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主题:我似乎找到了地球上最快的勾股定理证明法! -- 给我打钱87405

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家园 我似乎找到了地球上最快的勾股定理证明法!

我很兴奋!

勾股定理我是怎么也理解不了的,这几乎就成了我多年来的一个心结,或者说,我有点空的时候就琢磨这个勾股定理。

苍天有眼!

就在前不久,一位数学老师向我提问,如果知道三角形的三条中线,怎么画出它的原三角形(当时题目是问面积)。我想都没想就回答道:“把三条中线移出来不就构成了一个三角形么?”

而就在今天,我突然想到了这一点,原来勾股定理是不需要证明的,只需要看就能看出来的!

下面奉上证明法。

首先,要知道这个:

点看全图

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当线段j与线段k(蓝线)的夹角不变时,不论j与k具体在哪,j与k的四个端点构成的图形(虚线)面积不变。

明确了这一点就好办了。

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AE=CE,BE=DE,EB⊥AD

易知△CED是△AEB逆时针旋转90°的结果,所以AB=CD,AB⊥CD。

所以线段AB与CD构成的图形(红色实线部分)之面积,与以AB为直角边的等腰直角三角形的面积相等,即AB*AB/2。

而这个红色实线所围的图形面积,等于△AEC与△BED面积之和,即AE*AE/2+BE*BE/2

所以AB*AB=AE*AE+BE*BE!

通宝推:唐家山,
家园 Can not view the pictures
家园 del.

del.

家园 不错

不过前面三个图的准备知识似乎不必要。单看第四图,“红色实线所围的图形面积”=△ADB面积-△ACB面积=AB*(△ADB高-△ACB高)/2=AB*DC/2.

不错
家园 作为纯证明来说

只需第二大步实际上更简洁,前面的准备反而“容易把人绕晕”。

但我之所以提及前面的准备,

一来这是我想到这个证明法的起源;

二来这让我意识到凹四边形的面积求法是一个认知上的盲区,不过更重要的是,我似乎对于面积有了另一种理解:是对角线“撑开”的大小——当然目前只局限于三角形和四边形。

家园 明确了的那一点不需要证明吗?

当线段j与线段k(蓝线)的夹角不变时,不论j与k具体在哪,j与k的四个端点构成的图形(虚线)面积不变。

这个证明我反正比较晕菜,和古人那个外面一个正方形,里面是4个直角三角形包出一个小正方形的证明办法来还是差的,这个真正是不着一字尽得风流呀

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅弦图

家园 记得多年前见过一小册子上

给过好多面积截取证明勾股定理的方式,还有图。

家园 准备知识可有可无,对于证明勾股定理来说

要证明也很容易:

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四边形ABCD的面积为AC*(BF+DG)/2

而BF+DG=DH

BE与AC平行且相等

所以四边形ABCD的面积与三角形BDE相等

DH由BE(AC)和BD的长度与夹角决定

所以决定ABCD面积的就是对角线的长度与夹角

凹四边形也一样

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家园 赵爽弦图非常直观

赵爽弦图:

外链出处

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边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为 a、b,斜边为c 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为c的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式,c^2 + 4* (1/2)a*b = (a+b)^2 化简得 c^2=a^2+b^2。

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