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主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包
我考虑的是圆周率和自然对数的概念是怎么产生的。坦白讲认识到圆周和直径的比是一个常数，这个可能不是特别直观，不过有正方形和三角形的例子在那摆着，估计PI的概念也自然会产生吧。至于具体数是怎么计算的，确实应该是逐渐逼近的，否则还能有其他的方式吗？我想可能也是有的，比如也可以弄把软尺子直接绕着圆周量，不过这样都比较粗糙（到小数点后两位是容易的，不过像祖冲之那样到7位就不大可能了），显然还是数学逼近比较准确些，是说想准确到几位就能准确到几位，至于怎么逼近，方法很多，查查就可以了，最直观的肯定应该是多边形逼近吧。
关于自然对数，说实在的，要是没有人告诉我有这么个数，再没学过对数，还真挺难产生这个概念的。至少我上大学之前不知道自然对数有啥用，也不知道它为啥产生，这曾经一度让我觉得很费解。不过关于这个概念的产生网上有，查查就行了。所以对于欧勒，只有顶礼膜拜了。当然如果复变函数是必然产生的，那自然对数底这个概念肯定是在那之前就会被人们所认识的。我没查过资料，但我相信，在中国近代数学之前，应该没有这个类似的概念。不像圆周率，世界上几乎所有民族都有这个概念。
e^x对x的导数仍旧是它自己，这点就足以说明它的重要性了。当我们把e^x，sin(x)，cos(x)作泰勒展开时，发现它们之间的关系是那么亲密，e^x就是后面这两个三角函数的合体，于是，欧拉公式会把e和pi联系起来也就不是那么神秘了，因为三角函数跟pi自然是关系很大。但是这些事情都要数学分析建立以后才看得出，在那之前人类对e没有认识也是很正常的事情。
严格地说是我们所在的时空局部的基本特征。别再追问这个基本特征究竟是什么，因为我也不知道
物理学的观察结果告诉我们，宇宙是平坦的，所以该基本特征实际上适用整个宇宙。
直觉告诉我，对数由该基本特征衍生而来。
这个基本特征不是一成不变。据说宇宙诞生初期的圆周率跟现在就不大一样，很远的将来也可能有变化。
Mbius Story: Wind and Mr. Ug
[FLASH]http://www.youtube.com/v/4mdEsouIXGM[/FLASH]
有机会一定好好了解了解
不过在百度上查，好像最开始是在编对数表的时候欧勒为了能使取数比较平均才产生的这么一个极限数。坦白讲我自己认为最自然的发现方式应该是在发现微积分以后，接着检查某些简单函数，自然就会触及到1/x和1/nx，在发现它是个对数函数后再通过些简单的插值计算，估计就能知道这个int(1/x) 的对数函数的底应该是个挺特殊的数，以及它的大概范围了，再看三角函数和指数函数对数函数的关系，这个e就会越来越重要了。按说伯努利莱布尼茨争论负数和复数的对数是否存在的时候估计就应该产生这个概念了，尽管那时候函数的概念还很原始。只可惜我当时学高等数学的时候一上来就被这个极限给搞蒙了，原本特别自然的数，让我觉得它的出现特别的不自然，怎么就突然就冒出这个概念来了，这事曾经困扰了我很长时间。后来搞明白后我还曾经一度觉得数学分析的教法不好，不够直观和富有启发性，直到有一天发现原来当初欧勒写无穷小分析引论的时候就直接这么定义指数函数了，看来几百年间大家都是多少按这个顺序学习数学的。看来我开始没弄懂还是我太笨了，呵呵。
The first references to the constant were published in 1618 in the table of an appendix of a work on logarithms by John Napier.[3] However, this did not contain the constant itself, but simply a list of logarithms calculated from the constant. It is assumed that the table was written by William Oughtred. The "discovery" of the constant itself is credited to Jacob Bernoulli, who attempted to find the value of the following expression (which is in fact e):
lim(1+1/n)^n
我有时候想，人类什么时候掌握了素数，就掌握了宇宙。。。
可以想象的实际情况我估计大概是Napier称为推广对数中的重要人物，他开始并没有固定的对数底，有人建议以10为底造对数表（要是我也会先选10，或者2？），伯努利稍晚一些，提出这个极限（我估计这是在尝试对数表的优化时产生的），不过他只是估计这个数是在2和3之间，最终伯努利的学生欧勒把对数定义为指数，给出了指数函数的公式，并且发现了e的其他的重要的作用，而且他据说也是最早以e为底的计算对数的（1728年），不过他没有发表，至少古今数学思想上这么说的。反正最终这个功劳是被欧勒摘牌了，其实按说他搞了那么多东西，也不缺这个，不过现在这个e居然也是Euler的首字母，可见大家还是公认Euler在这个概念上的首要贡献。
是为了解决天体运算提出的，把大量繁琐的观测数据的乘法变成简单的加法，其他文化圈没有这种需要所以没有产生对数。自然对数的产生则和简化对数表有关：
log(a * b) = loga + logb
但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1.所有乘数/被乘数都可以化到0.1-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
2.那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看；）
3.这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且 “相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。
4.为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ， X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算 （1-1/X）^1 = p1 ,
（1-1/X）^2 = p2 ,
……
那么对数表上就可以写上 P1 的对数值是 1，P2的对数值是 2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。
5.最后他再调整了一下，用 （1 - 1/X）^ X作为底，这样P1的对数值就是1/X， P2的对数值就是2/ X，…… PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。
6.现在让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）^ X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了 --- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。
也就是说最早发现用处的是1/e而不是e本身。
我不是极端的直觉主义数学派，但我仍旧觉得，如果一个理论不够直观，那它要不就是它自身有待优化以便更容易理解，要不就是有待人类改变自己的大脑结构以便更容易理解，再有就是它也许真的就没啥前途。
比如近世代数，其实有些概念（比如群）已经很直观了，但毕竟用起来要弯弯绕，而且抽象代数中数不清的新概念也会对喜欢简化思考的人给以沉重的打击。以微积分为例，无穷逼近和极限的概念早就有，但如果仅以数学定义，就显得及其繁琐，如果说积分导数就是距离，速度，加速度，加速度的加速度...或者面积，斜率，这显然大大促进了人对抽象概念的理解。再说复数，如果按euler定义复数，那只有专业数学才能理解，后来复数被理解为平面上的点，复平面被理解成球面在平面上的一种映射，乘法变为旋转，加法变为力的平行四边形中和，幂指数变为化直线为圆，一系列的直观优化导致它称为数学中的奇葩。在这个意义上，我觉得抽象代数尽管在上世纪取得瞩目的发展，但其中的去伪存精概念直观化的道路还有很长很长，也许这正是它的潜力所在。人的脑子宝贵就宝贵在：它容量是有限的，不能直接装下所有东西，所以才要找规律试图装下更多的东西，所以才有科学和规律的发现。
我觉得数学要平民化，平民才是数学的大地母亲，能从中不断汲取营养，否则就会枯死了。楼主的讲法其实已经有娓娓道来的感觉了，但其实我觉得还有点不够，这显然不是楼主功力的问题，而是语言文字的局限性了。其实楼主在理解这些复杂的数学概念的时候头脑中肯定有各种表象，甚至故事情节，如果能把它以动画的形式显示，或者拍成故事片科教片，把那些准确的数学概念的表象以图形声音动作的形式传达给观众，肯定会大大提高观众的整体数学素养。比看什么大片有用多了。讲数学就像听评书，看电影，看电视连续剧，玩电游...呵呵，瞎侃了