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主题:【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 -- 孟词宗

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家园 这里概率是主观性的啊

但不代表主观性的概率都是对的啊。还是要看假设是否合理,推理是否正确。

这个例子里确实少了一句问谁的理解是正确的。但既然题目里已经提到是“三门问题”的等价命题,结果也是不言而喻的。

最后,重要的一点是,最新的改版后,终于能修改贴子了。感谢铁手老大!

家园 对此表示困惑。我认为胜率应该是一样的。

前面看了在【讨论】趣味数学题里的一些讨论,感觉还是比较困惑。

对于这些1/2, 1/3, 2/3 可能性的分析,我觉得应该需要厘清两个细节。

1、对于个体来说,理论上它应该是独立的,“是” 或 “否” 的可能性,从理论上来说,应该是1/2。

2、从统计的角度来说,每个个体是所有统计数据的一部分,是最后验证理论分析的一个组成。那么,在这个时候,每个个体似乎突然之间就不再是各自独立,而是相互有关联了。

1和2之间,因为这个是否各自独立的情况有所不同,导致最后推断有所不同。比如,投10000次硬币,每一次正反的概率是1/2,10000次统计下来,正反也接近1/2。但是如果投了8000次,正面为5000次,这个时候剩下的2000次就出现了问题。如果每次是独立事件,那么结果应该是1000/1000。但如果考虑这2000次归属于10000次的统计结果,它就应该是0/2000。

看上去都有道理啊,但结果不一样,这个时候,我认为还是以个体独立概率占更大比重一些。

家园 这里没有主观性什么事

这个其实体现了概率的主观性,对主持人来说,每个门的概率都是确定的0或1,玩家的选择对他/她来说也没有影响。

其实这里体现的是老玩家“换门”不等价于新玩家“选门”。这里用直观的图解比较容易解释:

点看全图

这里假设 A、B、C 三扇门中,C 代表被打开的有羊的门。老玩家选择了 A 门,A 的胜率是 1/3。所以如果换到 B,胜率上升为 2/3 (这个图只是近似表达)。而新玩家可以选 A 或 B。所以从上面的分布可以很容易看出,新玩家的选择并不等同于老玩家的选择。所以新玩家的胜率是1/2。

上面的图只是示意图,并不严谨。如果用数学来表示,则证明如下:

1. 不论是老玩家还是新玩家,他们都是在两扇门中二选一。

2. 老玩家由于预先选定了一扇门,不是随机再在两扇门中重选,所以其预先选定的这扇门的胜率为1/3。换门则为2/3。即两扇门本身的胜率不是平均的。

3. 对于新玩家来说,随机选择两扇门的概率是各50%。所以新玩家的胜率是 各门胜率乘以选择概率之和,即1/3x1/2+2/3x1/2 = 1/6+2/6 = 3/6 = 1/2。

所以新玩家的胜率是1/2。同样的,如果主持人不是要求老玩家只能换门或不换门,而是让他闭着眼睛在两扇门中随机挑一扇,则其胜率也是1/2。

通宝推:任爱杰,
家园 一个集合中的几率分布并不是天然平均的

你举的例子

比如,投10000次硬币,每一次正反的概率是1/2,10000次统计下来,正反也接近1/2。但是如果投了8000次,正面为5000次,这个时候剩下的2000次就出现了问题。如果每次是独立事件,那么结果应该是1000/1000。但如果考虑这2000次归属于10000次的统计结果,它就应该是0/2000。

这里,如果投了8000次,正面为5000次,则有两种可能:

1. 硬币因受到某种影响(比如质量不均匀、有多余的外力作用,等等)几率不再是平均分布。

2. 你碰到了局部几率分布不匀。也就是说正面朝上的几率集中在头8000次里。这种情况在投掷次数少的时候很容易出现。例如只投掷10次,10次都可能朝上。也就是说,10000次投掷次数还不够多。

为什么新玩家的胜率和老玩家不同,可看楼下的解释:

这里没有主观性什么事

家园 我来试着解释一下

前面另一个问题陈王网友的一句话评论特别好。概率问题一定要分清未知和已知。

先说第一个人,这里的反直觉之处在于,当主持人打开一扇山羊门时,并没有把这个门真正排除。换句话说,打开那扇门没有改变第一次选择的门,其概率仍是三分之一。我们不妨这么想,当参赛者选完一扇门后,他闭上了眼睛。主持人说,我看到另两扇中一扇后面是羊,我把它打开了。参赛者心说,废话,另两扇中有一扇后面肯定是羊啊。这时对参赛者的选择,其实仍然是已选的一扇门 vs 剩下的两扇门。那么当然要选奖品在剩下的两扇门后,因为概率是三分之二啊。当他闭着眼说,我选剩下的两扇之后,主持人说恭喜你,我用上帝视角再帮你排除一扇。于是参赛者改变选择,是从原来的三分之一可能跳到另一边的三分之二可能。

再说第二个人,当他参加的时候,已打开的门是真的已经排除了,余下两个门没有任何预设条件,可以完全互换,所以必然是二分之一可能。只要他知道首先是三选一,那么他就和第一个参赛者知道的信息一样多,概率也一样了。

有意思。

通宝推:任爱杰,
家园 稍微修正一下

只要他知道首先是三选一,那么他就和第一个参赛者知道的信息一样多,概率也一样了。

光知道三选一不够,还要知道原来的参赛者选了哪扇门,这时候信息才一样多。

通宝推:陈王奋起,
家园 A算错了

https://www.zhihu.com/question/46786707

同理,C也算错了,他们都白高兴一场

家园 其实就是简单的贝叶斯分析

上一个问题我没参与,这是大二的概率论与数理统计的内容啊。

这个问题的实质就是 A, B, C代表三个门后真实的物品,1代表大奖,0代表山羊,所以只有三种排列100, 010, 001,

P(A=1|选A,B打开)=P(A=1, 选A,B打开)/P(选A, B打开)

其中分母用全概率公式计算

P(选A,B打开)=P(A=1)*P(选A,B打开|A=1)+

P(B=1)*P(选A,B打开|B=1)+

P(C=1)*P(选A, B打开|C=1)

其中P(选A,B打开|A=1)=P(A=1, 选A,B打开)/P(A=1)

=1/2, 主持人打开B,C都可以

P(选A,B打开|B=1)=0,

P(选A, B打开|C=1)=1,支持人只能打开B,因为C后面是车

所以P(A=1|选A,B打开)=1/3*1/2/(1/3*1/2+1/3*1)=1/3

第二种情况新玩家的条件概率和老玩家有一点区别

P(A=1|选A,B=0)=P(A=1, 选A,B=0)/P(选A, B=0)

其中分母P(选A, B=0)=P(选A,B=0|A=1)*P(A=1)+

P(选A,B=0|B=1)*P(B=1)+

P(选A,B=0|C=1)*P(C=1)

P(选A,B=0|A=1)=1/3

P(选A,B=0|B=1)=0

P(选A,B=0|C=1)=1/3

最后分母P(选A, B=0)=(1/3)*(1/3)+(1/3)*(1/3)=2/9

分子P(A=1, 选A,B=0)=P(选A)*P(A=1,B=0)=1/3*1/3=1/9,注意由于新玩家完全没有看到和听到全过程,所以他选择哪一个和ABC门后的真实分布是独立事件

最后P(A=1|选A,B=0)=(1/9)/(2/9)=1/2

通宝推:陈王奋起,孟词宗,
家园 专业玩家冒泡了!

注意由于新玩家完全没有看到和听到全过程,所以他选择哪一个和ABC门后的真实分布是独立事件

这个应该是最关键的一点了。

家园 这个门后问题和男孩女孩问题都不算复杂吧

搞的那么多高学历的在这莫衷于是,好像“怎么到处都是正确答案”

逻辑这玩意真是水太深了,在论坛讨论辩论只要走上这路,基本没法分胜负了。

有无求知欲大概是人区别于动物的很重要的一点吧。

家园 借这个贴向铁手提个建议

能不能搞几套逻辑或者数学题,在河里搞个在线考试,发帖数量跟分数挂钩,分数高的,每天发帖的数量可以多一些,否则就少一点。不参加考试的一样可以发帖,但数量更少。

这样大概可以提高帖子的质量吧。

家园 这种帖子是最好玩的了

不但可以分个对错,还可以不伤感情,哪像时政帖子,来回几次就要翻脸了。

家园 也凑个热闹换个思路解释一下

楼下有大牛用数学方法解释,我换个思路来解释。

概率是在不知情的情况来分析各个选择的可能性的,增加的信息会改变概率,没有实质增加的信息是不会改变概率的。

第一次选择时,中奖的概率是三分之一,那么意味着选其他两个门(捆绑一起)的中奖概率是三分之二。

排除一个空门这个动作本身对捆绑的两个门的意义是不大的,因为两个门必然有一个是空门,那么排除一个空门对于概率没有改变。

造成这一结果的原因是主持人的上帝视角,实质上限制了主持人的开门权,主持人并非随意开门的,所以主持人的做法只是告诉选择人另外两扇门有一扇是空门(因为他不敢去开那扇中奖门)。

家园 你还没解释主持人啊

不同的人对同一个门的概率认知不同,这不是主观是什么?

还有你的第三条完全没意义1/3x1/2+2/3x1/2 =(1/3+2/3)x1/2=1/2。两个门概率加在一起必然等于1,1/3+2/3或者1/2+1/2或者1/10+9/10都一样,真正起作用的有且只有后面那个1/2,也就是新玩家的主观概率。

还有如果“两扇门本身的胜率不是平均的”,那么“闭着眼睛在两扇门中随机挑一扇,则其胜率也是1/2”是矛盾的:如果概率是属于门本身的,那么闭着眼睛选也不会让其发生变化成为1/2;如果其胜率成了1/2,那也是因为闭着眼睛无法分辨两个门,所以才成了1/2,这又是主观性在起作用。

家园 算一下P(C|W)就知道了

按照你给的链接中的方法,P(C|W)还是比较好算的。

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