主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

当然考虑自转时更复杂。

这一篇介绍了无自转的情况。要了解有自转的情况，可搜索 克尔黑洞。

一般人的想像力所能想出来的任何几何体 几乎都是流形。 说“几乎”是指你的几何体 除掉 类似于两尖对尖圆锥的尖点这样的部分 以外的部分 是流形。

尖对尖圆锥为啥不是流形？因为任何包含该尖点的 两尖对尖圆锥的 部分 都不能连续的等同于一个圆盘（不许撕破或粘合）。 而（2维）流形的定义要求 局部上可以等同于圆盘。这里的要点不是“尖 ”，而是尖点附近的形态。

为了加深理解，我可以指出 单个圆锥 是（拓扑）流形。而两个相切的球面作为整体 不是流形。单个球面 是流形。两个相切的球面 在挖去相切点后 是流形。

一般人的想像力所能想出来的几何体 哪怕再复杂，除掉个别类似于尖对尖圆锥之尖点 或相切的球面之切点 之类的个别低维数部分后 都是流形。

对常人而言，真正的难点在于 很难想象 不嵌入某个作为背景的欧氏空间的 几何体。这里的要点是 要将这件事 （不嵌入某个预先存在作为背景的欧氏空间） 蕴含在你的定义中。我的这几篇就解释了这件事。但逻辑上解释清楚某件事， 不代表你会觉得它直观。

那么怎样才能觉得直观呢？这恐怕已经不是数学或物理问题了。比如你也许有能力 直观的想像 将全体实数 对应于一条无缝隙的直线。为什么这件事是对的？严格说来问题问错了。这件事之所以存在 是因为你将其蕴含在实数和直线的确切定义中。但确切定义不保证 你觉得它直观。 如果有人在看了实数的定义后 就是觉得难以“直观”想象这件事（全体实数 对应于一条无缝隙的直线），我也没办法。 另一方面 你的直观洞察力 很可能不是建立在实数的严格定义上的， 而是建立在你能“看见”直线 或至少能在头脑中想象“无缝隙的直线”上。

对流形以及时空或宇宙的理解 是非常类似的。原则上讲 “直观”的感觉不是必需的，但如果没有直观的感觉 要去思考宇宙学模型是很费劲的。绝大多数人无法“直观”想像以下这几件事

1 不嵌入欧氏空间的 几何体（流形）

2 内在的弯曲

3 维数超过3的几何体

4 将时间和空间结合起来成为“洛仑兹流形” 而这“洛仑兹流形”具有上述 （1，2和3）性质。

所以如果你要说 在有的宇宙学模型中 “宇宙有限却无边界” 或者 “大爆炸不是发生在某处” 或者“时间不能无限回溯”或者“10维时空的6维卷曲起来”等等事情 绝大多数人是无法想像的。但对于能直观想象前述4件事的人（比如我）这些可能性 （至少在几何上） 没有任何神秘性， 其难度其实可能远低于 凭空想象 用绳子打一个较复杂的结。

这么详细，太感激了！

楼主这么一说后，我感激自己的2维流形的概念和图像都清晰了不少。我提个小建议，描述一个概念或图像时多举例一般来说是有帮助的，例子中有反例更好。此外，提及一下这个概念的来源或用途也是有帮助的。比如流形这个概念，为什么会和广义相对论的时空模型有关，从这个概念开始去理解时空有什么好处，是不是唯一途径，是不是简便途径……

对于楼主提出的几件事，反馈一下我脑中现在的图像。

1 不嵌入欧氏空间的 几何体（流形）

一个瘪了的皮球或轮胎或多个洞的轮胎，可以随意变形，但不能弄破。

2 内在的弯曲

除了看起来是“弯的”以外，它的内部不是均匀分布的，所以叫“内在”，所以有可能看起来不是“弯的”，也有内在的弯曲。

3 维数超过3的几何体

额，这个确实很难描述了，自己在大脑里类推吧。

4 将时间和空间结合起来成为“洛仑兹流形” 而这“洛仑兹流形”具有上述 （1，2和3）性质。

如果能想象3的话，4就不难了，先忘掉时间就行。

“宇宙有限却无边界” 或者 “大爆炸不是发生在某处” 或者“时间不能无限回溯”这几个想象不难，只是潜意识里不太愿意相信，所以感觉难。“10维时空的6维卷曲起来”这对我来说还是有点陌生。

另外，楼主有空的话也给大家纠正一下量子物理里的一些误区吧，功德无量啊。

如果降维，在平面加时间的三维空间中用二正一负的度量距离，光锥就是一般的三维的锥面了吧。这样，选取不同的坐标系（时空分解）的话，这个锥面的内外部怎么能保持不变呢？难道跟这样的空间中的洛伦兹变换有关？

保持锥面不变的变换 正是洛仑兹变换。

比如任何量子力学所用的抽象的Hilbert空间里的n维复矢量，我们知道是一定能用一个2n-1维的实超球面上的点来表示，也可理解这一2n-1维的实超球面“嵌入”了一个2n维的流形空间。这样的动作总是可以不停的往下做的。所以当你在前节提问

可能容易把没有基本知识的人绕晕。因为原则上没有“不嵌入其他流形的n维球面”，你总可以把它嵌入一个n+1维的流形空间中。这一切本身就是抽象思考的结果。

而至于我们所生存的时空究竟是几维的(究竟是否存在“嵌入”流形)，或者说我们所生存时空究竟是啥，那就另当别论了。

changshou兄的这些科普文章待来日有空再一并读完，到时候我看能不能在里面加几把火，哈哈。

但我想让读者 在思考纯广义相对论的时空时 避免这样做。因为时空本身是不嵌入某个欧式空间的流形， 而所谓弯曲时空里的“弯曲” 指的是内蕴的Ricci曲率 与嵌入无关. 当然在讨论爱因斯坦方程初值问题时，需要嵌入的三维子流形（柯西超曲面），这在后面的篇章中我有介绍。至于当代各种量子引力框架中的模型（如膜世界等) 不在本文科普范围中。

1. 愛因斯坦的廣義相對論=the highest IQ of humanity as of today

"时空本身是不嵌入某个欧式空间的流形"

that is the beauty of 愛因斯坦的廣義相對論

"爱因斯坦场方程的解是个场" , very often it is in a "local (or 特定)" 时空 situation such as 史瓦西时空, but most of time, when we really jump out of "local" into real 时空, our model can't figure out any 解 for 爱因斯坦场方程, with one of reasons as you said, "real"时空 cannot be 嵌入某个欧式空间的流形

2. witten1's comment is right as a physicist

because all the known physics model's have assumptions about model's "local" 时空, and we don't really have a "global" model anyway, and by the way, all the "global model" are basically "art"/philosophy, religion, "隱參數" based social science model, etc

2.1

"局部范围等效原理：引力=局部惯性系加速，and if you want to be more "robust", 狭义相对论 Poincare group always works, and other than that, most of the time newton/classical physics is good enough (we can explain 引力 as 局部惯性系(伽利略慣性系)加速) ", or locally, 引力 has "same" impact on all of us

2.2 actual physics modeling

廣義相對論 in a way is also 一個

局域的理論, 等效原理,

"量子力学第一性原理 )、“绝热近似”(由于原子核质量比电子大得多，而把原子核当成静止的点处理)和“轨道近似”(用一个独立函数来描述一个独立电子的运动"

here we can argue that 原子核 as a background /时空

for 电子=欧式空间, relative to all those moving 电子 around原子核: 原子核's impact on 电子 are too small/slow/same to all the 电子, or 原子核's impact on 电子="平直" to all 电子, and therefore we can further assume that 电子的运动=独立电子的运动, "no full interaction evil" in the model, model is safe.

by the same logic, we also have QFT's 电子穿衣服 model, with 重整化（Renormalization） as 量子场论中解决紫外发散的一种方法, originally "copied" from 朗道(did he say only 愛因斯坦 is "above: him in physics?) 元激發 model, and "leveraged" all the way to standard model.

by the same logic, we deal with "heat bath" using almost the same trick, so we have 正则系综, etc

3. the most important and fundamentally

there is no 欧式空间的流形 for gr's 时空, or in more GR-fitting 洛伦兹流形, we don't have 解 for 爱因斯坦场方程 anyway, most of time

so most of time we live and work in a 爱因斯坦场 where we don't have a clue about what kind of 场 that is, living in the dark, particularly socially

and partially because of that, our brain 熱消耗 everyday, 下意识trying to figure out "where we are", wasting a lot of energy

4 still, we have to model GR

廣義相對論基本上有一個無窮大的規範對

稱(gauge symmetry)，

http://phy.ntnu.edu.tw/~linfengli/articles/holography.pdf

周光召:共形场引力场没有质量，应考虑无质量场最大的时空对称群

kind of

"pure" gr 引力/时空=full interaction evil

and to gauge it:

we have 最大的时空对称群 "front running" everybody and every where, trying to figure out "隱參數/隱logic" before everybody else

5. SR, GR's "limitations" to social 爱因斯坦场

human being as a 靈性 animal, when there is a significant change in 时空, not everybody gets 靈性 and can figure out the change in 时空, our society in general is not a 某个欧式空间的流形

so, when Ricci曲率 "pops", not everybody can put on 衣服 to deal with change in 时空, and actually most of us are always out there naked, with a lot of risk exposure, and without putting on "宇航服" , we 太空失重, and eventually becoming part of 太空

good writings, thanks

and I hope witten1, you and others can comment on Verlinde's 全息屏 model, which I have made a lot of "wild" comments in my past posts

"弯曲时空里的“弯曲” 指的是内蕴的Ricci曲率 与嵌入无关"

prof 杨振宁, 陈省身, 丘成桐@ top of the science world of humanity as we know

1.

数学隐修士——格里戈里佩雷尔曼[1]

发布日期：2010年6月30日 来源： 中国数学资源网 浏览次数：81 数学编辑 247203285

文章摘要：格里戈里·佩雷尔曼（1966年6月13日出生）是一位俄罗斯数学家。他是一位Ricci流的专家，他可能证明了数学中一个重要的未解决的问题：庞加莱猜想。

"他切断了与外界的所有联系。与此同时，外部世界则对他充满了好奇，无数的媒体开始围在他家周围。

如果说这个世界上有任何人在评价佩雷尔曼的工作上具有权威，那么他应该是美国哥伦比亚大学数学教授理查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)。汉密尔顿在数学上最著名的贡献就是发现了Ricci流，而Ricci流正是让佩雷尔曼接近顶峰的助手。"

2.Ricci流非塌陷:

"Perelman最重要的成果是他的关于Ricci流非塌陷

的结果，这在所有的维度都成立，而不仅仅是在三维情况成立。它对未来的重要

性远远超过了庞加莱猜想。对于庞加莱猜想，它是消除 cigars奇点的工具，而

我无法消除这类奇点。这个结果有两个证明，一个是使用逆向标量热方程的熵，

另外一个方法是使用路径积分。熵估计来自对共轭热方程做李-丘型微分Harnack

不等式的积分，另一个是对同样的Harnack不等式做最优李-丘路径积分。正如

Perelman在他的第一篇论文7.4 中承认的，他写道：“一个更接近的参考是[李-

丘]，他们使用“长度”与线性抛物面方程关联，这与我们的这个问题非常相

同”。

理查德·汉密尔顿回应《纽约客》关于丘成桐的文章

　　数学家汉密尔顿致信丘成桐的律师Howard M Cooper

　　亲爱的Cooper先生：

　　《纽约客》杂志以不公平的方式描写了丘成桐，我对此深感不安。我在此写

出我的想法，以正视听。如果这能对丘有什么帮助的话，我授权你把这封信提供

给《纽约客》杂志和公众。

　　20 世纪80年代早期，当我的第一篇关于正Ricci曲率的三维流形的Ricci流

的论文完成之后不久，丘立刻认识到了它的重要性。尽管我证明了他那时正在研

究的最小曲面的一个结果，他并没有表现出丝毫的嫉妒，而是成为了我的最坚定

的支持者。当时他向我指出Ricci 流可以形成neck pinch奇点，解开connected

sum decomposition，这可能导致庞加莱猜想的证明。1985年，他把我、Rick

Schoen 和Gerhard Huisken一起带到了加州大学圣地亚哥分校，我们组成了一个

非常令人兴奋而多产的几何分析研究组。Huisken当时正在研究超曲面的平均曲

率流，它非常类似于Ricci流。平均曲率流和Ricci流分别是外曲率和内曲率的最

简单的流。丘不断敦促我们研究这些抛物面方程奇点的blow-up，使用与研究类

椭圆方程的最小曲面方程类似的方法。而丘和Rick是这方面的专家。没有丘在这

个早期阶段的指导和支持，就不可能有供Perelman完成的 Ricci流的研究纲要。

　　在加州大学圣地亚哥分校，丘还有一些非常优秀的学生，这些学生是和他一

起从普林斯顿来的，特别是曹怀东、周培能和施皖雄。丘鼓励他们研究Ricci流，

他们都对这个领域做出了非常重要的贡献。曹怀东证明了规范Kaehler情况下的

正规化Ricci流总是存在，且收敛于零或负陈示性类。曹的结果成为了Perelman

关于Kaehler Ricci流的令人兴奋的研究的基础，Perelman证明了对于正陈示性

类，直径和标量曲率是有界的。周培能除了在其他的流方面做出了卓越的贡献外，

他还把我的关于二维球面Ricci流的工作扩展到了不同符号的曲率的情况下。施

皖雄开创了完备非紧流形的Ricci流的工作。除了许多漂亮的论证，他还证明了

Ricci流的局部导数估计。奇点的blow-up常常产生非紧的解，而关于收敛到

blow-up极限的证明总是依赖于施的导数估计。因此施的工作对于 Perelman和我

使用的所有极限论证都至关重要。

　　1982年，丘成桐和李伟光撰写了一篇极其重要的论文，为线性热方程提出了

一个逐点微分不等式，它可以沿曲线积分，给出经典的Harnack不等式。丘不断

敦促我研究这篇论文，根据他们的方法，我证明了Ricci流和平均曲率流的

Harnack不等式。由李-丘的研究一般化而得到Harnack不等式，构成了我所开始

研究的ancient solutions的基础，Perelman完成了它们，并把它们作为他的规

范邻域定理的一个基本工具。曹怀东证明了Kahler情况下Ricci流的 Harnack估

计，而施皖雄对Yamabe流和高斯曲率流做出了同样的证明。

　　但是这个故事还没有完。Perelman最重要的成果是他的关于Ricci流非塌陷

的结果，这在所有的维度都成立，而不仅仅是在三维情况成立。它对未来的重要

性远远超过了庞加莱猜想。对于庞加莱猜想，它是消除 cigars奇点的工具，而

我无法消除这类奇点。这个结果有两个证明，一个是使用逆向标量热方程的熵，

另外一个方法是使用路径积分。熵估计来自对共轭热方程做李-丘型微分Harnack

不等式的积分，另一个是对同样的Harnack不等式做最优李-丘路径积分。正如

Perelman在他的第一篇论文7.4 中承认的，他写道：“一个更接近的参考是[李-

丘]，他们使用“长度”与线性抛物面方程关联，这与我们的这个问题非常相

同”。

　　多年来，丘一直支持Ricci流和整个几何流领域的研究，在这个领域还有其

他重要的成果，例如最近Huisken 和Ilmanen证明了彭罗斯猜想，这是广义相对

论领域的一个非常重要的结果。除了丘成桐，我无法想象还有其他任何著名的数

学权威会对我们的研究领域给予密切的支持。

　　丘成桐建立的是一群天才的群体，而不是一个权力帝国。人们被他的精力、

他的超群思想以及他对一流数学的不懈支持所吸引。丘成桐把他们集合在一起，

共同研究最困难的问题。在过去的许多年中，丘和我花了无数时间一起研究

Ricci流和其他问题，常常工作到深夜。从观察到neck pinch奇点问题开始，他

总是慷慨地与我分享他的建议，但是从未要求分享荣誉。

　　事实上，当去年冬天我最终努力证明了Ricci流的一个局部型Harnack不等式

的时候——我们一起研究这个问题已经很多年了——我说我应该把他的名字加在

论文上，他谦虚地拒绝了。（《纽约客》）这样严重地歪曲他的人格，这真是不

幸。据我所知，他从未提出关于（解决庞加莱猜想的功劳的）百分比，他也没说

过Perelman应该与我之外的其他人分享（解决）庞加莱猜想的荣誉。这是合情合

理的，因为事实上除了Perelman本人，没有任何人比他更加慷慨地归功于我的工

作。丘成桐根本没有偷窃Perelman的成果，正相反，他赞扬了Perelman的工作，

并与我一起支持Perelman获得菲尔茨奖。Perelman借助Ricci流的研究纲要获得

了菲尔茨奖，而事实上，丘成桐正是建立这一纲要的人。

　　谨启

　　Richard S Hamilton

　　哥伦比亚大学数学教授

1)thank you for this wonderful series, I have to read it many times, with some thing learned each time.

2) I hope you can write something similar about gauge field theory, in a 几何直观 way;

3) If I may suggest you to get onto weibo.com, or you may have one account there already, there are quite few Chinese physics there active posting

now,

a very good writing as in the below

[PDF]

歷險記

edba.ncl.edu.tw/sa/pdf.file/ch/c091/c091p054.pdf

在負曲率的鞍面上，同樣的動作會讓泳者向東移動。這兩個例子的動畫，. 請參見http://physics.technion.ac.il/~avron。 在彎曲時空中游動，可以用一個比較簡單的例子 ...

用随机道路方法来构造大负曲率复流形上的有界全纯有界全纯函数

1. GR

basically started with

a world where "圆盘以一定的角速度转动，离圆盘中心越远，所受到的离心力越大，因此对应于马鞍面（曲率为负）弯曲时空"

2. 光發散 in 曲率为负's 弯曲时空, a dark world

"gauge" is a challenge in such a world

3. 丘's outstanding work, "卡拉比-丘空間" etc

4. I would guess AI/computer graphics/fiancé appls could come much earlier than "物理 lab realization" of "卡拉比-丘空間"

the concepts/methodology are the greatest part

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时空的历史--丘成桐在中国科学院数学与系统科学研究院的演讲

www.360doc.com/content/06/1217/.../9737_297382.shtml

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迄今为止，在大部分有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立 ... 最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何-曲率为负常数的空间。 ..... 卡拉比-丘空间乃是弦理论中真空状态的基石，但它不见得是时空微观结构的 ...