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主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
如果第4维是时间， 这意味着 2维球面只在某一瞬间存在。
部分认同
你的例子很好地说明了 局部上是欧式空间（平面）， 整体不是。
不过我讲的还有一层: 我讲的流形不需嵌入任何外部空间，而地球表面则嵌入宇宙空间。所以还是不太一样。
我讲流形， 不是要用它来作为地球表面之类的东西的模型 而是要用它作为时空的模型。
是否可以这样说：您这里所谓的橡皮膜球面用于研究拓扑性质，加了一个度量结构而成的几何球面可以对之研究几何性质，比如距离、面积等等。这个问题提示了数学中拓扑和几何的联系和分野。
（我们都知道一个气球，用手指按一下形成一个微凹，那么这个气球的拓扑性质不变，但是几何性质变了。一个普通的圆气球和一个冲了气的轮胎则在拓扑上就是不同的。）
当你说二维球面局部等同于欧式二维平面的一部分，整体不同，我估计很多人不懂。
具体说，这里的“等同”可能要应该加一个限定，是在什么方面等同，比如在几何上恐怕不能说。
因为“在第四维固定一个位置”即是“一瞬间”
基本膜是有固定的一维边界的吗？或者这个固定的一维边界就定义了这个基本膜？
开始就是“粘合指示”那里没有太懂。后来看跟帖说明，就是粘合部分的维数应该跟被粘的东西的维数一样吧。
就是说不能头对头焊接，而必须有重叠部分。
你说的两个球，1号球的南半球部分和2号球的北半球部分会粘在一起。
是这样吧？
这种规定很有意思。为什么不能规定象两个同样大小的半球碗那样，上碗扣下碗呢？
这两个概念重要，提供一点直观上的理解，供楼主评点是否正确。
设想在流形中有一个极小的智能蚂蚁，它懂得测量距离，会使用测量工具，并且测量行为只能发生在该流形的维度之内，比如二维几何球面上，该蚂蚁只能在二维内进行测量。并假设该蚂蚁所测距离都是局部距离。最后假设该蚂蚁懂得勾股定理。
内在的弯曲：该智能蚂蚁在该流形中经过局部测距后确认勾股定理不成立，即该蚂蚁在该流形之“内”可以判定该流形的几何性质发生弯曲。
外在的弯曲：该智能蚂蚁在该流形中经过测距后确认勾股定理成立（或无法确认不成立），但是受维度所限，无法决定在高一维的流形中是否发生弯曲。比如在圆柱面上，该智能蚂蚁无法在二维意义上分辨该流形是圆柱面还是欧式二维平面，即可以判定没有“内在的弯曲”，但无法判定该流形是否是“ 外在的弯曲”。
接上的部分就是另一维数：1维。如果要粘复杂的，维数高的东西，定义时把低维的东西都扯进来会造成不必要的混乱。
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （6）小结
6.1 第二座高峰
如果你已理解上文，那么你在获得较可靠的时空观道路上 又攀上了一座高峰。
如果感觉有很大难度， 在进一步行进前 最好停下来巩固一下。
6.2 纯数学部分告一段落
到目前为止，我还没有讲任何广义相对论的内容， 甚至没有讲任何物理。我讲的是 广义相对论使用的基本几何语言。 我认为 先讲这一部分 以及同物理部分分开来讲 是有很大好处的。有利于你理清思路， 又保证你的基本概念的正确性。磨刀不误砍柴工。
然而这不是通常科普的套路， 而更像是现代教科书的套路。 这意味着 阅读本系列难度不小， 也意味着 它包含着 准确得多丰富得多的内容。还是那句话：不入虎穴 焉得虎子。
6.3 提示：今后 如果你无法想象4维， 就想象三维好了（两维空间一维时间）。
6.4 声明：为了便于理解， 我自创了很多词汇， 如 “内在的弯曲”，“内在的橡皮膜球面”等等。 这些都不是通用的词语或术语。 专业人士 自可分辨其准确含义。可是你如果 不加解释的和别人讲这些东西， 颇有被认为是乱忽悠的可能。 读者应自行评估风险。
6.5 诗一首
某日思内在之橡皮球面嵌入之橡皮球面内在弯曲之内在几何球面外在弯曲之嵌入几何球面内在弯曲之嵌入几何球面有感
谁家小球面， 善变若流形。
柔柔两维身， 潜入虚空去。
忽遇痴学究， 欲辨勾股理。
薄命不由己， 缚体经纬系。
灵气黯然消， 惟余满腹曲。
一曲虚空恶， 不得直道栖。
再曲愚顽劲， 何事探太虚？
本是内蕴身， 自在无形意。
神秀藏拙件， 小盘塑娇躯。
片片皆平凡， 隐隐全局戏。
凡间亿万客， 不得睹真迹。
岂似今日羞， 标架铸刚体。
度量皆由计， 计得不平意。
三曲学究误， 传道不自力。
行文冗且长， 论理拗而屈。
辞穷弄诗文， 可笑终自娱。
挑战：你能分辨出诗中的数学和双关吗？
待续
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内在和外在的弯曲，是否可以理解为，外在弯曲只有一个坐标轴发生了弯曲，而内在弯曲是所有的坐标轴都发生了弯曲？