主题:【原创】谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系 -- 不爱吱声

大河奔流 导读 复 47 阅 122378

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2006-12-11 10:41:31
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冷原子
冷原子`14823`/bbsIMG/face/0000.gif`70`1147`2599`24240`从四品下:中大夫|明威将军`2006-11-27 13:35:07`
关于量子力学及其他 18

矩阵力学和波动力学的等价性是薛定谔证明的,而不是费曼。二十年代中期,薛定谔和海森堡差不多同时分别提出了波动力学和矩阵力学。几个月之后薛定谔就证明了这两种力学是等价的。后来,这个统一的量子力学数学结构被英国物理学家狄拉克(P.A.M.Dirac)进一步阐述清楚。不久,冯.诺伊曼(就是在计算机发展中起重要作用的那位)的名著《量子力学的数学基础》更利用泛函分析建立了严格的量子力学的数学结构。尽管这本书的德文版直到五十年代才被翻译成英文。费曼发明路径积分是四十年代的事情,那个时候,量子力学的数学体系早已完备。

事实上最初的矩阵力学和波动力学分别对应了态空间中的能量表象和坐标表象。因为一开始处理的都是束缚态的问题,故而能量是分立的,所以能量表象下的量子力学才以分立矩阵的面目出现。

另外楼主说数学工具的发展通常早于使用它的自然科学。这句话对于数学体系而言是对的。但是说道具体的计算方法,就不尽然了。事实上物理学中经常会碰到数学家处理不了的问题,比如一些特殊的微分方程。事实上,物理学家们真的好希望目下的数学能发展到无所不能的程度,或者至少在解微分方程上无所不能,或者在退一步,解线型微分方程上无所不能。但这只是个梦想。更多的时候物理学家求人不如求己,总是要自己想办法做各种在数学上不严格,但确实正确可用的近似。杨振宁曾经引用哈代(?)讲过的一个寓言故事,说某人抱着一对脏衣服,来到洗衣店,结果店员说“我们这里不负责洗衣服”。顾客说“可是你们店门口挂着洗衣店的牌子啊”,店员说“那只不过是一块牌子。”故事里面的顾客就是物理学家,脏衣服就是物理学中的数学问题,而店员就是数学家。

物理学家们不得已而为之使用的一些自创的数学方法,有时甚至会带动数学的发展。最著名的例子就是狄拉克的delta函数,引发了数学中的广义函数理论。也有很多物理学家是用的方法,直到现在在数学上也不能给予充分严格的阐述,也就给数学家们留下了可供研究的问题。费曼提出的路径积分就是这样一个例子。所以说,数学和自然科学的发展,其实是互动的。自然科学家们,并不是一味的被动的接受和使用数学。


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