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主题：海盗分金问题的答案 -- 暗香疏影月黄昏
大二的时候我曾经参加数学竞赛。
前面做得都很好，最后一道题是最没把握的题：著名的海盗分金。
题目如下：
五个海盗（1,2,3,4,5）分100金子，开始海盗[1]提出一个分金方案，五个人对其投票，过半则通过，不过半则海盗[1]被杀，海盗[2]提出方案，四人投票。。。依此类推。
这个题目很著名，但当时我没听说过，所以就一个一个分析。
我相信人都是怕死的，亡命之徒通常还是想活命的，没有在与海军的对决中战死，反倒在分金的时候被扔下海，任何海盗都会感到郁闷的。
所以我得到假设1：海盗都是怕死的。
当然海盗也想要钱，于是得到假设2：海盗都想要更多金子。
以假设1为约束条件，假设2为优化目标，建立分金模型。
假设1意味着海盗希望自己的分金计划通过，意味着要将利益让给其他人，得到他们的支持。
海盗将用部分金子买去剩下人的同意，从而防止被扔下海。
这一部分金子就是海盗的买命钱，这买命钱的大小意味着海盗对自己生命估价。
假设2意味着自己要更多的金子，意味着将利益集中到自己身上。
海盗[k]在进行分金的时候，还有6-k个海盗（k>=1&&k<=5）
海盗[k]对第i个海盗的分金数为，Gold[i]。（i>=k&&i<=5）
海盗[k]得到的同意值sum（Agree[i]）（i>=k&&i<=5）
海盗[k]的怕死值为Value[k]//单位为1金，即海盗对自己生命的估价，100-Value[k]为海盗[k]期待的最小值
海盗[k]的贪婪值为Want[k]//即海盗希望得到的钱
海盗[k]的实得值为Gold[k]
MAX Gold[k]
约束条件：
100 - Gold[k] <= Value[k]//分给其他人的钱要小于等于海盗对自己生命的估价，即当分给他人的值达到一定程度，则海盗将要金不要命。
Want[k] = 100//海盗都希望利益最大化
Agree[i] = (Gold[i] > (100 - Value[i])) ? 1 : 0
确定Value[i]就是个巨大的问题，如果极端情况下，定为100。
按照我刚刚列的那个非常不完善的公式，则任何一种分法都可能通过。人为自己活命不惜一起代价，这就造成了海盗[1]将大义凛然的将所有的钱分给后面的人，而海盗1一死，海盗2将被推上生死分金线，所以作为海盗2，他也很希望海盗1的分金计划通过，同理海盗3也希望海盗1或者海盗2的分金计划能通过。海盗4也希望自己活着，唯一的异类就是绝对死不了的海盗5，但也只是少数派。于是就较为容易过半，Value[i]=100的结果是，任何人可以为了活命接受任何分金方案。他们可以花所有的钱买自己的命。
还有一个问题，即使海盗[1]将所有金子分给其他人，如果分的不合理，后面的人也不一定通过这个计划。
人越少，则分到的金子可能会更多。
那就使用重点照顾，海盗[2]跟海盗[1]生命攸关，如果海盗[1]死则海盗[2]将面对生死，所以海盗[2]可以争取的，而海盗[3]和海盗[4]可以任选一个重点照顾。
即最终的分金计划是：
0，50，50，0，0
或者
0，50，0，50，0
模型扩展：
但这是建立在Value[i]相等的情况下，然而事实是Value[i]是不同的。
越靠后的人，Value[i]越小，而且海盗[5]是绝对死不了的，所以Value[5] = 0。
海盗[1]死亡可能最大，所以Value[1] 最大。具体值很复杂，只能定性的说。
而且分金的过程中Value[i]是会改变。具体改变机制很复杂。
定性的说，当海盗[1]被扔下海的时候，海盗[2]的Value[2]就会升高，同时海盗[3]也会升高。
于是我在试卷上写上这个结果和很山寨的建模分析。
结果当然是0分，可怜我前面做得那么好，于是就听老师讲评。
老师的讲评也是精彩的，我就不复述了，是推理，其中用到更多的假设，从而得到非常确定的结果。
98，0，1，1，0
98，1，0，1，0
（答案的分析，大家可以去搜一下。）
这个结果是我一直无法认同。老师动用了两个假设。
假设1，海盗要钱不要命
假设2，海盗中不可能存在任何结盟关系。
要钱不要命我就不解释了，就是Value[i]=0。我觉得这是绝对不可能的。
假设2则奠定海盗要钱不要命的基础。
正是因为第2，3，4，5海盗不会存在任何结盟关系，所以海盗[1]才敢于自己拿98 。
我就这个问题跟老师纠缠了很久。
“如果海盗[1]自己拿98，其他人拿那么少，为什么其他的四个人不联合起来干掉海盗[1]，这样至少还可能拿多点。”
“如果他们联合起来干掉海盗[1]，那可能什么都拿不到。”
“如果2，3，4，5海盗中有任意三个人结成坚实的联盟，那么联盟的三人将可以平分100金。这也是一种利益最大化。他们绝对能得到更多的金子，既然如此，他们为什么不这样做。”
“如果是联盟就可能被利益破坏，这是不确定的，而这道题是确定的。一旦有联盟存在，那么问题将变得十分复杂，所以假设联盟不存在。而且我们题中说过，这些海盗是极为聪明且极为自私的追求利益最大化。”
“极为聪明且极为自私的海盗啊，如果他们足够聪明的话：如果存在二人联盟则可以得到50金，如果存在三人联盟则可以得到33金，如果存在四人联盟则可以得到25金。可是他们不联盟，得到0金或者1金。这真的合理吗？”
“如果2和3联盟，那么当1死掉的时候，你认为3就不会为了利益背叛2，在利益面前所有联盟都是不存在的，如果他们足够自私的话，他们绝对会背叛联盟，如果他们足够聪明的话绝对能想到这个结果。”
。。。。。。
我的问题是，如果我是2，3，4，5中任何一个，我看到海盗[1]分到98金，都会愤怒的想方设法让1死。（我承认这个想法很阴暗。）
而教员则有一整套逻辑分析之类的方法，像是机械一样把最终答案产生。
他的意思也很有道理，如果是逻辑分析题，必然有很多假设，即使看起来是不合理的，但没有假设就没有正确答案。而很多逻辑分析的正确答案也是看上去很不常理的，这是个数学逻辑问题，只要是逻辑问题必然有答案，而其答案必然是对的。（大意如此吧，我也记不清了，好像是逻辑上的一个定理）
我说：“如果哪个海盗这样分金的话，肯定会被扔下海的。”
数学教员说：“即使现实中这种分金方式也是适用。”
我们在这个问题上纠缠了一下午，可以看见，穿夏常服的数学教员已经郁闷了，我们争执到再说下去就要掂椅子的程度。那位教员看起来体能比我过关，貌似椅子里要出真理了。
这个时候一个青年数学教员进来的，说问题的答案不止一个。
一年后我在这位数学教员旗下学习数学建模。
这个经典问题的答案绝对不止一个，政治有政治的方式，数学有数学的方式，经济有经济的方式。
然而我却相信最终的那个答案一定是极为简单且统一的。因为人总是人，用各种手段从哪一个方面分析，都只是一方面。
而人综合各个方面得到一个统一的结果。
虽然我不知道这个结果是什么。
因为任何分析预测都是片面的。
现在要说这个问题的给我的启示。
最重要的不是问题本身，而是试图给我解答这个问题的数学教员。
直到现在我还记得他跟我说逻辑问题必有结果的那种语气，他不是一个人，他不是一个人，他背后有苏格拉底，有柏拉图，有笛卡尔。。。之类玩逻辑的大师，那种压倒性的气势，那种绝对普世真理在手的气势，直到现在还是我痛苦的回忆。
他相信98，1，1，0，0的分金方式在现实中也可以用，我的想法是，只要海盗1不是绝对老大，这种分金方式铁定是找死的。
之后某一天我看了《美丽心灵》（讲纳什的那个），这个电影让我记住了亚当史密斯的假设：每个人都将做对自己最有利的决策。
更经典的说法就是：人都是自私的。
亚当史密斯在其上建立一整套经济理论。
数学教员的想法也是建立在相同的假设上。
我总是质疑这个假设。但问题是如果你质疑这个假设，那你就质疑了整个经济理论，如果你质疑了经济理论，那你没法利用这个理论来解决实际问题，所以你就没法解决实际问题。
如果要解决实际问题你只能去相信一个假设，不管它有多荒谬（具体“人性自私”问题可以看看《人的猿性》，里面有相当详实的论据来论证人性既自私也无私，即竞争也和谐）。
如果你要建立新的理论却解决问题，那么你肯定又要有自己的假设，那你的假设就一定靠的住吗？你怀疑原有假设，我就可以怀疑你现在的假设，唯有假设是无法证明的。
数学教员的想法就是这样的，总让我觉得有点本末倒置，但又无法说清，希望河里大鱼们说一下。
我理论水平很低，没有任何逻辑基础，更没看过亚当史密斯的文章。
而现在有个莫名其妙的问题是，只要你给出几个看得过去的假设，然后再根据这些假设推理出一堆东西，只要你推得好，推得华丽，推得精彩，人们就莫名其妙的忘记那几个值得怀疑的假设，而专注于你的推理过程，如果你的推理过程又无懈可击，所以你赢了。你成功的忽悠了我。
所以我拿了1金或者0金，你拿了98金。
我实在是不擅长逻辑，经常把自己绕晕。。。总是在这种问题上绕不清。
但我总是警惕所有真理，所有放之四海，所有普适的东东。
而有些人又太过相信逻辑的力量，相信到最后以为世界是个公式，给出参数就能得到唯一的结果。
而越是这样的人思想往往越惊世骇俗，他们通常也以这种惊世骇俗为荣，以为把大家吓唬到了就是胜利。而自己的想法源自完全正确的推理，所以他们说话总是理直气壮，强悍无比，比脑残得遍地找抽的小白更有力量，更能忽悠一些小孩子。其中的最优秀代表就是柏拉图先生和波尔布特。。。（其它优秀代表的书我没看过，就看过《理想国》）
中国人本质是不擅长玩逻辑，这么多年了，一直很少总结什么普适真理，顶多就是共产党才能救中国，只有共产党才能救中国，以及除了共产党没有人能救中国（你要是把共产党换成论语估计也一样）。车轱辘话不停的说，除了事实论证也没什么真正精妙的逻辑推理。
论语也是一样，从头到尾下定论，稍有的一些推理也让人有点怀疑，比如不患寡而患不均（那倒是直指人性），跟柏拉图同志的一步一步推理出来理想国差了十万八千里。
不过论语总归是胜利了几千年，tg也总归是胜利了六十年，而柏拉图的理想国都被我们这些科幻爱好者设定到了几千万年后的未来，说起来理想国至少代表了未来吧，虽然我绝对不想生活在那样的未来。
但我总有种感觉，几乎所有西方人和某些头脑发热的东方人，都努力着把自己的世界建立成理想国的样子。。。嗯，这应该是另一篇文章的主题了。
在河里啰啰嗦嗦发了一堆，实际上是想听听河里对这个问题的看法，抛砖引玉。
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最关键的实际上就是前面的假设吧，就象老毛对形式逻辑的说法一样。
你说的题目在《科学美国人》上有一篇专门讨论，容我找一找。
《欺诈游戏》是一个非常有意思的故事。其中有很多game，和你说的限定条件游戏差不多。但有一个最基本的心理原则：在任何给定的游戏规则下，越是要钱不要命就越是有可能达成利益同盟。
抛开数学来说，在任何游戏中，游戏规则制定者才是真正的赢家。你这个题目的缺陷在于：最后一个人是不死者，所以问题要回到规则制定上来：谁安排的这样的顺序，或者说在民主的情况下，谁会提出并同意这样的顺序？应该是5号本人，老大让手下来分赃，从小的做起。
过半则通过，不过半则海盗[2]被杀，海盗[2]提出方案
第一个应该是海盗[1]吧
这个题目不能把他和现实联系起来，联系起来就等于有了额外的约束条件了
模型都是对现实的简化，现实中的很多常识在解决这些问题的时候不能代入
其实题目的这个条件
即：按顺序提出方案。
就相当于隐含了第一个海盗是老大，或者说，有一个绝对权威负责维护规则
后面的就不评论了，呵呵
已经改过来了
还有一点
我也认为海盗分金这个问题的现实合理性可以探讨，但关键不是楼主那些质疑，那些基本上都是严密的。只有一点，海盗们如何能同意这种分配法则。按照理性的原则，海盗们在分配之前就知道了这种分配法则的结果，他们如何能同意呢？
我相信如果整个决策过程包括对分配法则的讨论，那么海盗们会得到一个（按实力）最合理的分配结果的。
大学时候同样对博弈论很感兴趣，和楼主探讨一下
首先，经典解中没有假设海盗们要钱不要命，恰恰相反，海盗们是要命也要钱，但先要命。否则就不会在得不到一个金币的时候也投票赞成分配方案了。能投赞成票，就是因为还要命。
其次，海盗间是赤裸裸的利益关系，就好像丛林法则，即使他们能达成某种秘密协议，但也没有任何机制监督这种协议的履行。比如本来按协议B应该投票赞成A的方案，但没有任何方式保证真到投票时B不会赞成把A喂了鱼。这时候还是利益最可靠。理性人假设最简单也是最有可能实现的。
理性的意思是1.局中人追求自身效用函数的最大化 2.局中人可以站到其他人的位置上，考虑其他人的决策过程（就是博弈论里“A知道B知道A知道B知道...的决策“那样的表述，我称之为无穷绕口令，呵呵）在这种情况下，局中人不会因为冲冠一怒贸然投反对票的，因为这样很快自己也会陪绑或者收益受损失。
另一个我很喜欢的博弈论的经典例子是“不忠的妻子们和他们的丈夫”。这个例子更好地说明了第二点。
这事实上是我疑问的核心，这点没想清楚，却导致对整个逻辑都怀疑，想想真有点可笑，他们如何能同意采用这种投票分配方式？关键是投票分配的方式就有问题，这个不公平是在骨子里。
当有趣的是从分配角度来说，海盗1是最有利的。
从死亡可能来说，海盗5却是不死者。
很奇妙。
模型都是对现实的简化，现实中的很多常识在解决这些问题的时候不能代入
但就这个题来说的确如此，但标准答案中似乎存在一个逻辑上圈子。
ps:海盗1即老大也是最容易死去的那个，但从另一个想法上，海盗5是不死者。。。
地位是人类社会解决问题的标准方案。
大家都在问，谁的地位更高，谁的地位更低。
然后猜测五个人中地位最高的是谁。
想法完全矛盾，有人说是标准答案中得钱最多的海盗1，有人说是不死的海盗5.
事实上这道题本质就回避了海盗的地位问题，出题者试图省略这个问题，即这五个海盗处在世界边缘，他们不是社会人，他们是原子人（我不知道该怎样表现这个概念，大家应该能读懂吧。）
他们可能是四面八方聚集而来，相约去抢了一道，然后就地分赃，分完后就告别，各奔东西。他们之间根本没有任何地位关系。
这个题目试图回避人类社会最基本的构成---地位。（从猿猴，从狼阶段，动物就有了社会，以及地位。）
欺诈游戏我也看了，不过看的是原版漫画，比日剧强多了。日剧已经完结了，而漫画里那个游戏直到现在才露出冰山一角。很多游戏的复杂程度也完全没有表现出来。
事实欺诈游戏就是在论证那个想法--不完全自私，才能得到更多。不背叛联盟，才能赢得比赛。
其实这也是故事主角最强的所在，不止是因为智商超人，而是因为他们有着绝不背叛的同盟。这就像是海盗分金的时候，234联合，将1整下海，然后平分100一样。他们得到的绝对比互相背叛要多得多。
这是最神奇的一点，这个海盗分金问题事实上包含两个人类社会最核心的东西。
联盟和地位。
而这道题以及所有想通过逻辑方式解决这个问题的人，却完全的回避了这两个东西。
同行啊
有一个绝对权威负责维护题目的规则，也就是保证规则外的常识不能发挥作用
就像楼上说的
他们参加到题目中来，就必须同意规则，就必须接受结果
编这个题目就是为了说明逻辑推理而已，海盗的位置就决定了他们的结局
题目中的海盗不能看成“正常”的或者说现实的人
这些都是必然的了
至于是否“公平”，要看在什么条件下讨论
说到地位，我认为就好像曲率是蕴含在度量中一样，地位也就蕴含在规则里
另，我没发现逻辑上圈子
听问题就很有趣。是不是施工符号呢？
谢谢：作者意外获得【通宝】一枚
鲜花已经成功送出。
此次送花为【有效送花赞扬，涨乐善、声望】