主题：【文摘】弦论通俗演义（一） (作者：李淼） -- 不爱吱声

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此文远远称不上通俗。更远远不如《上帝会掷骰子吗--量子物理史话》来的好看。

第四章　第一个十五年（第一节）　　

从1968年威尼采亚诺发表以他的名字命名的散射振幅公式到1984年的超弦第一次革命，弦论的初级阶段大概延续了15年。转眼之间，弦论的第二个15年也已过去。我们仅用一章来谈第一个15年，第二个15年将是本演义的主要话题，要看作者的能力、精力和时间，写到那儿就是那儿。　　

我们早在第一章就已提过，弦论起源于60年代的强相互作用的研究。60年代粒子物理主流是强相互作用，原因很简单，因为加速器的能量正好处在探测强相互作用的能区，即几个京电子伏(Gev)和几十京电子伏之间。建在加州大学柏克利分校的同步加速器所达到的能量是6.2京电子伏，在50年代末和60年代初提供了大量的关于强相互作用的数据，不断地产生新的强子。所以柏克利的丘(Geoffrey F. Chew)近水楼台先得月，成了60年代粒子物理领导潮流的人。由于新强子的不断产生，人们很快认识到场论无法用来描述强相互作用。由于高自旋强子共振态的存在，场论无法避免一些令人不快的性质，如不可重正性。朗道等人也早就证明即使是最成功的量子场论，量子电动力学，在根本上是不自恰的理论。量子电动力学是可重正的，但是它的耦合常数随着能量的提高而变大，且在一定的能量上达到无限大。这个能量叫朗道极点。朗道极点的来源是有限的电子质量和在这个能量上有限的耦合常数。如果我们希望将朗道极点推到无限大，那么低能的耦合常数只能是零，这就是有名的莫斯科之零。　　

由于以上所说的原因，整个60年代量子场论被看成是过时的玩意。丘等人强调场本来就是不可观察量，只有散射振幅是可观察的，所以散射矩阵理论成了60年代的时尚。坚持研究量子场论的人廖若晨星，我记得丘当年的一个学生谭崇义经常告诉我，就连盖尔曼(M. Gell-mann)都不得不跟随潮流，可见丘及其跟随者的影响力。谭崇义在提到这些往事时是得意的，因为丘不仅影响大，而且看问题有一定的哲学深度。维尔特曼后来的话很好地体现了研究场论的人少到的程度：他自己是恐龙时代少数的量子场论哺乳动物。公理化场论的创始人惠特曼(A. Wightman)在他的普林斯顿办公室的们上贴了张纸条，上书：本办公室应丘的指令已经关闭。　　

散射矩阵理论被看作唯一可以描述粒子物理的理论。散射矩阵理论拒绝讨论任何局域可观察量，虽然不排除适当的局域性。散射矩阵理论首先要求绝对稳定的粒子态存在，这些粒子态和相应的多粒子态形成渐进态集合。散射矩阵无非是从渐进态集合到渐进态集合的一个线性映射。散射矩阵满足数条公理：对称性，么正性和解析性。对称性无非是说散射矩阵元在一些对称变换之下不变，最一般的对称性就是彭加勒对称性，一些内部对称性也是允许的。么正性就是量子力学中的机率守恒。最后，解析性是散射矩阵理论中最有意思，也是最不容易理解的性质。所谓解析性是指一个散射矩阵元作为一些动力学量如质心能量、交换能量，角动量的函数是解析函数。对于一些简单的散射过程，人们可以证明解析性是相对论性因果律的推论，最早的色散关系就是这样导出的。事实上，离开局域量子场论，人们只能假定一般的解析性是宏观因果律的推论。　　最常见的，也是分析得最透彻的是两个粒子到两个粒子的散射振幅。两个粒子当然可以通过散射变成许多不同的粒子，把所有这些过程都包括的结果叫全散射过程(inclusive process)，而仅考虑两个粒子散射成两个固定的粒子的过程叫排他过程(exclusive process)。解析性通常只是针对排他过程而言。这样一个过程，除了各个粒子本身的标记，可变动力学量只有两个，就是两个粒子在质心系的总能量和粒子散射过程中的能量转移。第二个量在质心系中又和粒子的散射角有关，这两个动力学量是更一般的叫做曼德斯塔姆变量(Mandelstam)的一种特殊情形。将粒子散射振幅看做曼德斯塔姆变量的函数，并将这个函数延拓到每个变量的复平面上，除了一些特殊的点之外，散射振幅是每个曼德斯塔姆变量的解析函数。这个重要特徵在很多情况下可以用来几乎完全决定整个散射振幅。　　

60年代的实验表明，很多两个粒子到两个粒子的散射振幅满足一种对偶性，这种对偶性叫s-t道对偶，也就是说散射振幅作为两个曼德斯塔姆变量s和t的函数是一个对称函数。物理上，这等于说散射振幅的s道贡献等于t道的贡献。我们现在解释一下何为s道贡献何为t道贡献。在粒子散射过程中，如果两个散射粒子先结合成第三个粒子，这第三个粒子再分裂成两个粒子，这个过程就叫s道过程。我们举两个s道过程的例子。第一个例子是，光子与电子的散射，也就是康普顿散射。在这个散射过程中，电子先吸收光子变成一个可能不在质壳上的电子，然后发射出一个光子再回到质壳上上去。另一个例子是，一个电子与一个正电子湮灭成一个光子，然后这个光子再分裂成一个电子和一个正电子。我们叫这种过程为s道过程的原因是中间过程中的第三个粒子的能量就是质心系中的总能量，也就是s。t道的物理过程的定义是，在两个粒子的散射过程中，这两个粒子并无直接接触，而是通过交换一个粒子进行相互作用。这个被交换的粒子的能量就等于交换能量，也就是t，所以这种过程叫t道过程。　　

通过以上的描述，我们看到s道贡献和t道贡献的贡献完全不同，直觉告诉我们这两个道对一个散射振幅的贡献不可能相等。如果我们用量子场论来计算，s道贡献和t道贡献的确不等，所以如果s-t道对偶在强相互作用中是严格的，那么强相互作用就不可能用量子场论来描述。当然我们可以推广量子场论使其包括无限多个场，这样每个道都有无限多个过程，虽然s道中的每一个过程不与t道中的某一个过程相等，这两个无限之和却有可能相等。　　

1968年，威尼采亚诺猜到了一个简单的但具有s-t道对偶性的散射振幅公式。这个公式的确可以拆成无限多个项，每一项对应一个s道过程，中间第三个粒子的自旋可以任意大，而质量也可以任意大。这个公式同样也可以拆成无限多个t道的贡献，每个被交换的粒子有自旋和质量。对于一个固定的自旋，粒子质量有一个谱，这个谱的下限与自旋有关。数学上，最小质量的平方正比于自旋，这个公式叫雷吉轨迹(Regge trajectory)，是雷吉在分析散射振幅作为角动量的解析函数时发现的。这个发现早于威尼采亚诺的发现。雷吉轨迹又和雷吉行为有关，雷吉行为是，当质心系中的总能量很大时，散射振幅作为质心系能量的函数是幂律的，这个幂与交换能量成正比。这种行为在t道中有简单的解释：每个t道的贡献与总能量的幂次成正比，幂次就是被交换粒子的自旋；而最大自旋又与该粒子的质量平方成正比，对整个振幅贡献最大的粒子的质量平方接近于交换能量的平方。　　

威尼采亚诺公式在当时来说仅适用于一种两个粒子到两个粒子的散射。这个公式在当年和第二年被许多人作了在不同方向上的推广，如巴顿和陈(J. E. Paton and H. Chen)将它推广到散射粒子带有同位旋量子数的情形，他们引进的同位旋因子在以后构造含有规范对称的开弦中起到不可或缺的作用。现为的里雅斯特国际理论物理中心主任的维拉所罗(M. Vorasoro)将威尼采亚诺公式推广到针对三个曼德斯塔姆变量完全对称的散射振幅，这个维拉所罗公式后来被证明是闭弦的散射振幅。不下于4组人独立地将威尼采亚诺公式推广到包括任意多个粒子参与散射的情形。富比尼(Fubini)和威尼采亚诺本人证明这些散射振幅可以分解为无限多个两个散射振幅的乘积，这两个散射振幅通过一个中间粒子联接起来，而这个中间粒子可以表达为谐振子的激发，这离发现弦的表述只有一步之遥。

　　　　　　　第三章　超对称和超引力

　　　　　　　　　　　（第一节）

　　场论与量子力学的结合产物是量子场论。量子场论早期遇到的困难是紫外发散。发散对物理学家来说并不陌生，洛伦兹和彭加勒在古典电子论中已经遇到了发散，就是电子的无限大自能。他们假定电子的半径不为零，这样就得到了有限的结果。非常令人惊奇的是，如果假定电子的能量完全来自自能，他们的结果与爱因斯坦的著名的质能关系几乎一样。而洛伦兹的结果出现在1904年，比爱因斯坦发现狭义相对论早了一年。另外一种发散导致普朗克早几年引进量子的概念，这就是黑体辐射的紫外灾难。

　　紫外灾难与电子的无限大自能不同之处在于，后者是由于电荷集中在无限小的区域，而前者的原因是一个固定的相空间区域有无限多个态。普朗克引进量子使得每一个态占据一定的相空间，因此黑体幅射作为一种自由理论变成了有限的。量子论并没有解决相互作用的发散问题，因为这种发散的根源是，在一个固定的空间区域有无穷多个自由度。换言之，对应一个有限的空间区域，其相空间为无限大，我们必须计及无限大的动量空间。所以，普朗克的量子“正规化”了相空间，并没有将空间“正规化”。

　　一种人为的正规化办法是在动量空间引进截断，也就是说我们在做计算的时候假定有一鲎畲蟮亩?量。通过测不准原理，这样做等价于在空间上作一个小距离截断。从场论的观点讲，这等于我们假定所有的场在小于一定的距离上没有变化。这样做既排除了经典上的发散如电子的无限大自能，也排除了新的量子发散。新的量子发散来自小距离上的量子涨落，如正负电子对的产生和湮灭。当截断被去除后，通常我们还是得到无限大的结果，这就迫使人们引进“重正化”。重正化的办法是引进所谓裸参数，如电子的质量和电荷，这些裸参数是截断的涵数。而物理参数仅是物理过程涉及到的能量的涵数，其来源分成两部份，一部份是裸参数，另一部份来自介于截断和物理能量之间的量子涨落。如果所有的无限大都能用重正化来消除，我们则称该量子场论是可重正的】

　　以上的重正化观念是老的观念，也就是费曼、薛温格和朝永振一郎所采用的办法，现在又叫粒子物理的重正化观念。现代有效量子场论并不要求可重正性。在有效量子场论中，如果我们仅仅对一定能量以下的物理现象感兴趣，我们可以将高能的模“积掉”，也就是说高能的模对低能模的效应可以由低能模的有效哈密顿量 (Hamiltonian) 或者拉氏量 (Lagrangian) 完全体现出来。不同的高能拉氏量可能产生相同的低能拉氏量，如果我们仅对一定能量以下的物理感兴趣，高能理论

的行为就无关紧要了。一个不可重正的理论在高能区需要越来越多的参数，所以，用现代量子场论的观点来看，可重正性等价于高能区有一个不动点，这就是可重正性的可预言性的全部含义。

　　所以，我们并没有理由要求我们的粒子模型一定是可重正的。粒子物理的标准模型恰恰是可重正的，严格来说，这并不意味着标准模型有一个紫外（高能）不动点，但肯定意味着标准模型可以被放进一个更大的、有紫外不动点的理论。这个事实本身，从有效量子场论的角度来看，已经耐人寻味。如果把引力包括进来，我们有理由要求整个理论是可重正的，因为引力本身已经蕴涵着一个能量极限，也就是普朗克能量。当然我们也可以假定在普朗克能量之上还不断地有新的物理，这种哲学和统一观点背道而驰。也许，标准模型的可重正性以及弦论作为可重正的（其实是有限的）引力 理论的存在是对持统一观点的人的极大支持。

　　有两种方式判定一个理论是否是可重正的。通常用的办法是微扰展开，就是从一个自由理论即没有相互作用的理论出发，加上一些相互作用项，每一项有一个对应的参数，通常叫做耦合常数。如果某个参数带有长度量纲或长度量纲的正幂次，我们称该项为无关项（irrelevant term）；如果对应的参数带有长度量纲的负幂次，则称该项为相关项 （relevant term）。一个无关项，通过量纲分析，在低能区变得不重要（无关因此得名）而在高能区变得重要，原因是其影响可通过一个无量纲参数，即耦合常数乘以能量的正幂次来确定。如果某一无关项在一能区存在，那么它在更高的能区会引出更多的不同的无关项，所以无关项又是不可重正的。

　　引力所对应的耦合常数是牛顿引力常数的平方根，所以引力是不可重正的。这个事实可以用以下的简单方法看出。爱因斯坦理论是非线性的，它的第一个相互作用项是度规场的立方项，其对应的耦合常数是牛顿引力常数的平方根。在四维中，如同任何一个玻色场，引力场带有质量量纲，即长度量纲的倒数。立方耦合项一定含有两次微分，这同样可以通过量纲分析来看出，因为耦合常数有长度的量纲。一个相互作用项所含的微分次数越高，它对量子涨落的发散的贡献越大，因为该项在高能区变得越来越大――每增一次微商，就多了一个能量因子。为了消除这些发散，我们就不得不引进越来越多的无关项，这样引力没有一个在高能区有好的定义的理论。

　　顺便提一下，我们前面说引力的最简单的相互作用项含有两次微商，这与引力子是自旋为２的粒子有关。一般的规范场所对应的量子自旋为１，其简单的相互作用项含有一次微商。更为一般的结论是，自旋为几的粒子所对应的相互作用必定含有几次微商。所以，一个含有自旋为３粒子的理论一定是不可重正的。在四维中，可以证明，可重正的量子场论最多只含自旋为１的粒子――这是70年代初量子场论的重要结果。 人们实际上得到更强的结论，所有可重正的，含有自旋为１的粒子的量子场论必为规范理论，即杨－米尔斯理论。

　　我们上面提到，以威尔逊的现代场论观点来看，我们没有理由要求引力是可重正的。也许真实的图象是，当我们不断地提高能量，物理理论变得越来越复杂，而爱因斯坦的理论只不过是一个低能有效理论。虽然我们不能完全排除这种可能，我们提到的普朗克能标的存在暗示着在高能区存在一个简单的量子引力理论。黑洞的存在也支持这个可能性。设想我们用带有很高能量的粒子束来探测小距离上的时空结构，如果没有引力，海森堡测不准原理告诉我们能量越高，我们探测的距离越小。引力介入后，过去很多人，特别是惠勒(John A. Wheeler)，相信越高的能量会带来越大的时空涨落，如所谓的时空泡沫(spacetime foams)。时空泡沫指的是在普朗克距离上时空的拓扑不确定，有许多虫洞(wormholes)结构。黑洞的形成使得这些如时空泡沫的结构能否被观察到成为很大问题。能量越高，形成的黑洞就越大，其事件视界(event horizon)也就越大，所有可能的复杂的时空结构都被视界所掩盖。而视界之外的时空却非常光滑，能量越高，视界之外的曲率就越小，那么低能的有效理论也就越适用。如此，对于一个外部观察者来说，高能的量子引力行为就不可能被复杂的拉氏量中的无关项所主导。我们这里所描述的可能性现在叫做紫外－红外对应，即量子引力中的紫外行为与红外物理相关。

　　如此，我们相信在一个有引力的量子理论中，高能理论不会象有效量子场论所指出的那样，在高能区存在许多不可预测的可能性。量子引力本身必定是有简单定义的理论，换言之，量子引力是一个更大的，可重正的甚至是有限的理论的一部份。这个理论不太可能是爱因斯坦理论的简单量子化，因为我们已知道爱因斯坦理论不可能被简单地量子化。这就迫使我们寻找一个更大的，至少是可重正的理论。我们将被历史地，在某种程度上也是逻辑地带到超对称。

　　（这一节写完，我发现要将这里所讲的一些道理让仅有大学物理背景的人看懂，我至少要再花上是这里几倍的篇幅。我希望大多读者没有被吓走。好消息是，如果你读完这一节后还没有被吓走，你以后大概再也不会被吓走。）

弦论通俗演义（五）

　　　　　 李淼

　　　中国科学院理论物理研究所

　　　　　　　　第二章 经典的极致

　　　　　　　　　　　（第三节）

　　当贝肯斯坦 ( Jacob D. Bekenstein ) 于1972年发表黑洞与热力学关系的时候，他还是普林斯顿大学的研究生。在1973年发表于物理评论 ( Physical Reviews D ) 的文章中，他明确指出，黑洞的熵应与它的视界面积成正比，这个正比系数是普朗克长度平方的倒数。普朗克长度平方又与牛顿引力常数和普朗克常数成正比，所以黑洞熵的起源既与引力有关，又与量子有关。在贝肯斯坦之前，所有与黑洞有关的研究都是经典的，贝肯斯坦改变了一切。

　　贝肯斯坦现在在以色列的希伯来大学 (Hebrew University) 工作。他是那种所谓的单篇工作物理学家，在1973年的工作之后，一直在做与黑洞的量子物理有关的工作。除了黑洞熵之外，他另一个有名的工作是熵与能量的关系，叫贝肯斯坦上限，我们这里不打算介绍它。有人想出一种说法来贬低那种一生只在一个方向上做研究的人，叫做：他还在改进和抛光他的博士论文。贝肯斯坦的工作决不能作如是观，他是那种不断有新的物理想法的人。他的所有工作中最困难的数学是积分，这并不说明他的文章易读――他的物理思想要求你有足够的直觉。前段时期有人在这个论坛（编者注：即超弦学友论坛，见文末链接）上说泡耳钦斯基的文章难以理解，这说明了一个问题，那就是我们要训练自己的物理直观，而不能满足于理解那些有明确数学定义的东西。

　　黑洞可能的存在是很容易理解的，拉普拉斯早就作过这样的猜测。在牛顿引力中，如果一个物体的动能不足以用来克服引力场中的势能，这个物体就无法逃逸出去。如果光也不能逃逸出去，对一个远处的观察者来说，产生这个引力场的物体就是黑的。以拉普拉斯时代对光的理解，光的动能正比于光速的平方，而光的势能由牛顿引力给出，这样，如果径向距离小于 2GM/c2，势能的绝对值就大于光的动能，光就无法逃逸。如果一个引力系统的半径小这个值，这个系统就成为黑洞。这个特别的，与质量和牛顿引力常数成正比的长度叫做史瓦兹希尔德半径，史瓦兹希尔德在他去世前三个月在他的第二篇关于广义相对论的文章中讨论了这个半径。

一个最简单的黑洞模型

　　虽然拉普拉斯得到正确的结果，他的方法不正确。正确的方法要用到爱因斯坦的光子的能量公式，光子的能量不能认为是正比于光速的平方。光子的有效质量则为能量除以光速的平方，这样，这个现代的拉普拉斯计算用到两个爱因斯坦最为著名的结果。普朗克常数最终消掉，虽然我们在中间过程中用到它。另一个等价的方法是用引力红移的公式，史瓦兹希尔德半径是引力红移成为无限大的地方。有趣的是，爱因斯坦当初讨论引力红移时有意避开用他的光量子公式。爱因斯坦竭力避免把他的一个大胆想法和另一个一个大胆想法搅在一起。

　　牛顿理论中的黑洞和爱因斯坦理论中的黑洞除了都有视界外，其它并无共同之处。在牛顿的黑洞中，原点是一个奇点，但这个奇点与经典电子的原点作为库伦势的奇点在本质上并无不同。在爱因斯坦理论的黑洞中，径向座标在视界上发生本质的变化。在视界之外，径向座标是类空的；在视界之内，径向座标是类时的，所以光锥在视界上才可能变为向内。“座标原点”的奇点是在时间上的一个奇点，经过塌缩的物质都撞到之这个奇点上，对于它们来说，时间完全终结了。所以人们说，黑洞的奇点是类空的，很像大暴炸宇宙中的奇点，只不过在黑洞中这个奇点是时间的终结，而大暴炸宇宙中的奇点是时间的开始。

黑洞的艺术想象图

　　虽然黑洞的存在在理想实验中很容易实现，要证明它们在现实世界中存在不是一件很容易的事。钱德拉塞卡(Subramanyan Chandrasekhar)1934年的计算表明，当一个引力系统有足够大的质量时，自然界不存在其它相互作用能阻止引力塌缩。这个结果要经过许多年才能被大家接受，部份原因是爱丁顿 (Sir Arthur Eddington) 从一开始就非常反对这个结论。对于白矮星来说，当质量大于某个质量，不稳定性就会发生，这个质量极限叫做钱德拉塞卡极限。中子星相应的极限

叫做奥本海默－沃尔可夫极限 (Oppenheimer-Volkoff)。这些极限都与太阳的质量相差不远。钱德拉塞卡的物理生涯起始于黑洞也终结于黑洞，他去世前的最后一本研究著作是关于黑洞的，主要研究黑洞周围的扰动。他于1982年完成这本书，时年71岁。

钱德拉X射线望远镜拍到的银心照片。据认为那里有一个黑洞。

　　黑洞的存在是无庸置疑的，我们的银河系的中间就有一个巨大的黑洞。可以肯定，有十分之一的星系和活动星系核的中心都是黑洞，这些黑洞的起源还是一个谜。

　　我们前面说过，贝肯斯坦发现黑洞有一个不为零的熵，根据统计物理，这说明给定一个黑洞，应该有很多不同的物理态，态数的对数等于熵。这些态不能用经典物理来解释。事实上，在广义相对论中可以证明一个所谓的无毛定理，黑洞的状态由少数几个守恒量完全决定，如质量，角动量和电荷，每一个守恒量对应一个局域对称性。整体对称性所对应的守恒量，如重子数，在引力塌缩过程中是不守恒的。贝肯斯坦的熵的起源必须在量子物理中寻找，因为他的熵公式含有普朗克常数。但这个熵对于普朗克常数来说是非微扰的，当普朗克常数为零时，黑洞熵是无限大，而不是经典物理中的零。由此可见，我们不能指望用微扰量子引力来解释黑洞的熵。

　　在1973年，贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用，他是如何得到他的熵公式的呢？他用的是非常简单的物理直觉。首先，那时有大量的证据证明在任何物理过程中，如黑洞吸收物质，黑洞和黑洞碰撞，黑洞视界的面积都不会减小。这个定律很像热力学第二定律，该定律断言一个封闭系统的熵在任何过程中都不会减少。贝肯斯坦于是把黑洞视界的面积类比于熵，他并说明为什么熵应正比于面积，而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的正比系数，他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的熵增加一（这里我们的熵的单位没有量纲，与传统单位相差一个波尔兹曼常数），这可以通过增加黑洞的质量来达到目的。如果熵与面积成正比，则熵与质量的平方成正比，因为史瓦兹希尔德半径与质量成正比。这样，如要将熵增加一，则质量的增加与黑洞的原有质量成反比，也就是与史瓦兹希尔德半径成反比。现在，如何增加黑洞的熵呢？我们希望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。光子是最“轻”的粒子，同时由于自旋的存在具有量级为一的熵。这样，我们可以用向黑洞投入光子的方法来增加黑洞的熵。我们尽量用带有小能量的光子，但这个能量不可能为零，因为光子如能为黑洞所吸收它的波长不能大于史瓦兹希尔德半径。所以，当黑洞吸收光子后，它的质量的增加反比于史瓦兹希尔德半径，这正满足将黑洞熵增加一的要求。对比两个公式的系数，我们不难得出结论：黑洞熵与视界面积成正比，正比系数是普朗克长度平方的倒数。

　　贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞熵公式中的无量纲系数，尽管贝肯斯坦本人给出一个后来证明是错误的系数。当霍金听到关于贝肯斯坦的工作的消息时，他表示很大的怀疑。他在此之前做了大量的关于黑洞的工作，都是在经典广义相对论的框架中，所以有很多经验或不妨说是成见。类似我们在第一章中提到的威顿之于对偶，他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质，从而最终导致他发现霍金蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说，1973年当他与巴丁 (James M. Bardeen) 卡特 (B. Carter) 合写那篇关于黑洞热力学的四定律的文章时，他是不相信贝肯斯坦的。

　　不久，他发现了黑洞的量子蒸发，从而证明黑洞是有温度的。简单地应用热力学第一定律，就可以导出贝肯斯坦的熵公式，并可以定出公式中的无量纲系数。由于霍金的贡献，人们把黑洞的熵又叫成贝肯斯坦－霍金熵。霍金的最早结果发表在英国的《自然》杂志上，数学上更完备的结果后来发表在《数学物理通迅》。在简单解释霍金蒸发之前，我们不妨提一下关于中文中熵这个字的巧合。在热力学第一定律的表述中，有一项是能量与温度之比，也就是商，所以早期翻译者将entropy翻译成熵。黑洞的熵恰恰也是两个量的商，即视界面积和普朗克长度的平方。

霍金辐射示意图

　　霍金蒸发很像电场中正负电子对的产生，而比后者多了一点绕弯 (twist)。在真空中，不停地有虚粒子对产生和湮灭，由于能量守恒，这些虚粒子对永远不会成为实粒子。如果加上电场，而虚粒子对带有电荷，正电荷就会沿着电场方向运动，负电荷就会沿着电场相反的方向运动，虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。电场越强电子对的产生几率就越大。现在，引力场对虚粒子对产生同样的作用，在一对虚粒子对中，一个粒子带有正能量，另一个粒子带有负能量。在黑洞周围，我们可能得出一个怪异的结论：由于正能被吸引所以带有正能的粒子掉入黑洞，而带有负能的粒子逃离黑洞，黑洞的质量变大了。事实是，在视界附近由于引力的作用正能粒子变成负能粒子，从而可能逃离黑洞，而负能粒子变成正能粒子，从而掉进黑洞。对于远离黑洞的人来说，黑洞的质量变小了；对于视界内的观察者来说，掉进黑洞的粒子具有正能量也就是实粒子。黑洞物理就是这么离奇和不可思义。

　　霍金蒸发是黑体谱，其温度与史瓦兹希尔德半径成反比，黑洞越大温度就越小，所以辐射出的粒子的波长大多与史瓦兹希尔德半径接近（这很像我们上面推导贝肯斯坦熵时用的光子）。当辐射出的粒子变成实粒子后，它们要克服引力作用到达无限远处，所以黑体谱被引力场变形成为灰体谱。霍金在《时间简史》中坦承，当他发现黑洞辐射时，他害怕贝肯斯坦知道后拿来支持他的黑洞熵的想法。

　　黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力提出的最大的挑战。我们虽然可以用霍金蒸发和热力学第一定律推导出黑洞熵，这并不表明我们已理解了黑洞熵的起源。最近弦论的发展对理解一些黑洞熵起了很大的作用，但我们还没有能够理解史瓦兹希尔德黑洞的熵。另外，黑洞蒸发后遗留下来的是一个量子纯态还是一个混合态，就象黑体谱一样？如果是后者，那我们就不得不修改量子力学。弦论家们大都认为量子力学不必修改，最近霍金也改变了他过去的看法加入弦论家的行列。黑洞的量子物理在过去对弦论的发展起到很大的作用，在将来注定对弦论的发展起到也许更大的作用。

弦论通俗演义（四）

　　　　　 李淼

　　　中国科学院理论物理研究所

　　　　　　　　第二章 经典的极致

　　　　　　　　　　　（第二节）

　　广义相对论应用最成功的领域是宇宙学。历史上断断续续地有人考虑过用牛顿理论研究包括整个宇宙的力学体系，但从无一个比较完备的理论，原因之一是很难用牛顿理论得到一个与观测相吻合的宇宙模型。如果假定在一定尺度之上宇宙中的物质分布大致是均匀的，从牛顿理论导出的泊松方程没有一个有限的解。如果我们被迫假定物质的质量密度只在一个有限的空间不为零，我们则回到宇宙中心论。即便如此，这个有限的引力体系也是不稳定的，终将不断地塌缩。

　　独立于牛顿理论的另外一个困难是奥尔伯斯 (Olbers) 佯谬。如果物质的主要成份是发光的星体，那么天空的亮度将是无穷大。每颗星对亮度的贡献与它距地球的距离平方成反比，而在径向上恒星的线密度与距离平方成正比，所以总亮度以线性的方式发散。假如恒星分布在一个有限区域，尽管亮度有限，但白昼黑夜的存在说明这个亮度远小于太阳的亮度，所以这个有限区域不能太大。

　　现代宇宙学开始于爱因斯坦。他的1917年 2 月份的宇宙学虽然不完全正确，却一举解决了上面的两个问题。爱因斯坦当然知道用牛顿理论建立宇宙论的困难，他的出发点却全然不同。爱因斯坦在许多重要工作中，往往从一个很深的原理，或者从一个在他人看来只是一种不切实际的信仰出发，虽然他常常达到解决实际问题的目的。这一次他的出发点是马赫原理。马赫原理大致是说，一个质点的惯性质量在一定程度上取决于其周围的物质分布，换言之，所谓惯性系实际上就是那些相对于宇宙平均物质分布匀速运动的系统。对于爱因斯坦来说，这意味着度规完全取决于物质的密度分布，而不是密度先决定曲率，然后再决定度规。

　　为了实现马赫原理，爱因斯坦首先引入宇宙学原理――宇宙是均匀和各向同性的。要得到物质密度分布决定度规的结果，他发现必须修改他的场方程，这样他引进了宇宙学常数。宇宙学常数项是一个正比于度规的项，在大尺度上如果忽略曲率项，则能动张量完全决定度规。在小尺度上，宇宙学常数项可以被忽略，这样广义相对论原来的结果还成立。宇宙学常数项在牛顿理论中有一个简单的对应。可以在泊松方程中加一个正比于引力势的项，相当于给这个标量场一个质量。如果物质密度是一个常数，则引力势也是一个常数，正比于物质密度，正比系数是牛顿引力中的宇宙学常数的倒数。爱因斯坦就是从这个改正的牛顿理论出发从而避免了无穷大的困难。

　　爱因斯坦1917年的宇宙模型是一个封闭的，静态的模型。他错误地认为在没有宇宙学常数项的情形下场方程没有满足宇宙学原理的解。他也许相信在没有物质只有宇宙学常数的情形下也没有解。这些后来都被证明是错误的。德西特 (de Sitter) 在爱因斯坦的文章发表后很快就发现只有宇宙学常数情形下的解，这就是德西特空间。

　　弗里德曼 (Friedmann) 于1922年发现了没有宇宙学常数的解，这是一个膨胀宇宙模型。哈伯 (Hubble) 于 1929年发现宇宙学红移，从而证实膨胀宇宙模型。哈伯是观测宇宙学鼻祖，他在1924年首先证实一些星云存在于银河系之外，从而大大扩大了宇宙的尺度。爱因斯坦后来很后悔当初引进宇宙学常数从而没能预言宇宙的膨胀，后来他终于放弃了马赫原理。爱因斯坦没能预见到宇宙学常数是非常可能存在的，所以这个他那时认为是他一生中所犯的最大错误也许会成为他的

最大成就之一――他的最大成就也太多了，最近刚获得诺贝尔的实验也与他的名字有关。我们将来在讨论弦论如何对待宇宙学常数问题时再介绍最近的宇宙学常数的天文观测。

　　宇宙学在60年代之前是一门高雅的学问，文章不多，但质量很高。60年代末彭齐亚斯 (A. Penzias) 和威尔逊 (R. Wilson) 偶然发现了宇宙微波背景辐射，宇宙学遂成为一门大众学问，也就是说它成为一门主流学问，大学物理系和天文系开始有了专门研究宇宙学的教授。早在40年代伽莫夫等人已经将广义相对论与粒子物理和统计物理结合起来，预言了核合成与微波背景辐射。标准宇宙模型开始形成，大爆炸宇宙无论从什么角度看都是唤起公众想象力的最好的东西，它却是爱因斯坦理论的一个应用，一个并不是最深刻的应用。

　　狄基 (R. Dicke) 在我看来是一个很了不起的人。他对广义相对论的实验和理论都作出很有原创力的贡献。实验如等效原理的精确检验。当人们满足于宇宙学原理是一种第一原理时（爱因斯坦早期认为是马赫原理的一个推论），他开始怀疑均匀各向同性应是早期宇宙动力学过程的结果。宇宙学原理只是他问的标准宇宙模型不能解答的三个问题之一。另外两个问题是，为什么宇宙在早期的空间曲率与物质密度相比非常非常小，为什么早期相变的遗迹几乎不可观察到，如磁单极。正是他在康乃尔大学的演讲促使顾思 (A. Guth)提出暴涨宇宙论 (Inflation)，从而一举解决了宇宙论中的三个“自然性”问题。

　　记得1982年考到中国科学技术大学做硕士研究生，那时暴涨宇宙论提出仅一年。我的老师从杨振宁的石溪理论物理研究所访问回来，刚刚写了一篇这方面的文章，他的文章与相变有关。他在很多场合宣传暴涨宇宙论，大弟子从剑桥回来也谈相变时的泡泡碰撞。这对一个刚刚接触理论物理的研究生来说是非常新鲜的话题，不过我心里也有点嘀咕，这个利用最新的粒子物理进展的宇宙模型要解决的问题也太哲学了，有可能被观测所证实吗？过了近十年，暴涨宇宙论的第一个间接的，有点模糊的证据才出现，这就是轰动一时的柯比 (COBE) 实验。该实验发现宇宙背景辐射有非常小的大约为万分之一的涨落，暴涨宇宙论的大尺度结构形成理论需要这么大的涨落。霍金曾说柯比实验是上世纪最重要的发现，这不免有些夸大。令人兴奋的是，最近的宇宙背景辐射的功率谱的测量说明宇宙是平坦的，即宇宙目前的空间曲率几乎为零，这是暴涨宇宙论的预言之一。功率谱曲线的形状也与暴涨宇宙论的预言一致，暴涨宇宙论是否正确有望在今后几年敲死。

COBE卫星测绘的微波背景辐射分布图

　　做类似宇宙背景辐射的功率谱的测量要花很多钱，与如今的高能物理实验相比，却又少得多。在台湾，台湾大学物理系与中研院天文研究所合作，正在积极建造微波天文望远镜，斥资数亿台币。如果成功，将对测量宇宙学参数作出贡献。我常想，为何中国大陆不做类似的实验？这类实验需要的投资要小于其它很多大型国家计划，如一些863计划。

　　暴涨宇宙论中大尺度结构的形成起因于量子涨落。由于在暴涨期每个量子涨落模的波长随着共动尺度一起迅速增长，波长会很快超出当时的视界。这样由于涨落的两端失去联系，涨落被固定下来。大部份暴涨宇宙模型预言涨落在波长上的分布是幂律型的。很多人喜欢谈宏观量子效应，宇宙的大尺度结构如银河系，星系团是最大的宏观量子效应。一个不容忽视的问题是，暴涨宇宙论中的涨落可能起源于非常小的尺度，这些可能比普朗克尺度还要小。进一步研究涨落的谱可能会揭示量子引力的效应，这也包括弦论中的量子效应。

　　暴涨宇宙论对研究弯曲空间中的量子场论起到了一个推动作用，对此研究起到推动作用的另一重要发现是霍金的黑洞量子蒸发理论。从70年代中期直到80年代，弯曲空间中的量子场论是广义相对论界的一个很活跃的领域。这个领域的进展对理解量子引力并没有带来多大的好处，原因是广义相对论和量子场论在这里的结合多少有点生硬，在很多情形下，该领域的专家也没有解决一些概念问题，如什么是可观测量等等。即便如此，这里获得的一些计算结果可以用到暴涨宇宙论中去，而一些诸如共形反常的计算在弦论的发展过程中也起过一定的作用，在将来的弦论发展中还会起一定的作用。我们把这个话题留到后面再谈，我们现在先谈谈广义相对论中的一个最吸引人的话题：黑洞。

弦论通俗演义（三）

　　　　　 李淼

　　　中国科学院理论物理研究所

　　　　　　　　第二章 经典的极致

　　　　　　　　　　　（第一节）

　　如果说现代物理开始于量子物理，经典物理则终结于爱因斯坦的广义相对论。广义相对论的时空观无疑彻底改革了牛顿的时空观，但牛顿本人很清楚他的时空观的局限。爱因斯坦用相对论的因果律代替了牛顿的绝对时与空中的因果律，所以说爱因斯坦的时空概念与因果概念仍然是经典的，广义相对论是经典物理的极致。

　　这个经典物理中的最高成就一直拒绝被量子物理所改造。所有相信弦论的人都认为引力已被成功地量子化，至少在微扰论的层次上。一些执著于几何是一切的人则认为还不存在一个成功的量子引力理论，他们在一定程度上承认弦论的成功，霍金(S. Hawking)以及特霍夫特(G. 't Hooft) 可以被看成这方面的代表，虽然前者较之后者更极积地支持弦论。我们希望在本章的结尾时看到，弦论家的观点和弦论同情者的观点都有一定道理。而第三派则采取鸵鸟政策，认为引力还是原来的引力，星星还是那颗星星，这样有助于他们继续发表各色各样的理论。

　　我们假定读者已学过狭义相对论，甚至一点广义相对论，这样我们就可以相对自由地从不同角度来看广义相对论。

　　广义相对论的基本原理是等效原理：在引力场中，在时空的任何一点都可以找到一个局部惯性系，物理定律在这个局部惯性系中与没有引力场时完全相同。爱因斯坦本人更喜欢将局域引力譬喻成局部加速所引起的结果。这样，局部惯性系类似于黎曼流形中一点的切向空间，加速则可以用一个二次的座标变换来消除。引力可以用黎曼几何中的度规来描述，在一个局域惯性系中，度规变成狭义相对论中的闵氏度规。爱因斯坦进一步说，如果引力效应可以用一般的座标变换来消除，则该引力场完全等价于无引力场。如此则一个非平庸的引力场必须具有曲率。爱因斯坦的引力理论是标准的场论，而他相信物理的基本要素就是场，这是他高度评价麦克斯韦工作的原因。

　　一个试验粒子在引力场中的运动轨迹是测地线，而运动方程可以由变分原理得到。这个变分原理说，连结时空两点的粒子轨迹使得总的粒子的固有时成为极大――粒子的固有时是欧氏空间中测地线长度在闵氏空间中的推广。这种几何变分原理早就用在光学中，光的轨道使光程取极小值，这是费马原理。当地球环绕太阳运动时，人们可以想象，太阳产生的引力场使得太阳周围的时空发生一点点弯曲，从而使得地球的测地线发生弯曲。在时空中，这个测地线并非是闭合的。一般说来，它在空间中的投影也不是闭合的，这样就有了水星近日点进动――这里，时空同时弯曲起了关健作用。同样，一个无质量的粒子如光子在引力场中的测地线也是弯曲的，尽管光的固有时总是为零，测地线的变分原理稍稍有点复杂。爱因斯坦在广义相对论完成之前就预言了光线在引力场中的弯曲，他仅用了等效原理，这等价于仅仅用了度规的时间份量，这样算出的弯曲角度是正确结果的一半。同样，要算出正确的结果，必须计及空间的弯曲。

　　决定时空曲率的是物质的能量和动量分布，这就是爱因斯坦著名的引力场方程。在方程的左边是一种特殊的曲率，现在叫做爱因斯坦张量。在方程的右边是能量－动量张量。爱因斯坦经过断断续续八年的努力，在 1915年年尾才最终写下正确的场方程。(从1907到1911 有三年半的时间，他发表了关于经典辐射理论的文章，关于狭义相对论，关于临界弥散，甚至尝试修改麦克斯韦方程以期得到光量子，就是没有发表关于广义相对论的文章。)

　　1915年11月25日，爱因斯坦在普鲁士科学院物理－数学部（那时的科学没有今天专业化得利害，今天的一些物理学家往往以不能与数学家沟通为自豪）宣读了一篇题为《引力的场方程》的文章。他说：“相对论的一般理论作为一个逻辑体系终于完成”。

　　1915年11月，爱因斯坦每一个礼拜完成一篇文章。11月4日，在一篇文章中他写下不完全正确的一种场方程，该方程线性化后成为牛顿－泊松方程。11月11日，他写下另一个场方程，方程的左边是里奇 (Ricci) 张量，方程的右边是能量-动量张量，他还要求度规的行列式等于一。11月18日，爱因斯坦仍然相信度规的行列式必须等于一。在这篇文章中他发现两个重要效应，爱因斯坦非常运气的是太阳的中心力场对应的度规的行列式的确等于一――瓦兹希尔德于次年一月发现了严格解，五月即死于在俄罗斯前线得的一场病。爱因斯坦发现的第一个效应是水星近日点进动。勒

维利埃(Jean Joseph Le Verrier) 1859年观察到的水星每百年45秒的进动完全可以用爱因斯坦的新的理论来解释。这个发现是如此令人激动，爱因斯坦此后一连几天不能平心静气地回到物理上来。第二个发现是，他以前计算的光线弯曲比正确的结果小一半，这时他计及了度规的空间部份。11月25日，爱因斯坦写下了一直沿用至今的引力场方程。爱因斯坦放弃了度规行列式等于一的物理要求，但将它作为对座标选取的一种条件。爱因斯坦当时还不知道场方程的左边满足比安基等式，从而方程右边自动满足能动量守恒定律。能动量守恒定律被爱因斯坦看成一个条件。

水星近日点进动

　　由于引力常数很小，引力往往在一个很大的系统中才有可观测效应。相互作用的大小通常可以用动能与势能之比来定，对于处于束缚态的系统，这个比例大约是1，所以我们常常说束缚态是非微扰的。不需要计算，我们知道地球在太阳引力场中的势能大约等于它的动能。同样，电子在氢原子中的电势能大约等于它的动能。可是电子与氢原子的原子核――质子――之间的引力相互作用就非常非常小了，它与电子的动能之比大约是10的负40次方！所以我们常常说引力是自然界中最弱的相互作用。用广义相对论的语言说，时空非常难以弯曲。看一看爱因斯坦的场方程，它的左边是曲率，右边是牛顿引力常数乘以能－动张量。能－动张量引起时空弯曲，而牛顿引力常数则很小，可以说时空的强度则很大――比任何金属要大得多。

　　在谈到广义相对论的实验验证时，人们常提到的是三大经典验证：引力红移，光线弯曲和水星近日点进动。时至今日，广义相对论通过了远远不止这些验证。即使当验证还很少时，人们已经认为广义相对论是有史以来最完美和最成功物理理论。恐怕即使今天人们还可以这样说。广义相对论的最完美之处在于它是一种原理理论，即整个理论建立在一些简单的原理之上，尽管它是一个物理理论，它的逻辑结构几乎可以媲美于欧几里得几何。它也是有史以来最成功的理论之一，它解释了所有己知的宏观的包含引力的系统，这包括整个可观测宇宙在内。其精度经常在万分之一，在等效原理情形，精度已达10的负13次方！

　　广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言：几何。可以说爱因斯坦的直接继承人，今天仍然活跃的即那些在gr-qc电子档案馆贴文章的人，仍然坚持用这种语言。这种语言似乎与量子

力学有着本质的冲突，从而与粒子物理学家所惯用的语言有着本质的冲突。这里我们不想强调这种冲突，但了解这种冲突的存在是有好处的。60年代之前在相对论界和粒子物理界之间存在着很少的对话，这在费曼的故事中很好地体现出来。费曼有一次参加在北卡州 (North Carolina) 召开的相对论界的会议。他出发之前忘记了带详细地址，所以他下了飞机后向人打听有无看到一些相对

论专家去了何处。人家问他相对论专家是一些什么样的人，他说， 就是一些嘴里不停地念叨Gmunu 的人，这人很快知到他指的是谁。

　　广义相对论与粒子物理的语言冲突在温伯格 (Steven Weinberg)的名著《引力论与宇宙论－广义相对论的原理与应用》中也显示出来。温伯格尝试着用粒子物理的方法重新表达广义相对论，仅取得部份成功。记住温伯格与费曼最早试图由自旋为2的无质量粒子及相互作用推出广义相对论，今天我们知道，人们的确可以证明广义相对论是唯一的自旋为2的无质量粒子的自洽相互作用理论。但这个证明是一级一级的证明，很难看出其中的几何原理。

　　广义相对论与粒子物理本质的不同还可以从引力波的效应的计算看出。早在1916年爱因斯坦就指出在他的理论中存在引力波。到1918年，他给出引力辐射与引力系统的四极矩关系的公式。不同于电磁系统，自旋为2的粒子的辐射与偶极矩无关。不同于电磁系统，那里的辐射公式从来就没有人怀疑，而引力系统的引力波辐射是否完全由四极矩公式给出长期引起争论。争论的原因是

引力是一个高度非线性理论，引力势能本身也会影响引力波辐射。爱因斯坦本人在1937年曾短暂地怀疑过引力波的存在。有趣的是，关于 引力波辐射的第一级效应的争论直到1982年才完全得到解决：爱因斯坦的四极矩公式是正确的。当然，引力波辐射的效应已在脉冲双星系统中被间接地观察到，这个工作也已获得诺贝尔奖。今年或今后几年，引力波可能被引力干涉仪直接观测到，这将成为继最近的宇宙学中激动人心的观测又一令人激动的天文观测。这也将极大推动相对论界与粒子物理界之间的对话。