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主题：【原创】数学，实在与其他学科 上 -- 大雪满天
家园 【原创】数学，实在与其他学科 上 一
其实，这天，这人-A-不应该出现在这地方。
这是社会学教授的地盘。
这教授每次上完课还喜欢再作十五分钟的题外发挥。
往常，A只是默默在角落里忍受十五分钟---他不学社会学，但他有个哥们学这个，他每次在别处上完课，都得赶到这里，忍受十五分钟，等哥们解放后一起去吃午饭。
这天，A终于忍不住了--他来的时候，正赶上教授把数学家划入神秘主义者之列。
有学生问为什么，教授说：他们相信一些根本不存在的数。
A激动了(就跟我一样，容易激动)：什么数？
教授答：i,负1的平方根，这是根本不存在的，数学家自己也叫它虚数，但他们又相信虚数以某种神秘的方式存在着。
A怒了：虚数根本没有任何神秘的，同其他任何数一样现实。
教授一见活靶子，立时大喜，脱手就是例不虚发的小李飞刀：
啊哈，我们这里有一位年青的数学家，想要证明虚数的现实性。
很好，请给我拿出i支粉笔来。
A说：我做得到的，如果你能先拿出半支粉笔来。
教授微笑了一下，(估计心里已经有点不详的预感了)：
很好，
然后他把手里的粉笔掰成了两半，递了一半过去。
A接过那一半说：你还没有做到，这是一支粉笔，不是半支。
A举起手里的粉笔，面向观众：
你们说，这是不是一支粉笔--很明显，它不是两支，三支粉笔。
教授笑不出来了，他还想从量的角度分辩，A继续说：
你怎么知道它是一半，而不是0.48或0.52呢？
如果你连一半的意义都不清楚，又怎么能认为你有资格谈论负1的平方根呢？
于是，教授丧失了一切尽在掌握的泰然，嚷道：
把这个混蛋撵出去。
A大笑着走出了教室。
上面讲的，是一个真实的故事。
(关于这个故事的内涵，我们回头还要讨论。)
二
出现在公众文化视野中的J，只是一段风花雪月传奇的点缀，
是一个才女绝代风华的最佳见证。
当然，J在那段传奇中的身影，从任何角度看，都是完美人格的体现。
因传奇而进入公众视野，并不辱没了J的身份。
然而，J有比传奇中配角更重要的身份---他是个哲学家，是上个世纪可以当之无愧称为
哲学家的少有的几个中国人中的一个。
不用说远了，下面这段话就可以看出他的水平：
好久以前，我对于算学家十分景仰，他们可以坐在书房里写公式，不必求呵于自然界，而自然
界却毫无反抗地自动接受算学公式。这在我似乎表示自然界有算学公式那样的秩序。后来研究
逻辑，自己有感觉到逻辑也有那闭门造车出门合辙底情形。近来经奥人维特根斯坦与英人袁梦
西底分析才知道逻辑命题都是穷尽可能的必然命题。这样的命题对于一件一件的事实毫无表示
，而对于所有的可能都分别承认之。对于事实无表示，所以它不能假，对于所有的可能都分别
地承认之，所以它必真。
[SIZE=3]要理解数学，实在和其他学科的关系，没有比这段话更简明扼要的了。[/SIZE]
三
虚数是实在的，同实数一样实在。
但这只是数学的实在。
数学提供实在，提供可以与客观实在构成对应的数学的实在(也提供暂时还不与任何客观实在构成对应的数学的实在。)，
但并不提供两种实在的具体对应方式。
寻求这种对应方式，是物理学，经济学等其他学科的任务。
人们认为虚数神秘，不实在--比实数更不实在，只是一种错觉。
这种错觉产生的根源在于---寻求并确定对应方式的能力的局限性。
1，2，3....这些自然数，和存在序关系第1，第2，第3...的客观实在，如个子高矮，成绩好坏，贡献大小等等之间的对应方式，
是普通人都掌握的。
(其实这也是习得的，小孩子数数的能力并不是天生的。)
0.5, 0.3, 0.22 .... 这些小数，与可以与之构成对应关系的客观实在，如长度，面积，产量
之间的对应方式，也是大家在社会生活中熟悉的。
而 i, 3i, 7+5i .... 可以与什么客观实在构成对应关系，如何确定对应方式，不是每个人都了解的。
数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数
字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他
们就无法做到这一点了。
我们还可以介绍一个有趣的例子，
从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸。上面指出了一项宝藏：乘船至某处，即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树。还有一座绞架。从绞架走到橡树，记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数。到了松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也钉个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。年轻人找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但绞架由于风吹日晒雨淋已糟烂成土。年轻人只好失望而归。这是一个令人伤心的故事。但更加令人伤心的是，如果这个小伙子懂点关于虚数的数学，宝藏本来是跑不了的：
把这个岛看成一个复数平面。过两棵树干画一轴线，过两树中点与实轴垂直作虚轴，并以两树距离的一半作长度单位。这样，橡树位于实轴上的-1点上，松树则在＋1点上。我们不知绞架在何处，用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架）表示其假设的位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，Γ应该是个复数：Γ=a＋bi，既然绞架在Γ，橡树在-1,两者的距离和方位变为-1-Γ。同理，绞架与松树相距1-Γ。将这两端距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按复数定义把两个距离分别乘以-i和i。这样便可得出两根桩的位置为：第一根，（-i）[-(1+Γ)]+1=i(Γ+1)+1,
第二根，(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1
宝藏在两根桩的正中，因此，可以求出上述复数之和的一半，即：
1/2[i(Γ+1)+I(1-Γ)-1=1/2[iΓ+i+1+i-iΓ-1]=1/2(2i)=i
奇妙的事发生了，Γ表示的未知绞架的位置已在运算过程中消失了，不管绞架在何处，宝藏都在＋i这个点上。这个失望的小伙子本来只要在图中打×处动一动铁锹，就可以发财了。当然，动铁锹前要先动脑子。
如果小伙子懂复数，如果他能确定藏宝地点这一客观实在与虚数这一数学的实在之间的关系，他就不会空手而归了。
说某种数学实在神秘，虚幻，不实在，往往只是论者拙于把握数学实在与客观实在之间对应关系的表现。社会学教授就是这样，他只懂得简单浅显的数学与客观对应的方式，就只把他找得到对应的数学实在称为实在，而其他数学实在统统称为不实在。
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家园 一点感想 那个粉笔的例子倒让我想起了那个分析里无所不在的ε，ε除以2还是等于ε，或者说是非标准分析里的那个超实数单位更恰当一些。
至于复数的意义，我的数学知识接触的还很少……不过最起码我想，在线性代数里，且不说即使是实矩阵的很多变换都要用到虚数，即使单纯从“数学的美感”上来说，在引入酉空间概念之后，线性代数理论才达到了某种完善，单单只是欧氏空间的话，总让人觉得有所欠缺，不如酉空间那么漂亮……
家园 文章中的A是艾萨克·阿西莫夫 他的系列科普文章在80年代引进中国，关于数学的部分名为《数的趣谈》，那里完整地记述了这个故事。当然，在与教授交谈时的阿西莫夫并没有真正了解虚数的本质，所以只有采用狡辩。但后来，阿西莫夫自己在文章里写：“现在已经20年过去了，我觉得应该结束那场争论了……”
他具体怎么解释虚数，比较长，我就不录入了，但给出他的一个比喻：
给所谓的“虚数”赋予真正的现实和具体的意义，这是世界上最简单不过的事。只要想象一条水平的直线与一条垂直的直线相交，把交点称为零点，现在就有了四条从零点出发的射线，共同构成一个直角，就可以把这些直线与四种数字等价起来。向右的那条直线可以标注为正实数，向左的可以标注为负实数，这样水平线就是实数轴。同理，垂直线就可以作为虚数轴。
……
复数的实际意义何在呢？许多熟悉的度量都涉及到标量，它们只有大小之分，那就只需要正或负的实数就够了。
但是还存在着既有大小又有方向的矢量，比如速度、力、加速度等，那在数学处理中就必须用到复数了。
所以“拿出－1平方根支粉笔”是不可能的，因为那只是标量，只需要使用实数就行。
但是比如说如何从课堂走到校园某处，光用标量说“走200码”肯定不行，得说“向东北走200码”，用数学表示即为“走100√2￣＋100√2￣ i 码”，与日常说法是等同的。
我能理解大雪满天兄写此文的意思，想来写那篇科普文章时的阿西莫夫也早就理解了。
家园 很感兴趣那个社会学教授当时讲的是什么课？ 一般而言，社会学里有统计学的深层需求，很多搞社会学的数学水平也极高，所以一般不会对数学家刻薄。
看情景，最有可能的是在讲现象学系列（也可能是实证主义、语言学、后现代理论流派等），如果是，那么阿西莫夫明显自己失败了，只是他当时以及20年后都不知道他失败在哪，还以为自己胜利了。教授无语，应该是面对“自然科学”热血粉丝无法理性辩论的无语。
根据这系列流派的观点和研究，科学/神学/宗教等是人类现有的特有思维方式、认识方式、语言方式、逻辑方式综合运用产生的结晶。但“科学”，也仅仅是人对世界认识的2.0版（1.0是宗教），未来可能还有3.0版、4.0版……
至于认识论方面，通过对人类本身思维方式、语言构成、逻辑思维等进行解构，很有希望重构出另外一套系统，就像当年构建出一套“辩证法”大幅度提高了人类认识水平一样，或许可以更接近真相。
这就有点像实验室检验一样东西一样，只用一两套方法检验可能认识有限，但通过多个侧面，多种测试方式，才能更加接近真相。
而这系列的学派，就是试图给人类增加一套新的检验方法。
在认识论方面，他们和自然科学家一样，是群“疯子”，呵呵。
家园 复数的含义要比矢量深刻的多 从代数基本定理到复变函数，与矢量关联不大。
二维矢量与复数有对应关系，而三维矢量或者多维矢量就缺少很多特性了。
家园 这个是什么原理？ 当然，在与教授交谈时的阿西莫夫并没有真正了解虚数的本质我觉得是杀鸡焉用牛刀。真说了那草包教授也听不懂。
家园 又来一个疯子 我把所有哲学都叫做疯子，逻辑是数学。哲学家能够把人为什么存在说清楚就不错了，呵呵，砖头无数，我闪。