主题：【求助】请教中学几何题(花送回复者) -- 子由金

河里高人帮忙解一道几何题:

已知梯形的面积为7,周长为14.

问:该梯形是否为等腰梯形?

将送花给回复者.谢谢

貌似缺了一项已知条件。

只有在知道上底和下底长度之差的情况下，才能确定梯形是否等腰。

要回答为什么.

无论如何都送花

/|-----------|\

/ | | \

x / |b b| \x

/ | | \

/------------------- \-

a c a

2a+2c+2x=14-->a+c+x=7

ab+bc=7--->a+c+x=ab+bc-->1+x/a+c=b>1

x<a+b----->a+c+a+b>a+c+x=ab+bc--->1+(a+b)/(a+c)>b---->b<1

送花

赔不是.

设:上底:a,下底:b,高:h,斜边:x.

解:

(a+b)h/2=7 ---(1)

h=14/(a+b) ---(1)

x^2=h^2+((b-a)/2)^2 ---(2)

(1)代入(2)

x^2=(14/(a+b))^2+((b-a)/2)^2

移项:

x^2-((14/(a+b))^2+((b-a)/2)^2)=0 ---(3)

二次方程(3)的B^2-4AC为:

0+4((14/(a+b))^2+((b-a)^2/2))>0

所以方程有解.是等腰的.

但是没用到周长的条件.

不知对否?

你这个证明的是，无论a，b如何取值，都存在等腰梯形的可能性。

你设斜边长为单一X，实际上已经假定他是等腰了，循环论证。

设上下底为a和b，高h，假设等腰梯形的斜边为l

根据体形面积和周长可得

h*(a+b)/2=7 和 a+b+2l= 14

整理得 h=14/(a+b), l=7-(a+b)/2

根据梯形的条件斜边大于高 l>h 得

7-（a+b）/2>14/(a+b)

设x=a+b 化简整理不等式为x`2 -14x+28<0

即 (x-7)`2 -21<0

解有

所以这样的等腰梯形是存在的。

举例 l=3.5 h=2 a+b=7,能算出 a约为0.628，b约为6.372

这道题的关键是能否找到一个满足条件的非等腰梯形，找得到就是，找不到就不是。

假设上底边为a,下底边为b，高为h，两条边长分别为c，d （c>d）。

于是满足

(a+b)*h/2=7

a+b+c+d=14

由a边的两个顶点向b边做两条垂直的辅助线，得到两个三角形，再设两个三角形在b边上的底边长分别为x,y (x>y)

得到

x+y=b-a

由于这是两个直角三角形，又有

x^2+h^2=c^2

y^2+h^2=d^2

得到

x^2-y^2=c^2-d^2

推导得

(x+y)(x-y)=(c+d)(c-d)

把上边的等式代入，得到

(x-y)(b-a)=(c-d)(14-a-b)

显然，当x-y=0,c-d=0，即为等腰梯形的时候等式成立。

那么，是否存在非零时的等式成立呢？

………………

我也不知道……