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主题:说一说公理体系 -- 天空不空

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家园 说一说公理体系

首先,这个是凭记忆写的,会有很多错误,这也是没办法的事情,严肃的写点东西,要消耗很多精力,作为一个中年人,真的没这个精力。

我以前说过,在我看来,西方文明能搞出公理体系这么一套玩意确实牛逼,那么这里就简单的讲一下我对公理体系的理解

以平面几何为例:

公理体系的知识分为以下几个层面的

1公理层面:这个层面的知识,无法定义,无法证明,天然正确,不言自明,比如点,直线,过相异两点,有且只有一条直线,这些知识在几何中是无法被定义和证明的,但又是显而易见,懂得这些不言自明的知识,在这些不言自明的知识上取得一致,是研究几何的前提,但如果不懂点和直线,或者没办法在这些知识上达成一致,就没办法研究几何

2定义层面:这个层面的知识,严谨,明确,属于就是属于,不属于就是不属于,没有任何模糊的区间,比如正弦,余弦,正切,余切

3命题:所谓的命题,是一种叙述,比如三角形两边之和等于第三边,两边之和大于第三边等,这些命题的特点是不管正确与否,都可以在1,2的基础之上,通过逻辑推理予以证真和证伪的

4定理层面:这个层面的知识的特点,是被证明正确的命题,比如勾股定理,直角边的平方和等于斜边的平方

5应用:应用4中的定理去解决生活中的实际困难,有的可能达到了预期目的,有的可能没有,达到目的是很正常的,没达到目的,就可以反推在上述的4个层面哪个层面出了问题,然后再去修改,所以这几个层面的知识也不是绝对的,也是会相互转变的,比如函数这个概念,当初莱布尼茨提出来的时候,就是作为公理层面的概念提出来的,认为函数无法定义,又不言自明,至于函数的明确定义,是后世的科学家给出来的,

所以我在人讨论问题,出现分歧的时候,往往会问一句,我们的分歧是什么层面的分歧,是定理层面的,还是定义层面的,还是公理层面的,当然,我也只是遇到值得交流的人才会顺着这个思路思考,并与对方交流下去。

通宝推:大眼,
家园 有一部分公理本身是模型定义

球面上两点之间可以有无数条非重合直线,不过那是非欧几何。

家园 定义是先于公理的存在

没有定义,叙述一个公理都不可能,可是就是定义是过去这套公理体系最大的漏洞。

比如什么是自然数, 什么是实数,什么是点,什么是直线,什么是面,什么是距离, 甚至什么是数,都牵涉到人类思考的最基础层面。

公理作为一般的直觉就能观察到的现象,反而不难建立,很多可以观察到的自然现象彼此可以互推,以哪个作为公理都可以。确立公理我认为反而不难,由公理推导,引申出新的知识点,也是非常正常的人类现象, 百万年以来智慧生物就是如此不断进步的。

其实西方发轫于2000多年前的公理体系萌芽,就是把不知道,说不清的不去说,放在那里,假装是共识,就讲能够讲得清楚的地方,和中国人的务实是相似的道理, 中国就研究各种数学技巧,能够解决实际问题。

2000多年前,中国人面对讲不清楚的地方,寻求避开困难,走整体路线,把被观察对象看成黑匣子,从刺激-响应角度寻求利用观察对象的路子。在2000多年前这是一个非常取巧的方法,立即就能用起来,有效果。

但西方从机械唯物论出发,初期应用非常困难,但必然带出公理体系的萌芽,最后建立公理体系,这前后花了2000年时间,绝对不是2000多年前就建立好了,后面1000多年没有寸进, 完全不符合科学在加速前进的逻辑。

通宝推:普鲁托,海上金流彩云乱,
家园 del

del

家园 哪怕几何原本是后人托古的产物

在我看来也很牛了,毕竟其他文明连这种托古的产物都没有

家园 自然数是被帕累托公理体系定义出来的 -- 有补充

自然数是被帕累托公理体系定义出来的,后来冯诺依曼又定义了一次

作者 对本帖的 补充(1)
家园 记错了,是皮亚诺,不是帕累托 -- 补充帖
家园 讨论问题

跟公理体系似乎不是很扯得上,逻辑我觉得更靠近点。

评价一幅画,或者一首诗,跟公理就很难扯上。所以西方有艺术和科学的分类,我觉得把某一领域的思考方法生搬硬套到另一个领域,不必然成功。

关于公理体系的讨论非常有趣,希望能涨涨见识,这里我打了个岔,请继续。

见前补充 4547570
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