主题：【原创】说说乘法和除法 -- 荷子

戴德金分割

　　假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

　　对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:

　　A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。

　　第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。

　　前面2种情况中，分割是有理数。

　　这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。