主题：给数学学习困难户的一个建议 -- 给我打钱87405

这个结论符合我的观察，有没有这方面的理论？

80里的八分之三是盈利（60%=3/5，总计就是进价8/5，就是说80的3/8是盈利），80里的四分之一是损失（20%=1/5，售价是原价的5-1=4，损失就是80的1/4）。计算起来极简单，30-20=10。

虽然说，学生在学习分数时已经知道了这一点，即：

如果已知A+B=C，A:B、A:C、B:C中已知任意一个，就能求出另两个（或者说另两个相当于“隐形信息”）。

这其实是基础知识。

但遇到此题时，能不能想到这一点或者说从“部分和整体的关系”出发，很难说。

即便能想到，在解题时挑战性更大，因为：

已知盈利60%，相当于知道B:A，要求的是B：C；

已知亏损20%，相当于知道B：C，要求的是B:A；

这相当于要套用两个公式，或者说是走两条不同的路径，而且80的角色在盈利和亏损中是不一样的。

难度系数高出一个等级。

“想不到”大抵会有两种情况，一种是没见过，所以想不到，这需要积累，另一种是所学的知识和技能没有吃透。后一种常见。

就拿本题来说，理论上说，学生两种解题思路都掌握了才算合格，这个合格是指搞清楚了部分与整体的关系（就“比”而言）。但实际上，多数学生是想不到第二种思路的，而且这当中还有一部分学生，即便是老师给他们讲解第二种思路，他们也会感到厌烦——80怎么一会是部分，一会是整体呢？

但是，这道题出现在分数内容当中，对六年级学生而言，如果要求两种思路都会，这要求是高还是过分呢？这其实是大众教育的一个困境。

思维清晰，就不需要写出来，写出来总会比较慢，反倒影响思维效率。看到那道题就能在脑子形成能变动的图像，这个能力看来多数人都不大具备，所以一般人还是写出来会好些。

《越狱》里面男主角把路线计划写出来才能理清思路，然后还要刻在背上，说明思维力度和记忆力都不怎么样。

在这：懒厨:呵呵，我又有问题了

学生遇到的难题，往往都是复合题，或者习惯上所说的综合题。

先说什么叫复合题，好比复合句，是由多种“结构”不同的小题合成的一道大题。而解出复合题，读懂复合句的关键就是找出“关联件”。

实例

先学一个知识，记为知识一：

被除数、除数、商，三个数量知道其中两个，就可以求出另一个。

知识二：

知道a和b的比值，知道了a，就能求出b。但这个知识学生却不认同。

为什么？因为要将这两个知识扣起来，需要找到那个关联件。关联件就是当我们说“a和b的比值”时，a是被除数，b是除数，a和b的比值是商。但这个关联件是隐性的，所以学生不认同。

知识三：

如果知道a+b=c，那么a:b、a:c、b:c三个比值当中知道了任意一个，就能求出另两个。

现在出一道复合题：

已知a+b=c，a与b的比值，c，求a

解题需要前面的三个知识：

调用知识三：通过已知的a:b求出a:c

调用知识一、二：在已知a的情况下，要求c，就需要求出a:c（在其它情况下统称为求出a与c的关系）

为什么单独讲知识三时，能求出a:c呢？因为a:c是显性的，它以“问题”的方式出现。

为什么在单独讲知识二（这里默认已经将知识一和知识二关联起来了）时，能求c呢？还是因为a:c是显性的。

为什么在“复合题”中意识不到这一点呢？因为a:c这个关联件是隐性的。

一句话，解不出，读不懂，很多时候就是找不出隐性的关联件，甚至意识不到这一点。

del.

以一道三、四年级的数学题为例。

小明买了一个练习本，花了3元，又买了2支铅笔，每支1元，问一共花了多少钱？

课堂上常见的板书是：

步骤1：求出铅笔的开销

步骤2：求出总开销（练习本+铅笔）

可这并不是解题思路，这是求解步骤。我们是先有思路，后有步骤。而双路径是解决思路问题的利器。所以如果是我来板书，就会这么来写：

路径1：要求总开销，就得知道各个部分的开销（倒推）

路径2：根据练习本的单价和数量求出练习本的合计开销，同理求出铅笔的合计开销。（正推）

路径1和路径2在哪会师呢？练习本的合计开销，铅笔的合计开销。这两个量直接出现在题目中了吗？没有，所以它是隐性有形的关联件。

关键在于，我们是怎么发现这俩的踪迹的呢？我们有一个路径发挥了重要作用，那就是倒推。

显然，路径1是倒推，也就是由所求出发，逆向寻找还需要什么，路径2是正推，是根据所知来挖出隐性信息。

为什么我们会认为提出问题很重要呢？因为倒推，是有的放矢，而正推往往是天马行空。

可是正推真的要比倒推“低级”吗？这要看在什么范围内来讨论这件事。如果放在一个特别大的范围里，就会发现，正推这种充满了偶然性的过程，其实扮演了重要角色 。

说回数学。我要指出的是，求解步骤和解题思路不是一个东西，不能混为一谈。

老师要把自己的解题思路呈现出来，就应该写出来（其实我相信老师在讲这道题时，都是讲过思路的）。我在主贴中的的范例其实是不正确的，这是在默认已经知道了思路的背景下写出的求解步骤，而不是解题思路。

写和说，这两种不同的表述形式，给人的暗示是不一样的，前者更郑重。

所以，这里的一个关键就是：双（多）路径。正推强调读出隐性信息，倒推强调逆向思维。用这个方法来解决关联件问题。有了最基本的双路径，找出关联件就要容易多了。

自然，平时也需要主动积累读出隐性信息的经验，并建立一个这样的意识：“一个简单问题中的显性问题，到了一个复杂问题中就成了一个隐性关联件”。

最后说一句，这不是我发明的，祖上说：殊途同归。

抡开杀的话，让一般的业余5段六子也是砍瓜切菜。后者的水平无论放在哪里都可以称为业余高手的

按照胡煜清的说法：目前上海的行情是：顶尖的业余5段（基本是职业水平）能让比较面的业余5段（小孩子升段赛里打出来的）九子

不管那个业五有多面。除非那个业五不把职业当职业，也不把自己当面五。我觉得胡煜清这句话调侃的成份大些。

这个好好练练说不定是这个运动的下一个突破