的。因此原则上讲 观察者的存在本身就会改变时空(一种直观的理解法是:只要有质量或能量,就会产生引力。 而引力就是时空弯曲,所以观察者自身产生的时空弯曲会对原有的弯曲时空产生干扰)。所以当我们使用测定线时,我们实际上是假设 观察者的影响很微弱可忽略不计。这看起来不是好事(使用了近似, 虽然通常已经是极精确的近似), 但实际上是好事。这意味着我们实际上可以从 爱因斯坦方程导出 自由运动的观察者的世界线是测地线。即我们可以先不忽略观察者的影响, 把观察者和时空中的其他物质放在一起研究。 然后让观察者自身的引力趋向于零,这时可以从数学上导出 自由运动的观察者的世界线 趋向于忽略观察者影响而得到的时空中的 测地线。这样广义相对论 抛弃了 牛顿力学和狭义相对论中 令人很不舒服的关于自由运动的先验假设。广义相对论有惊人的自给自足性。

由于我们以前还讲过(未必是自由运动的)观察者的世界线 应该是类时的。 所以结合起来说就是 自由运动的观察者的世界线 是类时测地线F。

一般的时空洛仑兹流形中 类时测地线可以比较复杂,而且“时空是动力学的” 决定了没有什么给定的特殊的时空。 因此在广义相对论中把某一类 自由运动的观察者作为特殊的观察者是没有意义的。换言之 广义相对论中没有惯性观察者或惯性参照系。这其实也是广义协变性的要求。 如果有惯性参照系, 它们就是特殊的坐标系, 而广义协变性不允许特殊的坐标系F。

18.2 自由运动的光(电磁波)的世界线 是类光测地线

这也可以由广义相对论导出,把电磁场理论改造得符合广义协变性后(17.5)就可以导出这一点(注意 改造后的理论从理论体系上讲, 是比经典的(闵可夫斯基时空中)电磁场理论更基本的理论,而不是反过来)。这一性质 在作狭义相对论局部近似时,自动退化为 闵可夫斯基时空中的情形。即狭义相对论中的光速不变原理 可由广义相对论框架中的电磁场理论导出。

18.3 举例:光的弯曲

一般的时空洛仑兹流形的类光测地线 不是闵可夫斯基时空的直线。如果一个物理学家不知道时空是弯曲的, 而用狭义相对论来描述光的运动,它就会发现 观测的情况和 假定光在平直的闵可夫斯基时空走(光锥上的)直线 是有偏差的(虽然可能很小)。于是他 就会以为不知怎么搞得 光被弯曲了。

反过来 我们可以用广义相对论 来计算光的世界线的“弯曲”(即对直线的偏离)。对这种计算的观测验证就是对广义相对论的实验检测。这件事已经在太阳系内做了,广义相对论得到了有力的支持F。

18.4 举例:跳楼

地球的存在 导致了地球周边的时空弯曲。这里我们忽略其他的天体以及地球自转。于是地球周边的时空分布应具球对称性。这样一来 径向自由运动(在地球某条半径所在的直线上运动)形成的世界线就是测地线。

我从楼上跳下,忽略空气阻力。于是我不受外力(考虑弯曲时空就没有引力了), 自由地沿着测地线运动(所谓的下落)。我撞上了地面, 意味着我受到了地面物质的作用。 于是不能再自由运动(下落)了F。

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