主题:【讨论】转载:再谈“P vs NP”问题 -- 笑不拾

大河奔流 导读 复 12 阅 5120

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2019-12-15 21:32:04
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笑不拾
笑不拾`13268`/bbsIMG/face/0002.gif`70`8311`7177`88646`从八品上:承奉郎|御武(侮)校尉`2006-09-02 21:31:24`
【讨论】转载:再谈“P vs NP”问题 15

现在好像可以转载了吧?这个是“川大王垠”最近的一篇博客。缘起是他到杭州阿里“递简历”,结果被一个“阿里P10”羞辱了。那个“阿里P10”,据说是河北省理科高考状元,妥妥高考贵族。

川大王垠又是谁呢,“中国最有想法的程序员”。那是一定得怼回去滴。怼得还蛮有水平,大家有空可以读读。

另:谨以此文献给洒落同学。须知这些“高考贵族”中,也是有一些人在尽量利用自己学到的知识,不断思考(并且互怼)。碰得不巧呢,偶然也能对人类发展做些许贡献。

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转载开始:

谨以此文献给“最伟大的计算机科学家”。

好几年前曾经写过一篇文章表达对计算机科学里著名的 “P vs NP” 问题的看法。当

时正值我人生中第 N 次研究那些东西,由于看透了却不在乎,所以写得特别简略。没

想到有人看到后,还以为我没仔细学过复杂度理论,说我信口开河。我一般懒得谈论这

种太理论的问题,身边也很少有人关心,所以后来干脆把文章撤了。不是我说的有什么

不对,而是我懒得跟人争论。

没想到最近又遇到有人抓住我删掉的文章,乘机拿出来贬损我,尽其羞辱之能力。说王

垠你太自以为是了,你成天写那些博客,有什么价值吗?你居然连“P vs NP”都敢批

。你知不知道“P vs NP”要是解决了,世界将有天翻地覆的变化,多少的计算难题会

被解决,机器学习都没必要了,非对称加密全都被破解…… 跟上课似的头头是道滔滔

不绝,几乎把他本科算法课本上的内容给我背了一遍,以为别人不知道一样,却没有显

示出任何他自己的思想。

呃,我真是服了某些人背书冒术语的能力,难怪能做国内某大厂的 P10(注:不是我的

在职公司)。鉴于很多人对此类问题的一知半解,反倒嘲笑别人不懂,牛逼轰轰打压其

他人,我决定事后把这个问题再详细讲一下,免得以后还要为它费口舌。

对于初学者这篇文章有点门槛,需要学习一些东西。“P vs NP” 问题属于计算理论(

Theory of Computation)的一部分——复杂度理论。计算理论不止包括复杂度理论(

Complexity),还包括可计算性(Computability),也就是“停机问题”一类的内容。

国内大学的计算机教学一般在算法课上对复杂度理论有初级的讲授,但很少人能够真的

理解。如果你没有系统的学习过复杂度理论,我建议你研读一下计算理论的专著(而不

是普通的算法教材),比如 Michael Sipser 的『Introduction to the Theory of

Computation』。

我当年在 Indiana 做研究生计算理论课助教的时候,可算是把这书给看透了…… 被逼

的。其中“可计算性理论”在我将来的 PL 研究中起了比较大的启发作用,而复杂度理

论的用处一般。我觉得 Sipser 的书写的不够清晰透彻,但很多学校拿它做教材,好像

也没有其它特别好的替代品。

计算理论如此晦涩难懂,我认为图灵机是祸首。如果你能理解 lambda calculus,将会

大大简化理解计算理论的过程。如果你想用更深刻更容易的方法理解计算理论,可以参

考这篇文章的“Lambda 演算与计算理论”一节,里面会提到另一本参考书。从这篇文

章你也可以看出来,我丝毫不崇拜图灵。

“P vs NP” 真的重要吗?

“P vs NP” 这个问题有它的理论价值,它是有趣的问题,里面的有些思路有启发意义

,值得花些时间来了解。但计算机科学界长久以来都严重夸大它的重要性,把一个很普

通的问题捧上了天,吹得神乎其神。

再加上图灵机模型在计算理论界的广泛使用,使得这门学问显得异常艰深。很多人看到

图灵机就晕了,在课程上蒙混过关,考试完了就全忘了,根本无法理解里面的实质内容

。正是因为很多人的不明觉厉,使得“P vs NP”登上了它在 CS 界的宝座。

很多人做了一辈子计算机工作,做了很多巧妙的设计构架,写了许许多多的代码,解决

了很多性能难题。提到“P vs NP”,虽然一辈子都没用上这个理论,仍然顶礼膜拜。

由此可见“不明觉厉”对于人们心理的威力。

很多人认为“P vs NP”是计算机科学最重要的问题。Clay 数学研究所甚至悬赏一百万

美元解决这个问题,把它叫做数学界的 7 个千年难题之一,跟黎曼猜想并列其中。

好几次有人声称解决了“P vs NP”,上了新闻,闹得舆论沸沸扬扬,小编们吹得好像

世界要天翻地覆了一样,把他们追捧为天才苦行僧,后来却又发现他们的结果是错的……

如果你真的理解了“P vs NP”的内涵,就会发现这一切都是闹剧。这个问题即使得到

解决,也不能给世界带来很大变化。解决这个问题对于现实的计算,作用是微乎其微的

。不管 P 是否等价于 NP,我们遇到的计算问题的难度不会因此有重大改变。

甚至有些数学家认为“P vs NP” 根本没有资格跟黎曼猜想一起并列于“千禧年问题”

。我倒是希望有人真的解决了它,这样我们就可以切实的看到这有什么意义。

“P vs NP” 也许不是愚蠢的问题,但计算机科学界几十年以来夸大它的重要性的做法

,是非常愚蠢的,让整个领域蒙羞。

真正重要的数学问题被解决,应该对现实世界具有强大的作用。这种作用可以是“潜在

的”,它的应用可以发生在很久以后的将来,但这必须能够被预见到。数学家们把这叫

做“applicable result”(注意不叫 applied 或者 practical)。否则这个数学问题

就只能被叫做“有理论价值”,“有趣”,而不能叫做“重要”。即使所谓“纯数学”

,也应该有可以预见的效果。

很多数学家都明白黎曼猜想(Riemann hypothesis)的重要性。大数学家希尔伯特说过

:“如果我沉睡了三千年醒过来,我的第一句话会是‘黎曼猜想被解决了吗?’” 假

设希尔伯特还在世,他会对解决“P vs NP”有同样的渴望吗?我觉得不会。实际上,

很多数学家都觉得“P vs NP”的重要性根本没法和黎曼猜想相提并论,因为我们预见

不到它会产生任何重要的效果。

什么是多项式时间?

很多人提到“P vs NP”就会跟你吹嘘,P 如果等于 NP,世界将有天翻地覆的变化。许

许多多我们以前没法办到的事情,都将成为现实。非对称加密技术会被破解,生物化学

将得到飞跃,机器学习将不再有必要……

这些人都忽略了一个重要的问题:什么是多项式时间。盲目的把“多项式”等同于“容

易”和“高效”,导致了对 “P vs NP” 重要性的严重夸大。

n100 是不是多项式?是的。n1000000 也是多项式。n100100 也是多项式,n100100100

也是多项式…… 实际上,只要 n 的指数是常数,它就是一个多项式,而 n 的指数可

以是任意大的常数!n 的指数可以是任意大的常数!n 的指数可以是任意大的常数!重

要的事情说三遍。

时间复杂度 n100100100 的算法,能用吗?所以即使 P=NP,你需要的计算时间仍然可

以是宇宙毁灭 N 次,其中 N 是任意的常数。

说到这里,又会有人跟我说你不懂,当 n 趋近于无穷的时候,非多项式总会在某个时

候超越多项式,所以当 n “足够大”的时候,多项式时间的算法总是会更好。很可惜

,“无穷”对于现实的问题是没有意义的。任何被叫做“重要”的问题,都应该在合理

的时间内得到结果。

我们关心的要点不应该是“足够大”,而是“具体要多大”。精确的量化,找到实际可

以用的区间,这才是合格的科学家该有的思路。计算机科学里,大 O 表示法泛滥成灾

,只看最高次幂,忽略系数和常数项,也是常见的误区。我也曾经沉迷于如何把 O(n3)

的算法降低到 O(n2.9),现在回头才发现当年是多么的幼稚。

“多项式时间”这个概念太宽泛太笼统。以如此笼统的概念为基础的理论,不可能对现

实的计算问题产生意义。我们关心的不应该仅仅是“是否多项式”,而是“具体是什么

样的多项式”。6n20 + 26n7 + 200,1000n3 + 8n2 + 9,…… 每一个多项式的曲线都

是很不一样的,在各个区间它们的差别也是不一样的。多项式的幂,系数,常数项,它

们的不同都会产生重大的差异。

这就是为什么“P=NP”没有很大意义,因为 P 本身太笼统,其内部的差异可以是天壤

之别。与其试图笼统的证明 P 等价于 NP,还不如为具体的问题想出实质意义上高效的

算法,精确到幂,系数,常数项。

更进一步看,这些“复杂度”的数学公式,不管是多项式还是指数,不管你的幂,系数

常数项有多精确,终究难以描述现实系统的特性。物理的机器有各种分级的 cache,并

行能力,同步开销,传输开销,各种瓶颈…… 最后你发现性能根本无法用数学公式来

表达,它根本不是一个数学问题,而是一个物理问题,工程问题。这就像汽车引擎的功

率一样,只有放到测试设备(Dyno)上面,通过系统的测量过程才能得到。

有些理论家喜欢小看“工程”,自以为会分析复杂度就高高在上的样子,而其实呢,工

程和物理才是真实的。数学只是粗略描述物理和工程的工具。

P!=NP 有意义吗?

“P vs NP”问题有两种可能性:P=NP(等价),或者 P!=NP(不等价)。以上我说明

了 P=NP 的意义不大,那么要是 P!=NP 呢?

很多人会跟你说,要是一个问题是 NP-Hard,然后又有 P!=NP,那么我们就知道这个问

题没有多项式时间的算法存在,就避免了为多项式时间算法浪费时间了。这不也有一些

价值吗?

我并没有否认 P!=NP 是有那么一点价值:在某些时候它也许避免了浪费时间。但这种

价值比较小,而且它具有误导性。

一个常见的 NP-Hard 问题是 SAT。如果 P!=NP,那么大家就应该放弃为它找到高效的

算法吗?如果大家都这样想,那么现在的各种高效的 SAT solver 就不存在了。实际上

,利用随机算法,我们在大多数时候都能比较快的解决 SAT 问题。

问题在于,“P vs NP”关心的只是“最坏情况”,而最坏情况也许非常罕见。有些问

题大部分实际的情况都可以高效的解决,只有少数变态的情况会出现非常高的复杂度。

为了这少数情况放弃大多数,这就是“P vs NP”的误导。

如果因为 P!=NP,你认为 NP-Hard 的问题就没有高效的算法,那你也许会误以为你可

以利用这些“难题”来做非对称加密。然而 NP-Hard 并不等于没法快速解决,所以要

是你因此被误导,也许会设计出有漏洞的加密算法。

即使 P!=NP,我们仍然不能放弃寻找重要的 NP-Hard 问题的高效算法,所以确切的证

明 P!=NP 的价值也不是那么重要了。其实你只要知道 P=NP “大概不可能”,就已经

能起到“节省时间”的目的了。你没必要证明它。

什么是 NP?

这一节我来讲讲“P vs NP”里的“NP”到底是什么。内容比较深,看不懂的人可以跳

过。

很多人都没搞明白 NP 是什么就开始夸夸其谈“P vs NP”的价值。 经常出现的错误,

是把 NP 等同于“指数时间”。实际上 NP 代表的是“Nondeterministic Polynomial

time”,也就是“非确定性图灵机”(nondeterministic Turing machine)能在多项

式时间解决的那些问题。

什么是“非确定性图灵机”?如果你把课本上那堆图灵机的定义看明白看透了,然后又

理解了程序语言理论,你会发现所谓“非确定性图灵机”可以被很简单的解释。

你可以把我们通常用到的程序看作是“确定性图灵机”(deterministic Turing

machine)。它们遇到条件分支,在同一个时刻只能走其中一条路,不能两边同时探索。

那么“非确定性图灵机”呢?你可以把“非确定性图灵机”想象成一个具有“超能力”

的计算机,它遇到分支语句的时候,可以同时执行 True 和 False 两个分支。它能够

同时遍历任意多的程序分支,这是一台具有超能力的机器!

所以“P vs NP”的含义大概就是这样:请问那些需要非确定性图灵机(超能力计算机

)在多项式时间才能解决的问题,能够用确定性图灵机(普通计算机)在多项式时间解

决吗?

现在问题来了,具有如此超能力的机器存在吗?答案当然是“No!” 就算是量子计算

机做成功了,也不可能具有这样的计算能力。没有人知道如何造出非确定性图灵机,人

们没有任何头绪它如何能够存在。

所以 “P vs NP” 这个 问题的定义,是基于一个完全假想的机器——非确定性图灵机

。既然是假象的机器,为什么一定要是“非确定图灵机”呢?为什么不可以是其它具有

超能力的东西?

仔细想想吧,“非确定性图灵机”对于现实的意义,就跟 Hogwarts 魔法学校和哈利波

特对于现实的意义一样。我们为什么不研究“P vs HP”呢,其中 H 代表 Harry

Potter。HP 定义为:哈利波特能够在多项式时间解决的问题。

“P vs NP”问题:请问那些需要非确定性图灵机(超能力计算机)在多项式时间才能

解决的问题,能够用确定性图灵机(普通计算机)在多项式时间解决吗?

“P vs HP”问题:请问那些需要哈利波特在多项式时间才能解决的问题,能够用确定

性图灵机(普通计算机)在多项式时间解决吗?

我不是开玩笑,仔细回味一下 “P vs NP” 和 “P vs HP” 的相似性吧。也许你会跟

我一样意识到 NP 这个概念本身就是虚无的。我不明白“一个不存在的机器能在多项式

时间解决的问题”,这样的说法有何意义,基于它的理论又有什么科学价值。

非确定性图灵机存在的意义,也许只是因为它可以被证明等价于其它一些常见的问题,

比如 SAT。计算理论书籍一般在证明 SAT 与 非确定性图灵机等价性之后,就完全抛掉

了非确定性图灵机,之后的等价性证明都是通过 SAT 来进行。

我觉得 NP 这个概念其实是在故弄玄虚。我们完全可以从 SAT 本身出发去发展这个理

论,而不需要设想一个具有超能力的机器。我们可以有一个问题叫做“P vs SAT”,而

不出现 NP 这个概念。

(有点扯远了)

其它质疑 P vs NP 价值的人

有人认为我质疑 P vs NP 的价值是一知半解信口开河,然而我并不是第一个质疑它的

人。很多人对 P vs NP 都有类似的疑惑,但因为这个问题的地位如此之高,没人敢站

出来。只要你开口,一群人就会居高临下指责你基础课程没学好,说你眼界太窄……

再加上那一堆纷繁复杂基于图灵机的证明,让你有苦说不出。

由于这个原因,我从来没敢公开表达我的观点,直到我发现 Doron Zeilberger 的这篇

文章。Zeilberger 是个数学家,Rutgers 大学的数学系教授。在那之前他开了个玩笑

,戏称自己证明了 P=NP,还写了篇像模像样的论文。在文章里他告诫大家:不要爱上

你的模型(Don’t Fall In Love With Your Model)。他这句话说到了我心里。

你还能在网络上找到其它人对“P vs NP”的质疑,比如这篇来自于一位专门研究计算

理论的学者:

​ Is P=NP an Ill Posed Problem?

我觉得他讲的也很在理。正是在这些人的鼓舞之下,我随手写出了之前对“P vs NP”

的质疑。只言片语里面,融入了我多年的深入学习,研究和思考。

总结

看这篇文章很累吧?我写着也累。对于我来说这一切都已经那么明了,真的不想费口舌

。但是既然之前已经说出来了,为了避免误解,我仍然决定把这些东西写下来摆在这里

。如果你暂时看不懂可以先放在一边,等到了需要深入研究计算理论,想得头痛的时候

再来看。你也许会感谢我。

我希望严谨的计算机科学工作者能够理解我在说什么,反思一下对“P vs NP”的理解

。计算机专业的学生应该理解“P vs NP”理论,但不必沉迷其中。这并不是一个值得

付出毕生精力去解决的问题。计算机科学里面还有其它许多有趣而重要的问题需要你们

去探索。如果你觉得计算机科学都不过瘾,你可以去证明黎曼猜想啊 :)

当然所有这些都是我的个人观点,我没有强求任何人接受它们。强迫别人接受自己的观

点是不可以的,但想阻止别人表达对此类问题的质疑,也是不可以的,因为我们生活在

自由的世界。

没人想抢走你们的玩具,但不要忘了,它只是玩具。


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