主题:【原创】闲谈科学之正多面体 -- 安德的游戏
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  • 家园 【原创】闲谈科学之正多面体

    咱们回来继续补这个正多面体的坑。

    什么叫正多面体?正多面体就是每一个面都是相同的正多边形的凸多面体。那什么叫做凸多面体呢?顾名思义,就是各个面都是凸出来的。这个“凸”,在欧几里德空间有严格定义,就不详细说了。直观一点,就是延展任何一个面,多面体都整个在面的同一侧,这样的多面体就是凸多面体。那边又有人问了,什么叫做多面体呀?嗯,这个……这个……来人啊,把那个问问题的拖出去打。好,还有人有问题吗?看,我讲得还是很清楚的,在场的没有一个人有疑问。

    正多面体一共只有五种。为什么只有五种?咱们后面再说。这里就是这五种正多面体:

    点看全图

    为什么正多面体会受到特别的关注呢?前面【原创】闲谈科学之毕达哥拉斯与无理数里面说了,“数学就是美”。这个正多面体就很美,它翻过来掉过去长得都一个样子。这个性质可是很重要的啊,它决定了扔出1到6的概率是一样的。说到这个扔骰子,我昨天是小赢了一把呀。这个所谓小赌怡情,大赌伤身,那个……啊,咱们在上课,我是要教育你们,赌博是不好的行为。大家见到的骰子基本上都是正六面体,或者叫正立方体。因为各个面是呈直角,比较好加工。也有其他的正多面体的骰子,不过就很罕见了。

    来补充一个正多面体骰子的图:

    点看全图

    外链图片需谨慎,可能会被源头改

    下面来详细说一说每一种正多面体。

    关键词(Tags): #正多面体#闲谈科学元宝推荐:水风,海天,爱莲, 通宝推:蚂蚁不爱搬家,
    主题:962105
    • 家园 不好意思,原来后面还有呵,我电脑有点问题,但

      图片都看不到啦,好人修一下图片吧

      帖:2744918 复 962105
    • 家园 你挖坑,我挖坟,大哥不带这样子的啊,

      下这么久的坑,我正学这个呢,有时间补上呵!

      帖:2744914 复 962105
    • 家园 能不能深入浅出地解释一下为什么正十二面体最接近球体呢?

      那为什么足球不做成正十二面体呢?

      帖:1441638 复 962105
    • 家园 【原创】闲谈科学之正多面体(续完)

      原本写【原创】闲谈科学之毕达哥拉斯与无理数的时候偶然写到了正多面体,就想起来以前看到有说正多面体一共有五种的推导。本来只想简单写一写的,没想到拖拖拉拉续出来这么多。不过写到这里,我也已经是江郎才尽了,这一个系列也就应该结束了。

      在结束之前,还有一点可以说的,就是正多面体的推广。在三维上,还有所谓的半正多面体,足球就是一种半正多面体。这里面涉及到很多复杂的拓扑和立体几何的知识,我就不在这里露怯了。我要说的推广是二维和四维。

      正多面体的二维类比就是正多边形,很明显,正多边形有无穷多种,这个很简单,没有什么可说的。

      而正多面体的四维类比,叫做正多胞体。以三维来说,顶点是点,是零维的,棱是一维的线,面是二维的。正多面体就是由顶点,棱和面构成。而四维的多胞体除了顶点,棱和面以外,还有所谓的正多面体构成的体胞。这个四维的东西很难想象,大概有一个概念就可以了。

      类似于三维的多面体,多胞体也有欧拉公式,如果用N0到N3分别表示代表相应维数的顶点,棱,面和体胞的话,四维的欧拉公式就是N0-N1+N2-N3=0。用类似的方法,可以推出正多胞体一共有六种。(悄悄说,其实我不会推。)除了一种以外,其它五种都有各自对应的正立方体。

      正五胞体是由五个顶点,十条边,十个三角形面和五个正四面体胞构成的,对应的正多面体是正四面体,对偶正多胞体是自身。

      超立方体是由十六个顶点,三十二条边,二十四个正方形面和八个正方体胞构成的,对应的正多面体是正方体,对偶正多胞体是正十六胞体。

      正十六胞体是由八个顶点,二十四条边,三十二个三角形面和十六个正四面体胞构成的,对应的正多面体是正八面体,对偶正多胞体是超立方体。

      正二十四胞体是由二十四个顶点,九十六条边,九十六个三角形面和二十四个正八面体胞构成的,是唯一没有对应正多面体的正多胞体,对偶正多胞体是自身。

      正一百二十胞体是由六百个顶点,一千二百条边,七百二十个正五边形面和一百二十个正十二面体构成的,对应的正多面体是正十二面体,对偶正多胞体是正六百胞体。

      正六百胞体是由一百二十个顶点,七百二十条边,一千二百个三角形面和六百个正二十面体构成的,对应的正多面体是正二十面体,对偶正多胞体是正一百二十胞体。

      简单地罗列数据似乎看起来很无趣,而且有故意凑字数的嫌疑,不过由兴趣的人可以从中看出一些有趣的规律和对偶关系。

      关于正多面体到这里也就结束了,再更进一步的讨论不仅会因为涉及到更深的数学而显得枯燥,更因为已经超出了我的知识范围,再多说就要宣传错误观念了。

      闲谈科学目前写了这三个

      【原创】闲谈科学之毕达哥拉斯与无理数

      【原创】闲谈科学之拨电话

      【原创】闲谈科学之正多面体

      还没想好再接下来写什么,等到想好了再说吧。

      关键词(Tags): #闲谈科学#正多面体元宝推荐:爱莲,
      帖:965860 复 962105
      • 家园 又一个好系列,还没看过瘾

        慢慢想新坑,不着急;那边的分形坑已熟了。

        帖:966020 复 965860
      • 家园 沙发
        帖:965898 复 965860
    • 家园 【原创】闲谈科学之正多面体(续四)

      正多面体由于其形态的完美性而受到了古代哲学家们的喜爱。正多面体又被称为柏拉图正多面体,而这个柏拉图就是古希腊的哲学家。他和他的老师苏格拉底及学生亚里斯多德一同被认为是西方哲学的奠基者。柏拉图最早把五种正多面体和哲学联系起来。他认为世界上的一切物质都是由土(地)、火、水、空气(风)四种基本元素构成,而这四种元素就分别对应了立方体,正四面体,正二十面体和正八面体。而剩下的正十二面体,后来被亚里斯多德对应为不存在于地上,而是构成天堂的第五种元素以太。说到以太,又可以引出一大长篇的故事,而对现代科学影响最深的就是光速测量。这个就不是这篇文章的范畴了,等到有机会再挖这个坑。

      奇怪的是,中国古代的数学家和哲学家居然没有在这方面有所建树。如果在古希腊的时代中国的先秦哲学家们听说过五种正多面体,他们肯定会把这些东西套进自己的学说里面,尤其是那个叫邹衍的,一定乐得找不到北,认为一共有五种正多面体是对他五德始终说的最好诠释,五行就会被一一对应上。而以后天干地支六十甲子什么的也会往上套吧。

      在西方,把正多面体联系到自己的领域最成功的大概要算是开普勒了。开普勒是德国人,曾师从于第谷。后者花了毕生的经历观测星体,把观测的结果交给了开普勒。而开普勒总结这些数据,得到了行星的轨道,提出了著名的开普勒三定律:第一是行星轨道是椭圆而太阳是其中一个焦点,第二是在相同时间内扫过同样的面积,第三是轨道周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。这三条是遵从万有引力的二体运动必然能推出的结果,而在万有引力发现之前,开普勒就仅从观测数据得到了这样的结论。在开普勒的时代发现了八大行星中离太阳最近的六颗行星,如何为这六颗行星的轨道找到一个规律令开普勒绞尽脑汁。后来偶然的灵机一动,得到了下面这张被大家所熟悉的图

      点看全图

      中间部分太小,放大以后是这样的

      点看全图

      开普勒尝试用六个套在一起的球表示六颗行星的轨道,中间用五种正多面体分隔开。中间的球既是外面的正多面体的内切球,又是里面的正多面体的外接球。这样所得到的轨道精确到什么程度呢?我们做一下计算。

      水星轨道和金星轨道半径比例是0.535,它们之间是正八面体,内切球与外接球半径比是0.577。

      金星轨道和地球轨道半径比例是0.723,它们之间是正二十面体,内切球与外接球半径比是0.794。

      地球轨道和火星轨道半径比例是0.656,它们之间是正十二面体,内切球与外接球半径比是0.795。

      火星轨道和木星轨道半径比例是0.293,它们之间是正四面体,内切球与外接球半径比是0.333。

      木星轨道和土星轨道半径比例是0.545,它们之间是正六面体,内切球与外接球半径比是0.577。

      应该说还是很不精确的。这个轨道模型大概是古代哲学与天文学之间最后的交集了。

      顺便说一句,我放狗搜行星轨道半径的数据时,居然google给出了一个链接第633讲∶行星螺旋轨道的证明--开普勒椭圆行星轨道批判(雷元星,中共四川省委宣传部退休干部)。咱们先不说是不是伪科学,这么没有深度没有科学严谨性的东西,居然加上一些科学名词,就披上了科学的外衣,堂而皇之地到研究所的会议室去做报告,还上升到了路线的高度,实在是让我哭笑不得。

      关键词(Tags): #闲谈科学#正多面体
      帖:965218 复 962105
      • 家园 雷元星的螺旋轨道证明我仔细看过,是对的

        实际上,用牛顿定律可以直接证明:

        公认潮汐运动是日月引力导致的,潮汐消耗的能量来自日月的引力势能,也就是说定性地看日月的引力势能是在持续减少的。这等价于轨道高度的降低。

        帖:2477447 复 965218
        • 家园 潮汐的结果是轨道变高吧

          比如月球,形成早年是比现在近得多。

          帖:2478191 复 2477447
          • 家园 如果潮汐的结果是轨道变高,那么谁在提供能量?
            帖:2479166 复 2478191
            • 家园 自转速度减小,自转的动能

              一部分转为卫星轨道变高需要增加的能量。

              帖:2479347 复 2479166
              • 家园 能否提供相对定量的证明?
                帖:2481415 复 2479347
                • 家园 定量要求太高了,定性还好

                  潮汐作用,地球被拉变形,朝月亮一侧被拉

                  长,地区自转比月球公转快,这样相对月球,

                  在月球轨道‘前方’的地球要比‘后边’的

                  稍大,有不对称的切向正加速度。月球公转

                  速度加大,原有轨道不在稳定,轨道升高,

                  同时公转速度变慢,但总体平动能量(势能

                  加动能)增高。由于反作用力,地球自转变

                  慢。同理,月球自转也减慢。

                  据认为(记忆可能不准)月球形成时,离地球

                  距离是现在1/15,地球自转周期8小时。。。

                  地球质量是月球81倍(印象中),按上述自转

                  速度变化,可估算到地球自转减速能量损失是

                  月球轨道升高到现在高度所需能量的4倍左右。

                  帖:2481446 复 2481415
                  • 家园 如你之言,行星轨道应该是外螺旋的

                    雷元星的轨道是内螺旋的

                    帖:2483327 复 2481446
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