主题：大家怎么看证明庞加莱定理 -- 北风之神

注： 个人感觉这个评论比其他的更专业细致些，请大家评判

送交者: HPCZ 2006年7月02日19:51:55 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com

（http://www1.bbsland.com/education/messages/287625.html〕

Hamilton has classified 3 manifolds except that

(1). one exception, a cigar type singularity.

(2). one assumption, he assumed that

每个有限时间段内只进行有限次手术。

Prelman

(i). Ruled out the exception (1)

(ii). Sketched steps for (2), missing details.

(iii)对于粗的部分，基于李伟光-丘成桐-Hamilton 的估计，Perelman 建立了一个关键的椭圆型估计，使得他可以证明粗的部分由双曲片组成。对细的部分，由于他只能得到截面曲率的一个(局部)下界, 他宣布了一个新的塌陷结果。假设这个新的塌陷结果成立，Perelman 认为手术解与Hamilton工作中的非奇异解具有相同的长时间行为，这个结论可以推出 Thurston 几何化猜想的证明。

Perelman 期望的这个新的塌陷结果还未见诸文献，

Shioya-Yamaguchi 在闭空间的特殊情形发表了一个塌陷结果的证明。

Cao-Zhu

a. Give details for (i),(ii), especially (ii),

some parts took different approaches from Perelman\'s.

b. (yau\'s comments in ppt before 后记

手术时间的离散性，比例尺论证

当对Hamilton方程的手术解采用比例尺论证，我们遇到如何应用Hamilton紧性定理的困难，因为这个紧性定理只对光滑解有效。

克服这个困难的想法由两部分组成：

---（Perelman）: 选择截断半径充分小，将手术区域远推。

---（曹怀东－朱熹平）：建立了三个关于手术解的时间延展的结果，使得Hamilton的紧性定理仍然可用。为了达到这个目的，他们需要对手术区域的延伸有深刻的了解，这用到 陈兵龙-朱熹平关于非紧流形上Hamilton方程解的唯一性定理。

总结庞加莱猜测证明

一旦知道手术相对于时间是离散的，我们可以完成正数量曲率三维空间的分类，这是 Schoen-丘成桐最早研究的问题。

更重要的，对单连通三维空间，结合 Colding-Minicozzi（2005）的有限时间消亡性结果，这就提供了庞加莱猜测的完整证明。

c. about (iii) of Perelman

最近，曹怀东－朱熹平在前面工作的基础上给出了 Thurston 几何化猜想的一个完全证明。

yau actually made more comments on Cao_Zhu\'s work in ppt

than in that in 后记。see

http://www.mcm.ac.cn/Active/20060626_005.ppt

The following is from yau\'s ppt talk.

手术时间的离散性，比例尺论证

当对Hamilton方程的手术解采用比例尺论证，我们遇到如何应用Hamilton紧性定理的困难，因为这个紧性定理只对光滑解有效。

克服这个困难的想法由两部分组成：

1. （Perelman）: 选择截断半径充分小，将手术区域远推。

2. （曹怀东－朱熹平）：建立了三个关于手术解的时间延展的结果，使得Hamilton的紧性定理仍然可用。为了达到这个目的，他们需要对手术区域的延伸有深刻的了解，这用到 陈兵龙-朱熹平关于非紧流形上Hamilton方程解的唯一性定理。

总结庞加莱猜测证明

一旦知道手术相对于时间是离散的，我们可以完成正数量曲率三维空间的分类，这是 Schoen-丘成桐最早研究的问题。

更重要的，对单连通三维空间，结合 Colding-Minicozzi（2005）的有限时间消亡性结果，这就提供了庞加莱猜测的完整证明。

(19.4) IV. 几何化猜测的证明：粗细分解

为了研究一般空间的结构，我们仍然需要分析Hamilton方程的手术解的长时间行为。正如我们在 II 中所提到的，Hamilton在1996年研究了一些特殊光滑解的行为。

粗细分解

Hamilton证明任意三维非奇异解容许一种粗细分解，其中粗的部分由有限多个双曲空间组成，而细的部分塌陷。通过改进 Schoen-丘成桐的极小曲面理论，Hamilton进一步证明双曲片的边界是不可压缩环面。所以，任何非奇异解都是可以几何化的。

虽然非奇异的假设的有局限性，但Hamilton的想法与论证在 Perelman 的工作中起了很关键的作用，特别用来分析一般手术解的长时间行为。

这样, Perelman 宣称可以用粗细分解来给出 Thurston 几何化猜测的证明。

对于粗的部分，基于李伟光-丘成桐-Hamilton 的估计，Perelman 建立了一个关键的椭圆型估计，使得他可以证明粗的部分由双曲片组成。对细的部分，由于他只能得到截面曲率的一个(局部)下界, 他宣布了一个新的塌陷结果。假设这个新的塌陷结果成立，Perelman 认为手术解与Hamilton工作中的非奇异解具有相同的长时间行为，这个结论可以推出 Thurston 几何化猜想的证明。

虽然 Perelman 期望的这个新的塌陷结果还未见诸文献，Shioya-Yamaguchi 在闭空间的特殊情形发表了一个塌陷结果的证明。最近，曹怀东－朱熹平在前面工作的基础上给出了 Thurston 几何化猜想的一个完全证明。

(20) 后记

在 Perelman 的工作中，许多关键的证明思想只是作了勾画或略述，而经常缺少完全的细节。最近曹怀东－朱熹平2005年提交给《亚洲数学杂志》（ Asian Journal of Mathematics） 的文章给出了庞加莱与 Thurston 几何化猜想的第一个完整与详细的描述。他们在自己工作基础上，给出了 Perelman 工作的几个步骤的新证明。

过去三年中，许多数学家试图探究: Hamilton与Perelman 的想法是否可以结合起来? Kleiner 与 Lott （2004）在网上公布了关于 Perelman部分工作的注记。不过这些注记与完整的证明相差甚远。在曹怀东－朱熹平的工作在2006年4月宣布以后，Kleiner 与 Lott 在五月底公布了一篇比他们在2004年完整的笔记。他们的方法与曹怀东－朱熹平的方法有所不同。要完全理解他们的笔记还需要一些时间，因为在其中几个关键的地方仍然非常粗略。

Hamilton纲领的成功是过去三十年中几何分析学家集体努力的成果。这应该被看作几何分析学科伟大的成就，它的奇妙之处在于只用几何与分析就能够证明极度困难的拓扑学定理。

Hamilton方程是一个复杂的非线性偏微分方程组。这是数学家们第一次能够理解复杂的偏微分方程组的奇点和演化。

类似的方程组在自然现象中比比皆是。解决Hamilton方程的方法将给这些自然的方程, 如 Navier-Stokes 方程和爱因斯坦方程, 的研究带来曙光。