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家园 读史有感(毕达哥拉斯和欧几里得)

读史有感(毕达哥拉斯和欧几里得)

一般认为,数学是从古希腊的毕达哥拉斯开始的。他经说过一句名言:万物皆数。我们可以这样来理解这句话,我们所感知的东西说到底都是数,数是神的体现。《维基百科》说:“即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别,可理喻的东西是完美的、永恒的,而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大,并从此一直支配着哲学及神学思想。”这就是柏拉图理念论的来源。

现在有了科学,我们就有了一个极好的例子,拿颜色来说,我们归根到底只能说红光的波长是多少埃,因为色盲是不能感知红色的。这个世界五花八门,色彩缤纷,但说到底都不过是数,或者说最根本的就是数。

还可以这样想,要知道一个东西有多重要的最好办法就是去想没有了它是何光景,而我们甚至不能想象一个没有数的世界。比如说,我们能想象一个外星智慧生物没有手脚,甚至没有脑袋,控制系统是分布式的。但是,我们不可能想象那个世界里没有数。从广义地说,任何事情只能发生在时间,空间里,而没有了数,我们就无法量度时间,空间,它们就意思不大。

有一个颇有些像武打小说里的传说,毕达哥拉斯是教主,不过那一帮人不练武功,而是研究数学,那是因为他们认为数是万物之根本,当然,把这个弄明白这个世界就没有疑问了。并且他们很聪明,又很用功,历史上像这样的人是没有幸运的,结果就是发现了无理数。他们大为震惊,彼此发下毒誓,谁泄露出去就要被处死。就像我们经常在小说里看到的,誓言就是为了违背而存在的,就是有人不怕死,而且糟就糟在他们不练武功,追杀就不在行,于是大家都知道了无理数这个秘籍。

为什么他们发下毒誓,道理非常简单,无理数是不能光用数字就能完整地表达出来的,这样一来,万物皆数这个宗旨可就有危险了,如果有的东西连说都说不出来,数怎么能够是宗旨,有点像要自宫。

这一棒子打得非常重,有人把这称为第一次数学危机。就我个人看法,这是数学史上最重的一闷棍,人们一直昏了二千多年,到康托尔才能清醒过来,从集合论找到了突破口,第一次给出了实数的定义,从而根本改变了数学的面貌。

这实在有些令人费解,其间天才的数学家不算少,为什么没有人能解决这个不论在理论,还是在应用上都是绝对重要的问题,是做不到,还是不想做,我也不知道。

总的说来,毕达哥拉斯的数具有宗教的含义,所以说罗素认为,从一开始,西方数学和哲学就走了一条错误的道路,其错误是双重的。从大的方面来说,可感知的东西都有缺陷必然导致思想之上,这个世界是可能,而且只有通过思想来理解。既然感知的东西都靠不住,那么科学就没有了可能,因为科学是依赖于实验的。从另一方面,因为数的基础是逻辑,说万物皆逻辑要合理地多。比如在计算机中,加减乘除是转换成逻辑运算来完成,反过来是不行的。

罗素这种说法从今天的计算机很容易理解,计算机的硬件主要是由物理学家的工作奠定的基础,而物理学是要动手的,建立在实验之上的,只有思想,永远不能有今天的物理学,也就没有大规模集成电路,今天的计算机就没有了可能。同样,计算机软件的基础是数理逻辑,不是数,不把逻辑看成是一个更基本的东西,也没有今天的计算机科学。

这里可以看出一个重要的事实,人类总是从错误开始的。天文学是从占星术开始的,化学则起初与炼金术,炼丹术有关,物理学的起点更是一大堆乱七八糟的迷信。那种设想我们能找到一个正确指导思想就能解决一切问题,不过是一种幻想,得不到历史的支持。

数学的真正奠基人是古希腊的欧几里得,他所建立的平面几何今天还在中学课本里。从一些基本假设(公理)出发,用逻辑建立一个系统,至今仍然是所有数学的基本模式。

“欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一,他也是亚历山大里亚学派的成员。欧几里得写过一本书,书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展,对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学,但它还处理了数论、无理数理论等其他课题,例如著名的欧几里得引理和求最大公因數的欧几里得算法。欧几里得使用了公理化的方法。公理(Axioms) 就是确定的、不需证明的基本命题,一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中,每个证明必须以公理为前提,或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多二千年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果,整理在严密的逻辑系统運算之中,使几何学成为一门独立的、演绎的科学。”《维基百科》\n大概地说来,科学的结构也与数学类似,从基本的定律出发,从逻辑推到结论。所以说,要说对人类的影响深远,欧几里得可能要算第一。但是,欧几里得是一个非常模糊的人,“今日關於欧几里得的生平,我們知道的很少,而大部份關於欧几里得的資料都是來自普洛克努斯及帕普斯的評論。欧几里得生前活躍於亞歷山大圖書館,而且很有可能曾在柏拉圖學院學習。直到現在,我們都無法得知欧几里得的生卒日期、地點和細節。直到現在,我們還沒有找到任何欧几里得在世時期所畫的畫像,所以現存的欧几里得畫像都是出於畫家的想像。”《维基百科》

如果认为欧几里得才是真正建立了数学,把毕达哥拉斯发现无理数称为第一次数学危机就有些毛病了,还没有数学怎么能谈危机。但不管怎么说,走出第一步总是最难的,而且这个问题那么久才解决,由此导致了数学基础完全地重新定位。

其实认真分析一下就可以知道,毕达哥拉斯发现无理数归根到底使用的是逻辑,也就是说,后人只不过是把逻辑,而不把数看成是最基本的东西。这样一来,问题就解决了,说到底是人们转换了观念。

实际上毕达哥拉斯是一个更模糊人,有关史料都基本上是层层转述。我们确实能知道的,无非是:大家都说是他发现了无理数。但由于这个问题非常重要,我们在谈数学史的时候不能不提到他,不然就不能理解数学是怎么发展的,为什么维基百科会说:“当代数学家绝大多数接受康托尔的理论,并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫希尔伯特说:“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。””

就像我前面引用《维基百科》的那一句话,毕达哥拉斯深刻地影响了柏拉图,而柏拉图又是西方哲学中最重要的人物,那么毕达哥拉斯在哲学上地位就不能被忽视。

如果我们认为欧几里得的模式代表了数学的话,中国历史上并没有数学,从来就不知道有人从公理的角度来建立数学。拿无理数来说,中国人能计算π,但是却没有人认识到什么是无理数,看不到有理数存在着间隙这个关键的东西。用数学的用语,有理数是间断的,只有实数是连续的,而没有连续性就没有微积分,物理学就没有可能。

所以能这样理解,数学不简单的是一种智力的结果,不是聪明人就一定能发明的,而是一种文明的传播。

什么叫文明的传播,再来举一例:有科学家发现在某一个岛屿上有几群猴子,以某种植物的果实为生。但其中有群猴子很特别,知道把果实放到海水里去,沉下去的就敲开,浮上来的就扔掉,不值得费力气。而其他的猴子还是傻乎乎把每一个都敲开。猴子不能写一本历史书,科学家自然不知道是谁发明的,也许是聪明,也许是凑巧。但是,如果把那一群的一只弄到别的猴群去,好家伙,马上它们就跟着干了,这就是文明的传播。

如果我们认为数学是公理化,形式化的东西,那是欧几里得的结果,中国历史上并没有那种数学,别人也没有,只是西方文明的一个特殊产物,是文明传播的一个结果。其实近代的科学,也是西方文明在唱主角,我们现在自然科学的课本中的东西,又有几个是出自于中国人的贡献?

这是事实,不高兴也没有办法。

当然,我并不是说中国人不聪明,因为我也是中国人。至于为什么单单就是西方产生了欧几里得,恐怕是与文明的类型,结构有关,我只能说这些类似于废话的东西,太复杂了。

中国的文明是另一类文明,在某些方面要比西方强很多,我很高兴罗素也是这种看法,他可说了不少好话。为了减少砖头,我也得十分公正地指出,西方文明其实完全是一个大杂烩,比中国的文明要杂多了,地地道道是一个杂种,其中也无疑有中国的东西。我也很高兴罗素也是这样看,或者说,我这个想法就是从他那里来的。

从中国历史我们可以看到,从隋唐到清朝,中国的变化不大,中央集权的独裁,小农经济,读书人的前途是科举制度。近代中国的特征就是外面世界的冲击,中央之国的狂妄自大在也不能继续下去了。资本主义也好,共产主义也罢,都是西方文明的产物。

如果没有外面世界的影响,今天我们也许一样是梳着辫子进京赶考。当然,也许换了一个朝代,那就不梳辫子了吧。有一些所谓马克思主义的历史学家,认为中国迟早也会走上资本主义的道路,但那是从某种类似于教条的理论中得到的,是政治结论,不是历史事实。已经持续了一千多年的东西,凭什么说不会再有一个一千年。况且今天有很多人说,宋朝的市场经济是远远超过清朝的,这是在退步。

总而言之,文明的传播对今天的世界实在是太重要了,人要是关起门来,就只能等死,这一点从中国的历史中是看得最明白的。

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