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主题:【讨论】给大家出一道初中数学题 -- 迷途笨狼
这好像是90年代初奥数题(印象中要求的是小夹角),初中老师出过,他也解不出来,当时就没花心思
最近在临高吧又看到,累计花了十几个小时,终于算出来了(486),前面部分步骤——
1、40边长的正方形面积,减去半径为40的1/4个圆面积=阴影面积+1个大空角+2个小空角面积
344
半径为40的1/4个圆面积*2(两个)减去40边长的正方形面积=中间椭圆面积
912
2、大空角面积=正方形面积减去内切圆面积再处以4
86
1/2阴影面积+2个小空角面积
258
3、阴影面积=内切圆面积-椭圆面积+(两个大空角面积-4个小空角面积)
阴影面积=516-4个小空角面积
……
4、设阴影面积为X
小的空角(大空角两边的两个)为y
椭圆超出圆圈部分为2Z
根据1-3和图形得出——
X=516-4y
Z+2y=86
——
x+4y=516
z+2y=86
圆面积+2Z=椭圆面积+x
1256+2Z=912+X——
X-2Z=344
X+2y=正方形面积--3个大角-椭圆+Z——
x+2y=1600-3*86-912+z——
x+2y=430+z——
x+2y-z=430
5、解方程——
x+4y=516
z+2y=86
X-2Z=344
x+2y-z=430
……………………
前面这些总共花了1个多小时,后面的读者们不妨先自己想
不知道无色怎么设置,后面提示可以看我天涯博客(提示我设置的无色)
http://blog.tianya.cn/post-854872-129342994-1.shtml
哪个条件说明了那两段圆弧是1/4圆周。
例:以左下角為0點, 每一條線都可以寫成一條方程
把方程積分一下, 面積就出來了
之後想算那部份面積, 簡單加減法就可以了
算出答案只是花多長時間和有沒有意義的問題
擦掉对角线。
只考虑不可再分的最小封闭区域,令阴影面积为X,内接圆外四角的面积分别为 A(只有左下和右上两块是不可再分的),橄榄形的尖角面积为B,橄榄形中心面积为C,剩下四个对称小块区域面积分别为D。
已知正方形面积为S,令a=Pi/4。则有已知数的方程只有:
2X+2A+2B+C+4D = S,甲、组成正方形
2X+C = Sa,乙、组成内接圆
X+A+2B+C+2D = Sa,丙、组成四分之一圆,它的面积和圆相等
-A+B+2D = 0,丁、内接圆外左上角区域
只有四个线性无关方程,可以证明无解
你的算法所用到的方程:
S - Sa = X + A + 2D,即 甲 - 乙
2Sa - S = 2B + C,即 - 甲 + 丙×2
A = (S - Sa)/4,即 甲/4 - 乙/4 - 丁/2
然后你消去A,得
X + 2D = S(1-a)*3/4,即 甲×3/4 - 乙×3/4 + 丁/2
都是前面四个方程的线性组合
替换 x = 2X,y = D, z = C,
得到你的结果
x+4y = S(1-a)*3/2
2y+z = S(1-a)/4
化简后,三个未知数,对应两个线性无关方程
并不会改变无解的状态
你又搞了两个方程,还是这两个方程的线性组合,并没有新的信息
可以看到如果加上两个锯齿,保持“带锯齿的四分之一圆”面积不变,那么方程组的所有条件仍然满足,但阴影面积变了。
只有对四分之一圆弧的圆外部分求积分,而不是对整条四分之一圆弧求积分,才能得到阴影面积,前者不是初中生能求解的。
只能到这里了
内切圆面积加上2个大空角面积减去中间椭圆面积等于4个小空角面积。也就是左上角和右下角。
确实用初中方法,这里只是列了最初步骤
我做了16条辅助线才找到思路
tianya博客有提示