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主题：【原创】勾股定理（十二） --- 王者归来（续） -- 我爱莫扎特
一旦知道曲面的第一基本形式，我们就可以求出曲面上任意曲线的长度。给定曲面上两个点，存在无穷多条不同的曲线把它们连起来。所有这些曲线中，长度最短的曲线（可能只有一条，也可能很多）被称作“测地线”。（我们在眼见为实中已经见过。）并且，我们可以定义两点之间的距离（度量）为它们间测地线的长度。很容易证明，这样定义的度量满足技术细节中的度量公理。
对于任意曲面，要求出测地线并不是一件容易的事。我们知道，微积分可以求出函数的极值点---那些使函数在局部取极大值或极小值的点。不过现在的问题要复杂得多。我们需要找的是取极值的曲线，而不再是点。此时，传统的微积分技术不再够用，需要更强大的工具---变分法。
一旦有了测地线（相当于直线），从而有了曲面上两点间的度量公式，我们可以接着构造出熟悉的几何对象，比如多边形，圆（圆是到一个固定点距离相等的点的全体）等等。通过第一基本形式，我们也可以很容易的计算出相交曲线的夹角。自此出发，可以建立起曲面的大多数几何性质。不同的第一基本形式可以导致截然不同的几何性质。如果说第一基本形式是几何对象的原子或分子，恐怕并不过分。
现在我们可以试着回答本文开头提出的问题，用新的眼光来看Poincare圆盘模型。尽管该模型的主体在平面上的单位圆内部。但是，该模型的第一基本形式与欧氏几何不同，为
我们把上面的式子稍加变形：
通过这个简单的例子，我们可以看到，仅仅是第一基本形式的差异，就可以导致几何性质的差异，甚至使得欧氏几何变身为非欧几何。而这正是非欧几何的本质！我们将等到黎曼出场之后，再详细论述这一点。
至此，我们对前文提出的局部化的概念有了更加深刻的理解。假设二维曲面上有一个小小的测量员。那么，一旦给定一套局部坐标系，他就能准确的知道他的位置。而且，这套坐标系与曲面配合，会创造出一把神奇的尺子，这把尺子会自动伸缩，在不同的地点给出不同的尺度。有了这把神尺，测量员的大部分工作都能圆满完成。熟悉相对论的朋友一定会对这个比喻似曾相识。的确，当爱因斯坦提出“每个测量员都有一个自己的时钟”时，改变了全人类千百年来根深蒂固的时空观念。而高斯的神奇尺子，虽然只是用来测量大地而非宇宙，却已经隐隐显出相对论思想的光芒。要知道，这时候距离相对论的出现还有整整80年！随着本系列的逐步展开，朋友们就会清楚的看到科学史是如何一步一步的前进，高斯的神奇尺子是如何经黎曼之手最终演变成爱因斯坦的时钟。
更有甚者，高斯的第一基本形式与今天的全球化商业模式暗暗相合。我们都知道，成功的国际跨国集团，必须在每个地区每个国家做好本土化（localization，局部化），根据不同的地区找准定位（coordination，坐标）。还需入乡随俗，在当地讲当地的规矩（rule，尺子）。正所谓一法通，万法通也。
在本文的最后，我们对前文提到的“局部来看，曲面可以近似的看作平面”略加解释。为了计算曲线的长度，我们要把曲线切割成非常非常短的线段再加以拼接。而这些非常非常短的线段的极限状态，就是曲面上每点对应的切线。经过每点有无穷多条切线，它们全体构成一个线性空间。对于二维曲面，这个空间被称为该点所对应的切平面，而高维情形则被称为切空间（tangent space）。也就是说，为了做到局部线性化，我们必须对每个点构造出一个曲面之外的理想平面（空间），第一基本形式其实并不是曲面上的勾股定理，而是每点对应的切平面（切空间）上的勾股定理。
切空间并不是一个新生事物，早在高斯之前就已经被数学家认识。然而，切空间的概念在20世纪被大大拓展，重新焕发活力。20世纪的几何学家们发现，可以把曲面上所有的切平面用某种代数结构捆在一起，形成“切丛”（tangent bundle）。形象的看，切丛好像披在曲面外的一层盔甲，在每一点上都有一张无穷大的甲片。人们发现，对这些“盔甲”的研究，有时候居然比直接研究曲面来的更加有效。
切丛是“向量丛”（vector bundle）的一个例子。另一个重要的例子是法丛（normal bundles）。在二维曲面上，过每一点都可以作一条直线，与相应的切平面垂直。这条直线即法线（normal line）。曲面的法丛就是用代数结构把所有的法线捆在一起。直观上，二维曲面的法丛如同金庸笔下的软猬甲，竖着一根根的钢刺。
向量丛的概念可进一步抽象为更一般的“纤维丛”（fiber bundle）。纤维丛是二十世纪几何学的中心，与物理中的规范场论（gauge theory）有深刻紧密的联系。二十世纪七十年代，华人科学家中成就最高的两位大师，陈省身和杨振宁曾经在这个领域展开合作。陈省身是纤维丛的奠基人之一，而杨振宁则是规范场论的先驱。杨振宁对陈省身说：“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致，对我来说是一大奇迹。特别是数学家在发现它时没有参考物理世界。你们数学家是凭空想象出来的。”陈省身却立刻加以否认：“不，不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的，也是真实的！”
陈先生的这个回答其实也是我这个系列想要表达的。数学虽然常常以抽象的面目示人，但它的核心思想却简洁而自然。数学的力量来自对大自然细致的观察和深刻的理解。数学尽管有自身的逻辑与工具，却仍是对客观世界的真实反映。所以数学理论经常领先于物理学并不令人奇怪，因为数学和物理原本就是对客观世界的不同刻画而已。本文已经提供了若干这样的例子，后文中我们还将看到更多有趣的例子。
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陈先生的这个回答其实也是我这个系列想要表达的。数学虽然常常以抽象的面目示人，但它的核心思想却简洁而自然。数学的力量来自对大自然细致的观察和深刻的理解。数学尽管有自身的逻辑与工具，却仍是对客观世界的真实反映。所以数学理论经常领先于物理学并不令人奇怪，因为数学和物理原本就是对客观世界的不同刻画而已。本文已经提供了若干这样的例子，后文中我们还将看到更多有趣的例子。
都在讲微风流形了
楼主的这系列几何科普我读了多遍，受益菲浅。这一篇结尾说到了杨、陈两位老爷子的典故，不才在物理门里讨口饭吃，忍不住凑上两句。
按我理解，数学／几何从几个简单的基本公理假设出发严格推演出复杂定理体系。而物理的基础也同样是一些基本物理定律，像Maxwell方程，牛顿三定律什么的。由于物理定律需要用数学的语言来表述。那么一个物理理论的基础定律必须有相映的数学公理相匹配。 比如说，牛顿定律对应的是欧氏几何，规范场理论对应的是纤维丛、联络之类的事情。
有一个古老的传说，在科学帝国中，皇后叫“数”，皇帝叫“物”。皇帝和皇后平日里闲来无事在一起敦伦。他们敦伦的过程是这样的：“物”一时性起整出一个“假设”作为种子放到“数”的体内，（此处删除五千字）。经过十月怀胎，“假设”在“数”的体内茁壮成长，终于瓜熟蒂落，生出个皇子。狠心的“物”将皇子送去进行一种叫做“实验”的历练。若皇子没有经过考验，就将母子二人一起杀掉。上一任皇后人称“欧氏”，皇子名为“牛顿”。现在皇帝新宠叫“微芬姬”，皇子有“量子”、“规范场”等多人。
这个故事告诉我们，数学是人类理解、描述物理世界的语言，当二者的基础一致的时候，所有数学结果反映的都应该是自然世界中的物理现实，反之则可断定其基本假设是非自然的。数学源于物理，也将终于物理。数学是依附在物理之上的，当物理错误的时候，其上的数学也就失去了意义。当然，不排除皇后红杏出墙，跑到别人家里开枝散叶，那是另一回事情。皇帝有一个，皇后到不妨常换常新。数学工具对物理的发展意义重大。娶妻求娴熟，玩儿物理，数学工具的选用直接决定境界的高低。
数学是严格符合逻辑的，只有错误的物理，没有错误的数学。而真正的物理发现通常是跳跃而没有逻辑的，不可能从欧氏几何体系中推导出相对论。所以，杨老爷子说“数学家是凭空想象出来的”，这纯属诬蔑诽谤、倒打一耙！正真空手套白狼、无中生有正是他们这些玩儿物理的人！
公式一个没显示，晕菜了
我是从一个网站转的图片链接，可能你那里屏蔽了吧。
不知道其他人有没有碰到过类似的情况。
不好意思，回帖晚了，这一阵上网很受限制。
你这个比喻很有意思，不过可能有些过时。数学和物理大概是有过一段儿的，那是100年200年前的事儿了。今天么，让我怎么开口呢，是群P时代。
数学的情人很多。物理是老相好，不用说。其他的数都数不过来。就拿这些年经常被媒体曝光的来说，有计算机，统计（这哥俩而本来是数学的分支，总算独立了），经济（一小半儿的诺奖让数学家给拿了），金融（最近不少人嚷嚷着要让数学家为金融危机负责），生物（有没有听说过托姆Thom的突变论？），甚至化学（计算化学前几年拿过诺奖）。国防部的老爷们也常常来约，火箭卫星导弹啦，飞机雷达密码啥的，好像都沾边儿。天天来找他们也嫌麻烦，有的就干脆自己养一些，比如NASA。近来环境问题比较热闹，也有不少数学家做这个的，前一阵还看到某数学杂志出了个环境专刊，有些文章挺有意思。
当然，物理与众不同。不是数学问题有物理背景，甚至物理思想对数学也有影响，这方面的例子以前可能多一些，近百年越来越少，我知道的一个例子是Atiyah做指标定理时曾经听过一个基本粒子的讨论班，对他有些启发。不过，和其他情人相比，物理和数学单独相处的时间越来越少了。
就连数学家族内部也颇为混乱。代数，几何，数论，拓扑啥的，大家或许还耳熟。可后来逐渐有了代数几何，代数数论，代数拓扑，数的几何，更有算数代数几何。念着都拗口啊。
没办法，群P是个时代病。
这还不是关键，最重要的是，数学早已有了自己的独立王国。其实从阿基米德就有这样的倾向，真正成为“纯”数学家的，大概要算欧拉和高斯。而庞加莱之后，没有人敢说自己数学物理皆通了。数学似乎和不少学科都有一腿，其实八成的数学家干的活儿根本和应用搭不上边。
数学从其他学科寻找问题，汲取养料，但很快就和原来的问题走远了。好像是歌德（也可能是别人，总之是个德国人）说过：“数学家就像法国人，总是把别人的话翻译成自己的语言，然后就没人明白他们在说什么了。。。”还有一个比喻：数学家如同一个军队要进攻一座沙漠中的巨大堡垒，当他们发现强攻不下时，他们会选择绕道而行。可是沿途的美景让他们中的许多人流连忘返，停下脚步开垦荒地，建立庄园。等到多年之后堡垒终于被攻下时，四周早已由沙漠变成一片绿洲。
很多时候，物理（或其他学科）提出的大问题只是那座堡垒，指引着方向，而数学的收获常常远过于此。
有几位朋友提出看不到文章中的公式，不知道是不是普遍现象。如果是的话，得想些办法解决一下。
在论坛发公式是很麻烦的事情。我现在用的办法是我自己想出来的。我在网上找到一个网站：http://www.texify.com/links.php 。只要我把TEX公式打进去，它就能帮我转化为图片文件，然后我把图片链接贴到文章里。所以大家看不到公式一定是上不了那个网站，可能它被国内屏蔽了？
其他图片也是如此，文中的图片都是我通过网络搜索得来，包括相当一部分wiki的图片，有些被屏蔽完全有可能。
遇到这些问题的朋友能不能回帖告诉我具体哪些图片看不了？如果看不了公式能不能登录上面的网站？如果方便的话告诉我你们的上网地点和方式，方便我做个统计。
如果公式不能显示的朋友确实比较多的话，我可以在每个公式后面附上TEX公式，不过既影响美观，估计对大多数非数学专业的朋友未必有帮助。不知大家有什么好的建议
至于有朋友提出做pdf文档，我当然是非常愿意。老实说，现在网上发布的版本是最好的版本，比我手头的草稿还好。我是用word写作的，那些公式只能以TEX的方式存在。如果我用LATEX打文章，文字的问题还好办，那些图片实在很麻烦。也就是说，我自己现在都没有一个完整显示的版本。
我不知道以前那些好文章的pdf版本是如何制作，谁制作的？说不定我可以找他们帮帮忙。
如果现在急着要的朋友可以投条给我，我先发个doc的版本凑合一下？
对于玩儿物理的人来说，数学很多时候过于“絮叨”了，经常会把简单的事情搞复杂。所以，市面上很多名为《物理学家用的XXXX》的科普读物，这里XXXX代表微分几何、群论等等。即使这样，很多物理学者还是对这些“鬼画符”一样的数学工具充满了恐惧。所以时至今日在某些物理门派里面，偏微分方程是他们用到地最复杂的数学工具。事实上“偏微分方程”足以描述大多数物理问题。也许这就是物理、数学一对老情人渐行渐远的根本原因。
数学的裙下的新“面首”，计算机、统计、金融，密码，甚至包括火箭、卫星、飞机之类的工程问题，都是“人造”科学—— 我不确定这么说是否准确。这些科学的基础是源于人类社会中衍生出的“数字”，而不是自然。而人类思维的要比自然界“繁杂”（complication）得多。 “数学”研究的是“数”的结构，所以她变得越来越“繁杂”也是意料之中的事情。
物理门中之人大多坚信：自然是简洁的、不随描述方式改变而改变的。真正能够与物理情投意合的是“几何”。几何中对于空间的描述，本身就是人类对自然的理解，完全可以将其称之为“物理”。几何和数学应该是两件事情，是吧？
我多年来一直有个困扰：近现代物理的大多数进展是对于自然基本运行原理的研究，例如基本粒子、统一场、弦论之类的；对于由大量基本粒子构成的“复杂”（complex）系统，大多数时候是力不从心地，例如，湍流，还有熬死无数物理学家的可控核聚变。问题是，人类有没有可能找到一种能够有效描述“复杂”现象的数学工具；或者说以人类大脑的复杂程度，有没有可能理解自然界的“复杂”现象。莫大是数学达人，不知对此有何看法。
另，word文档可以直接存为pdf的。——我也看不到公式的说。