主题：【求教数学问题】如何判别这个函数在原点附近的性质？ -- 晨枫
家园 【求教数学问题】如何判别这个函数在原点附近的性质？ 这是女儿的微积分题，高三水平。这还是第一次被难道，汗颜中
已知dy/dx=(6*x^2+2*x-5*x^4)/(4*y^3-6*y^2+2*y)
1、根据dy/dx，可以看出函数在原点附近是怎样的（原文是behaviorof the curve at the origin）？
2、嘉定在原点的斜率既非零也非无穷大，如何用极限求出函数在原点的斜率？考虑从四个象限接近原点。
3、描述函数在中心区域的大体形状
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初步设想：
把x和y从分子分母提出来，那剩下的分子就是6*x+2-5*^3，分母就是4*y^2-6*y+2
假设分子的根为x1、x2、x3，分母的根为y1、y2，那函数在y=y1或y2的水平线上但x不等于x1、x2、x3的所有点上，函数的斜率为无穷大；同理，函数在x=x1或x2或x3的垂直向上弹y不等于y1或y2的所有点上，函数的斜率为零。然后呢？
家园 俺觉得这道题有一个漏洞（再接着说） 到了lim{x->0,y->0}(dy/dx)=x/y， 俺突然想起，这个公式不严谨，应该写为
lim{x->0,y->0}(dy/dx)=lim{x->0,y->0}（x/y），
各位看官，仔细瞅瞅右边这项是个什么东西？
这它娘的就是斜率的倒数， 而左式就是斜率，
所以俺可以堂而皇之滴推出：
k=1/k ==> k^2=1 ==> k=+-1
是不是太简单了？ 俺还没从四个象限逼近呢。
家园 你的argument有个漏洞 lim{x->0,y->0}（y/x)和lim{x->0,y->0}(dy/dx)不是一样的,或者说不一定是一样的。前者的确是一个商的极限，但是后者是一个函数（y(x)的导函数）的极限。尽管记号上的方便的确暗示了适当的思路，但是直接从形式记号来论证是不严格的。
家园 同意， 这是一个疏漏，qiaozi的意见是：
假定 f(y,x)= dy/dx,
lim{x->0,y->0}(dy/dx) = lim{x->0,y->0}(f(y,x))
上式是否就严格等于f(0,0)=k|（0，0）， 即在(0,0)的斜率？
可以清楚地看出，上述问题等同于f(y,x)是否在(0,0)连续？
嗯，证明这个问题好像比原题还要棘手，现在俺觉得可以将问题简化为：
已知 dy/dx=x/y, 不用积分证明dy/dx在原点连续。
x/y 在x=0&&y=0的时候没有定义，容俺想想。
河里有没有学数学分析的，俺十多年前学的是物理类数学，作这种分析俺不专业。
- 复 同意，
家园 你提的问题应该这么问 已知 dy/dx=x/y, 不用积分证明dy/dx在原点连续假设y=y(x)在x=0的附近连续,在x<>0的时候可微，且y(0)=0。又设x<>0的时候 dy/dx=x/y。求证：y=y(x)在x=0处依然可微，且y'(x)在x=0处连续。
嗯，还是用英语顺一些。
Let $y=y(x)$ be a continuous funciton defined in a neighborhood of $x=0$, differentiable when $x\neq 0$. Assume that $y(0)=0$, and that
\[
dy/dx = x/y \qquad (x\neq 0).
\]
Show that $y=y(x)$ is also differentiable at $x=0$, and that $y'(x)$ is continuous at $x=0$.
嗯，一时想不出来怎么做，也不知道有没有反例。学数学分析的兄弟们当个习题吧，在美国学微积分的恐怕就算了，这里的难度我还是很清楚的
家园 试着自己证一下 1.题目的条件不能保证在原点的导数的存在性。作为反例，取y=|x|。
2.今假设在原点的导数的存在性，则其连续性可以证明如下。为方便起见，我们取简化的微分方程dy/dx=x/y，原来的形式类似地由更加精细的分析可证。事实上，我们可以证明y^2=x^2。依对称性，只需考虑x>0的情形。
我们不妨设y(x_0)>0对于某个x_0>0成立。若y(x)=x对任意x>0成立，则命题已证。若y(x)不恒等于x,因为y(0)=0，所以存在某个x_1>0使得
1. y(x_1)>x_1 （或者对称的y(x_1)<x_1);
2. y(x)>=x (0<x<x_1).
由中值定理(The Mean Value Theorem)，存在一个点x_2\in(0,x_1)满足
\[
y'(x_2)=(y(x_1)-y(0))/(x_1-0)=y(x_1)/x_1>1.
\]
但是另一方面
\[
y'(x_2)=x_2/y(x_2)<=1.
\]
此为矛盾。因此只要y(x)在一个x>0处为正，则必取y(x)=x。
不错，夸奖自己一下，该睡觉了！
家园 嗯，这个做法很巧妙，又简单，好！
家园 俺觉得这道题有一个漏洞（接着说） 假使现在取C=0， 我们可以使原点在这个函数上，那么该函数在原点附近的表现也不能简单地说就是lim{x->0,y->0}(dy/dx)=+-1，考虑到晨枫提到女儿没有学到积分的概念，那么我们只能用极限的概念来推导，
lim{x->0,y->0}(dy/dx)=lim{x->0,y->0}((6*x^2+2*x-5*x^4)/(4*y^3-6*y^2+2*y))
略去高阶小量只能得到，
lim{x->0,y->0}(dy/dx)=x/y
此时其斜率表现就取决于你从哪逼近原点了，如果你从y=kx（k是个常数）逼近， 那么上式就是k, 还不能轻易就得出+-1的结果。当然我们并不能随意选取逼近的路径，毕竟x,y是有函数约束的，但问题是如何用极限和初等数学的方法找到x和y一阶关联，
我现在能想到的是用
dy/dx=x/y ===> ydy=xdx 积分 ==>y^2=x^2 ==>y=+-x
可是还是要用到积分的概念，
苦啊！
家园 in the question 2、嘉定在原点的斜率既非零也非无穷大，implied the function go through the origin. So C must be zero.
家园 俺觉得这道题有一个漏洞， 恰如量子兄所说，该方程的首次积分为：
y^2*(y-1)^2 + x^2*(x+1)*(x^2-x-1) = C
注意等号右边的C可以是任意常数， 也就是说原题描述的不是一个方程，而是一组方程，如果取C为一个非零常数，那么原点（0，0）根本就不在曲线上，那么原题的要求就根本无从谈起。
家园 非常感谢各位大力相助！逐个送花