主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

现在谈谈《数学物理方法》这本教材的第二部分：数学物理方程。我把这一部分翻来覆去地看了几遍，发现将近两百页的篇幅其实就写了四个大字：“变换”、“逼近”。

我承认我是懒人，时时刻刻都在琢磨如何偷奸耍滑，用最小的力气换取最大的回报。所以我会喜欢克莱因的《高观点下的初等数学》。所以我认为在周星驰的电影《鹿鼎记》里，陈近南实在是一个很有大爱的人：一上来就传授绝世武功秘籍的目录。这是真正地授人以道啊。同理，当我发现这本教材用两百页的篇幅只解释四个字的时候，我马上做了决定：“习题解答就做它了！”

说数学物理方法只有这两条当然是不对的。但是从这两个观点看过去，确实可以统摄一批工具和技巧。接下来我就按章节逐一讨论，和兄弟姐妹们切磋一番。

【第十二章：数学物理方程和定解条件】

这一章是搭建主人公表演的舞台，没有什么可以多说的。物理学出身的人比我有资格得多，我就不聒噪了，老老实实做题。

【第十三章：线性偏微分方程的通解】

要去华尔街面试的兄弟姐妹们这一章要熟悉哈。原因俺就含笑不语了。

这一章的方法有个明确的名目，曰“operational calculu”。最早来源于一些数学家和工程师从形式上解微分方程的努力（大家熟悉的Heaviside 就是其中一位）。具体的做法就是把微分方程的求解通过形式化的微分算子，转化成代数方程求解。

例如求解一个二阶常微分方程y’’(t) + a y’(t) + by(t) = 0。我们通常被告知：“先求解特征方程x^2 + ax + b = 0，然后方程解的一般形式就是 c1 exp(x1 * t) + c2 exp(x2 * t)了”。验证一下这确实是对的，可是除了死记硬背，怎么把这个技巧看得比较“自然”呢？

办法就是把原方程看作（D^2 + a D + b） y = （D – x1）(D – x2) y = 0。这里 D 是微分算子。然后问题就简化为解一阶线性常微分方程 （D - x1）y = 0 和 (D – x2) y = 0。而这是可以通过积分因子法轻易求解的（参见丁同仁李承治的书）。最后利用解的线性叠加性，把方程的通解表示为两个基解的线性组合就行了。所以这么一道微分方程求解的题目，把“变换”和“逼近”这两个思想都用足了。

这是一个很好诠释数学家们口耳相传的一个常识的例子：“一开始，我们只是发现了一个技巧；然后技巧演化成了一个方法；最终方法变成了一个理论”。

所以在很多情况下，用这种形式化的算子法来解微分方程，当其适用的时候，往往是最简单的。丁同仁李承治的《常微分方程教程》有一章专门讲这个方法。但是第二版却把相关内容拿掉了，俺很不解，也很不满。

这种形式化的operational calculus能够解线性常微分方程，也能够解线性偏微分方程。这就是第十三章的一条主线。其他还有一些相关不相关的细节，大家逐一学习就是了。习题当然还是全做。

【第十四章：分离变量法】

我第一次读变量分离法的时候，先是不信：“你咋知道解可以写成变量分离的形式”？然后就是掉眼镜了。。。

其实回过头来看，这无非就是逼近罢了。以求解一个二元偏微分方程为例。基本想法就是把未知函数 f(x,y) 用形如 g(x)h(y) 这样的函数的线性组合来逼近。而每一个g(x) 和h(y)又各自用一组基来表示。这个想法是很自然的，例如用多元多项式去逼近多元函数，用傅立叶级数去构造一个函数，等等。

碰巧我看到最近还有人在研究这类问题：

V. A. Daugavet and M. V. Kireeva. Approximation of a Function of Two Variables by a Product of Functions of One Variable on a Given Domain. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2010, Vol. 43, No. 3, pp. 131-138. http://www.springerlink.com/content/jkp321w67204722j/

所谓的“本征函数”，无非就是满足一定限制条件的逼近函数而已。为了能够达到逼近的目的，我们还需要确认它们构成了函数空间的一组基。而为了让逼近方式尽量简洁，我们还希望取正交基，等等。这大致就是后面第十八章解释的“高观点”。

第十四章的习题我略掉了第4题、第8题、和第11题。主要是因为我的大学物理已经忘光了。不太确定我列出的数理方程是正确的。

【第十五章至第十七章】

这几章并没有什么新的东西。无非就是如第十五章开篇所言，由于微分方程的作用区域不同而需要引入新的坐标，从而导致产生新的方程、新的函数（作为方程的解）。

这几章涉及的计算虽然直接，但是量实在是太大了。我一是体力上吃不消了，二是觉得在技巧上并没有新东西需要展示的。所以我就只挑了其中一部分给出了解答，而没有全做。有兴趣的同学们可以自己把解答补全。容我偷懒了。

【第十八章：分离变量法总结】

这一章的内容和动机已经在前面解释过了。大家逐一做题就是了。题目简单，当然还是全做。

(待续。需要睡觉了，明天写完。）

【第五章：解析函数的局域性展开】

在第四章完成相关的准备工作之后，这一章开始系统讲解析函数的一个等价定义：级数展开。这个等价定义的好处是便于我们研究解析函数的奇点和零点。

从哲学的观点看，这是“形式决定内容”的一个具体例子。在语言学里，则是你的词汇表圈定了你所能表达的思想。

在数学史上，这样的例子层出不穷：一个数学对象，在大家研究它很久之后，突然发现其实还有另外一种观点来看待它，从而引发了一系列新的进展。复分析的发展过程中，就曾经有过三种等价的看法：从分析的角度（可微性的定义），从级数展开的角度（这一章的局域性展开），从几何的角度（黎曼面）。

大家可以尝试一下，如果不用级数展开这种“语言”，是不是这一章的很多结果不但不好证明，就是直观上也不那么显然了（例如解析函数的零点孤立定理和唯一性定理）？

这章末尾的解析延拓我觉得讲得还不够透。还有就是省略了维尔斯特拉斯分解定理和米塔格-列夫勒定理。这两个定理的威力在于为函数的各种展开形式提供了一个统一的方法，从而把欧拉在 《无穷分析引论》（Introduction to Analysis of the Infinite）里让人眼花缭乱的变化用一个统一的观点统摄了起来，达到了化繁为简的目的。我以后关于复分析的习题解答会给出较多的相关例子。

习题没什么难度，我都做了，大家可以参考一下。

【第六章：二阶线性常微分方程的幂级数解法】

这章是幂级数的应用，背景是物理学中出现的各种常微分方程，也是引出各种特殊函数的源泉。习题比较繁琐，涉及不少计算，俺都做了。下面谈几点看法。

第一，这一章的计算量比较大。老实说，见过更漂亮的数学之后，这些习题都没啥意思。不过我认为这是理工科学习的一个必经训练。如果我这个时间不够、精力不济的中年大叔都能坚持下来，全职在校读书的大学生们没有理由坚持不下来。这其实是对意志品质的一个磨练。对于这一点，我特别推荐忙总的一篇帖子作为参考：我觉得做事情要想顺利，保持不贪，不急，不忿的心态最重要

第二，用幂级数方法解常微分方程，不可避免地涉及到解递归方程（recurrence equation）。这也是我们公司面试的一个经典题目，其背景是计算机算法复杂度的分析通常由递归方程表出。这本教材里的递归方程大多是齐次的，有很简单的解法。但是对于非齐次的就麻烦一点。其实如何解递归方程，很多中学奥赛题里面就有--一般是用一个特殊的技巧来解决。

但是从认识世界的角度看，越简洁的东西越容易记忆，尤其当我们面临的问题只是一类问题中的一个特例的时候。从这个角度出发，我个人偏好用生成函数的办法对齐次和非齐次的情形产生一个统一的解法。普林斯顿大学计算机系的一门离散数学课程有一个笔记对此作了系统总结，我把这个笔记也上载了，文件名是 solving_recurrence_relations.pdf。（模块化打补丁。。。）

第三，在对线性方程求解的时候，教材里面使用了一点线性空间的基的概念。这个概念在线性微分方程解空间的应用可以在丁同仁、李承治的《常微分方程教程》里找到。再次道歉：本来我应该先贴线性代数的习题解答，再贴常微分方程的习题解答，最后循序渐进地来讲数学物理方法的。不过我现在急着结束一些事情，所以只能打乱次序，把这本习题解答先贴上来了。以后我会把线性代数和常微分方程的习题解答补充上来的。

【第七章：留数定理及其应用】

这一章的内容大概是数学物理方法里面讲的复分析的高潮了。高潮在于我们真正看到了复分析解决问题的威力：以前对各种稀奇古怪的定积分的求解，在数学分析里需要依赖于含参变量的积分，对技巧的要求比较高。现在则是有了一个统一的、甚至有些机械的方法：留数定理。同时我们也看到了多值函数的定义的确是有必要的：一些计算因此有了意义。

几点说明。第一，第7题第(4)小题和第9题第（4）小题我没有做出来。大家尽管鄙视我吧，我一定保持情绪稳定。第二，这一章的计算题又臭又长，习题解答写了18页，所以有错误难免。凡是和书后的答案对不上的，我都加了注，大家自己查对吧。第三，我在习题解答里提到了几本复分析的参考书，除了方企勤的《复变函数教程》我没有电子版之外，其他三本都上传了，大家可以作为参考资料。

我想重点介绍一下 Whittaker 和 Watson 的 A Course of Modern Analysis。这一本书的价值在于，它写作于数学公理化运动（尤其是布尔巴基学派）彻底改变现代数学的表述形式之前，从而较好地展现了数学家、尤其是英国的分析学派是如何分析思考问题的（与此类似的是法国古尔沙（Goursat）的《分析教程》）。

我前面曾经抱怨过现代数学教材写得不好：文雅的说法是割裂了数学与其他学科的联系，使得数学至少在表面上看起来成了数学家凭空创造的产物；通俗的说法则是：“太装B了”。

这种看法不是我愤世嫉俗之语，不少成名的数学家都对现代数学一本正经、上来就是讲大套理论的做法不以为然。我曾经听过证明对数索伯列夫不等式的著名数学家Leonard Gross教授的讲座。他曾是《泛函分析杂志》的主编。他讲泛函分析很有特色，一上来就装傻，“俺不懂啥抽象理论，俺就一研究数学物理的。俺对薛定谔微分算子很有兴趣，今天我们就来看看能不能七拼八凑地把这个算子折腾明白”。

这和国内教材和教授讲课的情形形成鲜明的对比。我认为这除了个人风格以外，一个重要区别就是讲课人是否真地吃透了讲授内容，是否真地在活生生地使用这些内容，是否真地对自己的理解有足够的自信。

话题扯远了，有兴趣了解这本书的同学，可以读读 英文亚马逊网站上的书评。我自己在工作中曾经使用过这本书，里面很多结果很实用，可以用来做很细致的估计和分析。具体情况俺就不好多谈了。“臣失其密则失其身”，呵呵呵。

【第八章：伽玛函数】

没啥多说的，书上讲得够明白，习题也不错。对于伽玛函数的很多实用公式，大家可以去Whittaker 和 Watson的书上查。

【第九章：拉普拉斯变换】

这一章第5题的第（1）（2）小题、第6题的第（3）小题、第7题，以及第8题的第（4）小题我都略过了。原因已经记不清了。可以确定的是第6题第（3）小题好像是没做出来，第8题的第（4）小题仅仅批注了一个“用Phi函数简单得多”，大家自己补全吧。

诉一下苦。兄弟我都是熬夜做题。晚上下班后做到凌晨两三点，就是连续工作十几个小时了，铁打的大脑也神志不清了。如果有简单题目没做，大家也不要奇怪。实在是“强弩之末势不能穿鲁缟也”。

【第十章：德尔塔函数】

要理解定义德尔塔函数的动机，大家回顾一下我前面说过的那段话：“你新理论的核心想法是啥？给我一个具体的问题，现有方法不能解决或者解决起来很麻烦，而你的新理论可以解决或者解决起来多快好省。”然后看看由德尔塔函数引出的格林函数法是如何威力强大地解决问题的。

这章内容要去华尔街上面试的兄弟姐妹们一定要操练纯熟。多的话俺就含笑不语了。

【第十一章：Mathematica中的复变函数】

这一章没有习题，主要是介绍Mathematica这个软件的使用。其实我在前面的习题解答里已经使用它来验证我的计算结果了。这个软件的好处是能够做符号计算，也即可以帮我们推公式。它背后的支撑是各种各样的数学用表—以前我们需要手动查公式的地方，现在可以用Mathematica自动化操作了。

一方面，这让数学家们的重要性下降了，另一方面，又把数学家解放了出来去做更重要的工作。我从来不会觉得Mathematica 抢了我的饭碗：这世界上等待我们去创造性解决的问题实在太多了。通过垄断已有的知识，尤其是过时陈旧的知识，来人为地制造门槛，从而显得自己牛掰轰轰，这是卢瑟的做法，也是“砖家叫兽”们赖以为生的伎俩之一。俺对此表示严重的不屑和鄙视。

（待续）

我按照北大版《数学物理方法》的章节顺序逐一解释，沿路引出国外的相关著述。

【第一章：复数和复变函数】

这一章是介绍复数概念，没有什么难的地方，习题也平淡无奇，所以我的习题解答直接省略了这章习题。

但我想点一下的，是对复数的两种不同看法。一种是纯粹数学家的公理化观点：复数是数学家创造的一个“概念”；用公理化的观点看，就是给定了一个集合，然后在这个集合上赋予一套自洽的运算，再然后数学家们就开始自己跟自己玩了。另外一种看法就是建模的观点：复数是一个“模型”，从物理和工程的角度讲，它被发明出来是为了便于描述现实世界的某些现象（比如交流电的变化）；它的运算也对应于一定的物理运动。

第一种观点可以在方企勤编著的《复变函数教程》的开篇找到痕迹：复数是二元数组的集合以及在这个集合上定义的一组运算。第二种观点则在几乎所有的物理工程类教材中都可以找到。

这两种看法反映了同一事物的不同侧面。我们需要注意的是，当我们论证复变函数的性质时，是在严格遵循“公理->定义->定理”的路径；但当我们使用复变函数来描述自然现象的时候，又是把抽象的观念和具体的物理现象做了一个一一对应。所以“物理直观不等同于数学上的严格证明，无论它多么显然”。我们在这两个世界之间切换的时候，不要自己把自己搞迷糊了。

【第二章：解析函数】

这一章介绍解析函数的定义与基本性质，是经典的题目、经典的讲法。我也没啥可以多说的。习题大部都做了，就是章末的第8至第14题略过了，因为都是很简单的题目，基本上一句话就行了。况且课本后面已经给出答案了。

有几点想提一下。第一，这一章讲解了一下多值函数。多值函数的用途大家在后面利用柯西积分算各种特殊定积分的时候就会看到。简而言之，我们用黎曼面定义了一个抽象的拓扑空间，来作为多值函数的定义域空间，从而使得多值函数再次成为“普通”的单值函数。教科书上用了一些图片来把这些抽象的拓扑空间从视觉上直观化。但严格讲来，它们还需要数学上的严格定义。这是“黎曼曲面”这个课程通常研究的对象。

作为物理工程类的学生来说，只要记住“黎曼面是一个抽象的拓扑空间，以便我们把多值函数变成单值函数，方便我们做计算”就行了。

在这里，大家可以看到我前面提到的两种不同世界观的差异：对于物理学家和工程师来说，工作已经结束了；对于数学家来说，工作才刚刚开始。

关于黎曼面的严格定义和性质，我以后会专门为复分析写一本习题解答，其中会作比较详细的讨论，大家少安毋躁。这次上载的文档里有两个文件：riemann_surface_1.pdf和riemann_surface_2.pdf。是美国一所大学的本科复分析课程的补充笔记，大家可以看看。

第二，我以前读书的时候求全责备，总是希望一本书尽善尽美，以后我需要学习或者查阅什么东西，只看这一本书就行了。年纪稍长之后才觉得当年的天真。现在的习惯是以一本较好的教材或者专著为主，以其他书籍、文章、笔记为辅，尤其注重用一个个独立的模块为自己的知识体系打补丁。这其实是由哲学观的变化导致的学习方法上的变化。我在以前的帖子里曾经讲过自己的这个心路历程，这里就不赘述了。只是从“用模块化的方式为已有的知识体系打补丁升级”这个观点出发，向大家推荐一个网站：http://cnx.org/。这个网站的宗旨是

我自己的工作学习从这个网站获益匪浅，建议大家对于一个具体的知识点有疑问的时候，不妨先查阅一下这个网站。

对于把“知识分割成小模块逐步吸收”这种学习教学方式还有疑惑的同学，可以参阅纽约大学柯郎研究所的退休教授Peter Lax的著作Functional Analysi。Lax教授是世界著名的应用数学家，沃尔夫终身成就奖获得者（陈省身先生也曾获此殊荣）。他的这本泛函分析很有特色，每一章节通常不超过6页，因为他认为这大概是一次阅读而不使大脑疲劳的最大限度。所以“小型化”、“模块化”这种土头土脑的学习方式不是俺自己胡诌的。我不是刻意去遵循主席“愚公移山”的“伟大指示”，也不是刻意去模仿大学问家的学习方式。实在是按照事物的本来规律来做事，必然会殊途同归，就如庖丁解牛必然会从骨头缝隙之间下刀一样。所以我在以前的帖子里强调过要用“道”来统摄“术”。

顺便八卦一下，中共重庆市委宣传部出了一个“读点经典”的系列丛书，用的是同样思路。不得不感叹一下重庆王做事颇有手腕。

第三，以前读书的时候，曾经读到过“见树”与“见森林”的说法。曾经很疑惑：“见树俺明白，无非就是格物致知，具体到学数学就是每个证明或者计算都搞清楚，自己背着书也能自行推导而已。可是这个‘见森林’却是怎么一个见法？”

大家不要笑，我就是这么笨。从来木有什么人跟俺讲解这些，俺都是自己琢磨。我是多年以后，尤其是在自己大量阅读文献并做过独立的科研以后，才有了一点自己的理解：“无非是看大脉络而已。一言以蔽之，从哪里来，来干嘛，到哪里去”。以前面黎曼面的概念为例子。“见树”就是要一点点搞清黎曼面的概念是如何严格建立起来的，它的性质如何。与此对应的行动就是仔细读专著。“见森林”就是前面我那句极其功利的话：“俺要用多值函数做计算，为了定义好多值函数，俺大致需要如此如此的一个概念和构造。就给它取名为黎曼面吧”。当然，你要把它叫“旺财”、“小强”我也不反对，反正有大数学家希尔伯特替俺站台呢：“在我看来，几何对象也可以称作啤酒瓶”（大意，语出二十世纪初数学公理化高潮时期，希尔伯特写作《几何基础》前后）。

所以，一个数学对象不是什么神秘化的东西，而是因为有确实的需要，才被人们发现或者发明出来的。我们要了解一个新理论，首要的一个问题是：“你新理论的核心想法是啥？给我一个具体的问题，现有方法不能解决或者解决起来很麻烦，而你的新理论可以解决或者解决起来多快好省。”用阿汤哥的台词来说，就是“Show me the money!”。

这在其他自然科学中是很自然的想法。但是在数学中，尤其是纯数学中，当无人点醒时，如我一样资质不高的人就容易转晕了。这一点和现代教科书的写法也有很大关系。

我想强调一点：“见森林”的基础是“见树”的功夫足够了。我们可以只看大的脉络而不看细节，是因为我们的基本功够扎实，有足够的自信能够在了解大方向和核心想法后，把东西全盘逆向工程出来。至于什么时候就可以从“见树”变为“见森林”了，我自己是一个跳跃过程，所以说不好。只能说，水滴石穿，水到渠成。

最后一条，我在这章的习题解答里用了一点常微分方程论的结果。东西很简单，但是我写的时候图简洁，用了一点微分形式的语言。有感觉我装B而不爽的同学可以直接去读我给出的参考资料，那里用的是微积分的语言。本来那本常微分方程的习题解答应该先贴的，现在打乱了次序，大家见谅，以后一定补上。

【第三章：复变积分】

这一章的核心内容是柯西积分定理和柯西积分公式。后者其实是前者的推论，而前者则来自于解析函数的可微性对实部和虚部同时提出了要求，使得可以用格林定理建立一个和谐美好的世界。这个主线抓住了，其他的就都是细枝末节了。

这一章都是很简单的计算，大家一线平推就是了。我把习题都做了，大家伙可以对照对照。

考大家一个问题。微积分里面有中值定理 f(a) – f(b) = f’(c) (a – b)。对于复可微的函数，这一条还对吗？如果不对，我们在实际工作中往往需要估计 |f(a) – f(b)| 的大小，如何估计？

我上载的文档里有篇文献：qazi.pdf ，对第一个问题给出否定回答，并给出了反例。对于第二个问题，使用柯西积分公式就可以达到类似效果。所以解析函数一定是（局部）李普西茨的。

【第四章：无穷级数】

这一章没有太多的说法。总而言之，这就是为解析函数的一个等价定义做准备，与第五章其实是密不可分的。有兴趣的同学们可以去查阅历史上维尔斯特拉斯使用这种等价定义的来龙去脉。

我的习题解答跳过了第6题第（4）小题，原因是没做出来。俺没觉得有啥不好意思：俺每道题都没有太多的时间去想，20分钟之内做不出来就会放弃。所以有题目一下子想不出来也很正常。反正俺也是颇做过一些难题的，不缺这几道。

这一章结尾处讲了一点发散级数和渐进分析。我个人感觉没有讲透。但我不是这方面的专家，所以就不评论了。只是上载一些书中提过的和没提过的参考资料，清单如下：

【1】 Hardy. Divergent Series. （你要不知道这本书就谈“发散级数”，不如一头撞死）

【2】 Wong. Asymptotic Approximations of Integrals （美国工业与应用协会“经典应用数学丛书”中的一本）

【3】 de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis.

【4】 Erdelyi. Asymptotic Expansions. （美帝海军赞助，加州理工出品，短小精悍）

【5】 Dingle. Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation （看名字就知道比较平易近人）

外加一个网上找到的笔记，一并放进“渐进分析”的文件夹里了。

（待续，参考资料在这个主题结束时一并上传）