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主题：在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 -- 大明湖
家园 在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 请教请教
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 昨天算了一下子,1/4 先简单估算一下子.画一个圆,上面任选两个点,然后从这两个点作直径.假设这两个点圆心角为A,很显然只有第三个点落在对面的那段弦上时这个三角形才能是锐角三角形.就是说给定两点选第三点,三角形为锐角三角形的概率为A/2PI.圆心角最大不过PI,意味着锐角三角形概率一定小于1/2.再考虑圆心角A的概率,最后锐角三角形概率为1/4
家园 【贴图】图解正确解法 看到大家对此题如此感兴趣，这里将两个我认为比较严谨的技法用图解的方式，给以说明。此题解法不为一，大家继续。
1。这个是CatOH提出的积分求解法。
http://www.talkcc.com/uploadfile/0,0508/795_05112105.png
2。这个是不爱吱声提出的解析几何求解法
http://www.talkcc.com/uploadfile/0,0508/795_05113657.png
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 答案：1/2,推导见楼下 家园 1/4.固定一个点，另外两点用角度变量表示. 在区域[0，2pi]间均匀分布，三个角中任一个是钝角的概率都是1/4。1-3/4=1/4，得证。画个图就清楚了。
家园 呵呵，重在参与 看各位讨论的热闹，俺也来参合一把。俺从最基本的开始，不涉及那么多的高深理论――其实是俺不懂，嘿嘿
首先明确两个基本命题：
（一）、在已知圆上任取一点的概率是100%
（二）、在已知圆圆上取一定点的概率是0
一个已知圆上遍布无数点，无论何种情况下都可以取得任意一点，就像一个六面都只有一个红点的色子，抛出去得到红点的概率是100%，所以（一）成立；当这个色子不是只有六个面，而是一个含有无数面的多面体时，想要得到一个指定面上的红点概率自然为零，也就是在圆上取得一个定点的概率为0（在圆周上无数的点中找到一个指定的定点是不可能完成的任务）。
上面两个命题如果成立，下面的问题就好解决了，如果不成立，那么下面的讨论自然也不成立 ：（
1、设三角形的三个点为ABC，任取一点A，概率100%。过A点的直径另一端点是a，a点唯一
2、在圆上取另一点B，点B和点A（或a）重合的概率为0――见前提（二），则第二点B的取得概率也是100%。过点B的直径另一端点是b，b点唯一
3、构成锐角三角形ABC的充分必要条件是点C必须落在短弧ab上，落在长弧ab上则构成了钝角三角形（C点与A、B、a、b点重合或ABC三点重合的概率为零，不予考虑）。
4、则锐角三角形的概率即为弧ab/周长，若设弧AB的圆心角为α，则概率则为α/2π。
5、α的取值范围是（0，π)利用积分，可以最后求出概率。
6、反之可以求出钝角三角形的概率，不过α的取值范围是（π，2π）
7、最后可以推出一个关于直角三角形的结论：已知圆上任取三点成为直角三角形的概率为零，因为第二点B的取得概率（点B与点a重合）为零。
大家别逼着我要结论，嘿嘿……我的微积分都还给老师了，我只是给出一点提示，直观上看，锐角三角形的概率要小于钝角三角形的概率，但是两者之和一定为1。（答案是π/4？）
- 复 呵呵，重在参与
家园 【原创】受您的启发，我的答案是：1/2+π/8 是通过计算圆弧长与圆周长的比得出的，圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形，长弧段长为：π+2*alpha。那么概率为（π+2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2+π/8。
我的数学学得不好，各位见笑了。
家园 答案应该为1/4 你的解答中：
圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形
但是C点位于长弧段时，不一定为锐角三角形
- 复 答案应该为1/4
家园 【欣赏】谢指正，考虑不周，再算过。结果是：1/2-π/8 【原创】受您的启发，我的答案是：1/2+π/8
是通过计算圆弧长与圆周长的比得出的，圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形，长弧段长为：π+2*alpha。那么概率为（π+2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2+π/8。
我的数学学得不好，各位见笑了。
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设A，B两点的圆周对称点为A'，B'，那么C点位于AB'及A'B之间的短弧段时为钝角三角形，B'A'之间的短弧段长度为：π-2*alpha。那么概率为（π-2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2-π/8。
C点位于绿色圆周时是锐角三角形。
家园 你再重新算一遍积分， 你的算法对了，根据你的算法，结果正好是1/4。
家园 谢谢，再算过，结果为：π/4，您那个1/π的系数是怎么来的呢？ 【原创】受您的启发，我的答案是：1/2+π/8
是通过计算圆弧长与圆周长的比得出的，圆周长=2π；alpha为A，B两点间的的弦与经过A点的直径（过圆心的弦，不知该怎么称呼）之间的夹角；那么C点位于长弧段时，为锐角三角形，长弧段长为：π+2*alpha。那么概率为（π+2*alpha）/2π。以alpha在0到π/2中作积分，得出结果1/2+π/8。
我的数学学得不好，各位见笑了。
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设A，B两点的圆周对称点为A'，B'，那么C点位于AB'及A'B之间的短弧段时为钝角三角形，B'A'之间的短弧段长度为：π-2*alpha。那么概率为（π-2*alpha）/2π。以alpha在-π/2到π/2中作积分，得出结果π/4。
C点位于绿色圆周时是锐角三角形。
黄色部分面积为积分结果：π/4。
但这个结果明显是错的，因为图上就可看出不应该大于1/2
请不老哥为我改错。谢谢。
家园 你算的是C点位于绿色区域的概率 你忘了你的alpha是可以在[-π/2，π/2]之间取任意值得，也就是说选取B点的概率是1/π，选取符合锐角三角形条件B和C点得概率应该为分别概率之积，这样π/4*1/π=1/4
