主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特

让我明白点儿了。不过这么看起来公理体系常常会遇到自己无能为力，而又有意义的命题。

让我想想，这将暗示了什么。。。

公理体系的公理不够多的话当然有很多属于自身体系的问题不能回答了，这个一点不稀奇，一般的想法是逐步往这个体系里添加公理，最终应该能够达到完备化。但是哥德尔（第一）不完备定理说如果自洽（不自相矛盾）的公理体系足够大（大到其中有自然数理论），那么它就不可能通过添加有限条公理达到完备，也就是说，如果你的体系复杂到一定程度，就必然破绽百出，怎么修补都修补不过来，足够简单的体系才可能做到天衣无缝，但是体系太简单的话又没办法描写我们这个多姿多彩的世界。

希尔伯特的欧氏几何公理体系忠实描写了R^3上的几何学，因此必然是不完备的；Tarski的几何公理体系是完备的（公理体系自身是完备的，属于该体系的任何一个命题都能得到证明或者证伪），但是这个体系描写的对象只是R^3几何学的一部分，连度量都没有定义（度量要用到自然数，注意这里说的是“没有定义”，不是不允许定义度量，Tarski的几何公理体系有公理保证度量可以定义，但是没去实施），从这个意义上讲又是不完备的（不能担负起描写R^3几何学/直觉上的平面或立体几何学的任务）。

哥德尔（第二）不完备定理说任何足够复杂的自洽体系的自洽性无法在体系框架内得到证明。

至此人们对公理体系的三个要求死了大半：

1. 独立性，各条公理必须相互独立，这条其实无关紧要，很多时候为了方便特地把一些不独立的命题也加到公理行列中去；

2. 自洽性；

3. 完备性。

希尔伯特呕出七八十两血。

如果，所谓公理体系是人们用来描述认知的模型。也就是说，首先定义一些最基本的实体概念，再定义一些关系概念，最后给出论断。例如：

定义男人；定义女人

定义爱；

论断：男人爱女人

那么现在的局面是：无法构造一个“好”的模型。人们要么构造一个模型，虽然自洽，但是只能描述很少的事物。要么使用较为丰满的模型，但是很快就会出现模型不置可否的命题。而且还不能够通过把上述不置可否的命题纳入公理体系来解决这个尴尬。

这么说，似乎我们根本没有办法，完全把头脑中创造的概念体系化。有很多概念/命题好像浮在空中，不属于任何体系。

不完备性定理说总有一些命题无法证（证明或者证伪），那么能不能装鸵鸟，把这类命题找出来造个监狱关起来不去理睬？“不可判定性定理”说一个足够复杂的体系中不存在一种（按部就班的，程序性的）方法来判断一个命题是否可证。监狱造不起来，不可证的命题可能就潜伏在你的身边。判断是否可证（是可证明性，不是要求寻找证明方法）需要发挥人的聪明才智，具体情况具体分析。

这是一个坏消息，数学家的事业永远不能完成；

这又是一个好消息，数学家永远不用担心失业。

这个“不可判定”听起来有点儿像我前面说的“不可计算”了，如果你愿意把判定视为一种二值计算的话。

这个牛哄哄的定理指出，不存在一个系统的方法，对一个输入命题的可证明性，进行判断。

我越来越怀疑这个“不可判定”和“不可计算”有某种关联了。因为如果把上面蓝字作如下诠释：

“可证明”即是运算终止并输出结果（结果的值表示证实或证伪，不影响可证明性的存在）。

那么“不可判定”就和“不可计算”统一起来了。

Entscheidungs problem

确认，是一回事。