主题：【文摘】组合学家Conway趣事 -- 林小筑

组合学家Conway: 频频在媒体上曝光, 跟Nash不相上下

消息源：佚名/科技时空

http://www.popyard.org

【八阕】上帝是怎样创造这个世界的？按照《圣经》的说法，第一天他在一片混沌中游荡，发现太黑了，就说："要有光"，然后就有了光……他总共花了六天来创造万物，

第七天休息。但并不是就此一劳永逸地结束了，麻烦事还在后头，像什么偷食禁果之类的。他得花更多的时间和精力来维护这个系统，有时不爽了还得格一下盘（大洪水），――当然格盘之前需要保存一下数据（诺亚方舟）。有次自己亲自深入系统来查一下毒，还给弄挂掉了……

其实没有这么麻烦，上帝这样的大智者，自然找得到最方便的办法。他应该是在一张餐巾纸上随手写几个公式作为定义这个世界的规则，然后制造一次大爆炸，

接下来的事情就不用他管了，他只需端起一杯咖啡，在一旁悠然地看。

不信吗？那么就尝试一下Game of Life吧。在一个有许多正方格的大棋盘上随意放一些棋（1）复生：一个胞体在t时刻是"死"，而在t+1时刻是"活"，如果它的八个邻域有三个胞体在t时刻是"活"的。

（2）死于孤单：一个活的胞体在t时刻没有或只有一个胞体邻域，就会在t+1时刻死亡。

（3）死于过度拥挤：一个活的胞体在t时刻如有四个或四个以上的邻居，就会在t+1时刻因过度拥挤而死去。

（4）生存之道：一个胞体在t时刻生存而能延续生命到t+1时刻，当且仅当它在t时刻有二个或三个活邻域。

就是这样简单的规则，却可以随着初始状态的不同产生无穷无尽的变化，有兴趣的读者可以连上http: //www.ibiblio.org/lifepatterns/，点击其中的 "enjoylife"键，随意自己设定初始状态，或者打开别人设计好的一些有趣的状态，看看这个简单平台上出现的复杂世界。

1970年，这个"生命游戏"甫一发明出来便轰动了世界，很多人乐此不疲。据说有一段时间，全世界四分之一的电脑都在运行这个程序。这个游戏的设计者，就是本文的主人公，英国数学家John Horton Conway.Lord of the Common Room大约十年前的一篇访问记中，说Conway每天打开计算机时，屏幕上会随机显示十个日期，比如1789年7月14日，2037年12月26日等等，Conway则心算出这些日期分别是星期几，输入后才能进入电脑。他的最高纪录还不到20秒就算出了全部星期。

这种情形我倒是从没见过，因为我见到的Conway一向都是使用common room外的公用电脑。

Conway绝对是一个占用公共资源的专家，系里的common room就是他的办公室。

Common room 里的沙发宽大又舒适，足够容纳他的身躯。房间谕庥泻眉缚楹诎澹?刚好能让他打草稿，--按他自己的说法是：talk to myself on the blackboards.桌子上堆着他的玩具。各种各样的人都会到common room里来，所以Conway从不缺乏聊天的对象。有一次我正在common room里喝咖啡，突然听见电话铃响。我正纳闷，

想谁会打电话到common room里来呢，却听见电话机旁的一名学生大喊"John"，同时看见Conway一个箭步从聊天的人群中窜了出去，拿起电话就是一声hello……暴汗。

后来见多了也就见怪不怪了，我甚至还替他接过一次电话。

我曾问过Conway，为什么他喜欢呆在common room里面，他说因为他自己的办公室里非常乱。据他说，最初系里给他两个办公室，后来觉得两个太多了，便收回了一个。（想当初必定是用两个办公室作为优惠条件来吸引他，如今新人胜旧人，就给减掉了，资本主义真是残酷。）他的办公室在三楼，离common room只有几步路，

跟更高楼层里的那些办公室不是一个型号。这间面积相对小许多Conway在门上贴满了数学画报，不过想偷窥的人还是能透过缝隙看见里面的情形，

?―也没什么好看的，反正我最初看到时还以为是系里的杂物间。下面这段描??(byRichard Guy)能让读者对他办公室里的情形有个概念："他的剑桥大学纯数学和统计系的办公室里几张桌子堆满了论文、书籍、没有回复的文件、笔记、模型、流程、

图表、几个喝完没洗的咖啡杯以及一些各种各样的玩艺儿，这些东西泛滥到地板上和椅子上，因此很难容两人在办公室里及坐下来。如果你能走到黑板，你会看到各种颜色的粉笔字迹，却没有地方让你写东西。虽然他有很好的记忆力，可是他常常找不到几天前他写下重要发现的纸张，他只好重新写。"

Conway从来不看信，收到信件后便往故纸堆里一扔。等他再发现这些信件时，

看到上面的邮戳是几年前的，就决定永远不去拆阅，免得自己产生内疚感。不过他e-mail收得倒是非常勤，经常能看见他坐在common room外的公用电脑前，满面笑容，

飞快地打着字。这一点跟他的死对头项武义刚好相反，后者从不上网，最恨电脑，

自然不会收e-mail.每天下午 tea time时，Conway周围就会聚集一些跟他关系好的教授或学生听他胡侃。当然他的魅力还比不上cookie，只要新的一盘cookies端上来，这帮人便纷纷起身，(common room里的其他小群体也是一样，) Conway总还是抢在头里。上学期他的一门课与tea time的开始时间重合，但他通常要晚十分钟才去，因为点心一盘也不能少吃，有时他甚至一边啃着点心一边在黑板上奋笔疾书。上他课的几个人在吃 cookies方面自然也都跟他臭味相投，对推迟几分钟毫不在意。

甜食带来的一个坏处就是让他的体形不能保持。其实在美国比Conway胖的人比比皆是，但数学家里有他这么大肚子的却少见。对于他这种年纪的人，胖是一件很危险的事。去年期中的时候， Conway突然从common room里消失了，后来才听项武忠说他患心脏病动了手术。我当时很诧异，因为他看上去活蹦乱跳的。项武忠解释说：

"他太胖！"

手术后Conway恢复得很好，就是在家里一天都呆不住，他太太为此写信到系里，

请大家打电话或去家里骚扰他。等再看见他时，已经临近期末。那时他身体还没完全好，一说话就喘不上气，却已经很着急地跑到common room里找人聊天，聊天之余又在黑板上写写画画，尽管都是些高中水平的数学。他说自己好长时间不做数学，

得先做一些简单的来恢复一下能力。

A Tale of Two Universities英国制度，11岁入中学，这时就要根据未来的志愿分校。Conway说他在那时就决定去剑桥当一名数学家。他在 Davenport手下拿到博士学位后留校任教，研究数理逻辑。当时他感到非常沮丧，因为自己没有拿得出手的成果，觉得不是在做真正的数学。很快机会就来了，1965年，John Leech在研究装球问题时发现了一种24维的lattice，他觉得这种lattice的自同构群可能会很有趣，但自己的群论水平不足以对其研究，便把这个问题告诉了许多群论专家。只有Conway比较彻底地研究了这个群，从中一举发现了三个新的有限单群。Conway从此声名鹊起，被邀请到许多地方报告他的发现。他独特的演讲风格给许多人留下了深刻印象，而Conway也因此获得了信心，迈入一流数学家的行列。

本质上说，Conway是一位组合学家，他研究的问题多数带有组合特性，看起来非常浅显，但其中却蕴藏着深刻的数学思想。就拿前面提到的生命游戏来说。1940年一个数学模型来描述机器的自动复制与生长。Von Neumann最初的模型非常复杂，

Conway将其简化成人人都能理解的 "生命游戏"。生命游戏经Martin Gardner在Scientific American上介绍后迅速风靡世界，Conway因此获得了数学界以外的巨大声名。（最近Mathematica的创始人Stephen Wolfram写了一本书A New KindConway说，他曾经认为自己是一流的数学家，可以做任何事，但现在他已经改变了自己的方向，只尝试让每件事物以最简单的形式出现在每个人面前。前面所说的生命游戏就具有这种特点。Conway的另外一项出名的工作来自纽结(knot)理论。

纽结理论是拓扑学的一个分支，但也可以用纯粹的组合方法进行研究，这正是Conway的拿手好戏。美国数学家Alexander曾经定义过一种纽结不变量，称为Alexander多项式。 Conway在六十年代发现了一个奇妙的拆接(crossing change)关系式，利用这种关系式可以递归地定义Alexander多项式，连中学生都能看得懂，计算起来也很方便。

到80年代时，Vaughan Jones发现了一个新的纽结不变量此获得1990年的Fields奖。Jones多项式满足跟Alexander多项式非常相近的拆接关系式，而它们还可以推广为更一般的HOMFLY多项式，满足更一般的拆接关系式。

HOMFLY这个名字是发现它的六名数学家姓名的首字母的组合，说起这事来Conway还颇有些耿耿于怀。他说当时自己好长时间没有研究纽结，也不去参加各种会议，Jones多项式出现后他的那些纽结界的朋友们一直没告诉他，瞒了他好几个星期，等到HOMFLY多项式出来以后他才得到消息。他只用了一个下午就证明了这个HOMFLY多项式确实是纽结不变量，但为时已晚。Conway说如果他早知道Jones多项式的事，HOMFLY前面就得加个C 成为CHOMFLY了……

Conway于90年代初离开剑桥大学，来到Princeton做访问教授。按Princeton的惯例，从别处挖人来时，给的是终身职位，但第一年的头衔还是访问教授，这样如果一年过后这人不愿意留下，还可以回原来的学校。Conway解释说当初并不是他自己作决定留下来，"I was undecided"，是他的现任太太喜欢这里。Conway结过两次婚，跟第一位太太生了四个女儿，跟第二位有三个儿子。去年底他大病初愈时，我看见他带着一个蹒跚学步的小男孩玩，便问他："Is he your grandson?"他自豪地回答："No, he is my son."再问其年龄，答曰两年三个月。我顿时肃然起敬，要知道Conway可是1937年出生的。在我听说过的数学家里面，恐怕只有老不死的I. M.Gelfand在这方面比Conway更出色。

也许鼓励创新的美国比相对保守的英国更适合Conway，尽管Conway坚持认为Princeton比Cambridge更保守。美国人崇拜的科学英雄倒未必需要有非常出色的学术成就，但一定得有张扬的个性。Conway刚好就是他们所需要的类型，加之他又喜欢跟媒体打交道，所以Conway频频在媒体上曝光，声名一时无两。 Princeton数学系三楼走道旁有一块板，上面贴了各种从报纸上剪下来的关于系里教授的报道，Conway的报道占了将近一半，跟Nash不相上下。当然如今在好莱坞的炒作之下，Nash是比Conway出名多了。

另外一位著名的John Conway是以好几本分析教材闻名于世的John B. Conway.我起初还以为这两位是同一个人，曾颇奇怪了一阵，因为John B. Conway写的那些书跟John H. Conway的工作风格完全不同。后来才注意到两者的中名不同。我们的这位John Horton Conway说他曾经多次在会议上碰见过John B. Conway. 有一次参加一个会议，John H. Conway正低头算些东西，突然听前面有人问："Are you theJohn Conway?"Conway头也不抬地答道Conway you mean."一抬头，发现就是另外那位John Conway.John's Adventures in WonderlandConway有种种奇奇怪怪的数学玩具，common room里就堆着好多。上学期我上他的一门课，第一次课前见他在common room里抱着一个箱子，看那个箱子的体积、质地、形状，怎么看都觉得里面装的是笔记本电脑。接下来他带着箱子进教室，打开，

原来是一箱积木，汗……这些积木经过精心设计，代表了三维空间中所有种类的对称性。也不知道Conway从哪里弄到的这些积木，多半是订做的。

他这次课讲的是三维空间中对称的分类，采用一套他自己创造的记号，――Conway研究问题时总喜欢使用自己的记号。我当时听不太懂他的英国口音，只能狂抄笔记，

他的板书中有好多即兴发挥的缩略语，字迹又潦草，得费好大的劲儿来辨认。所以只忙着抄，根本顾不上思考其中的含义。讲课中间，Conway给每人发了两个积木，

叫大家说出积木的对称性，――当然是用他自己的记号。另外两个学生说对了，我却都错了。Conway勃然大怒，到黑板上把某个定义中的一句重念一遍，中间一个词突然用十倍的音量吼出来 "NOT!!!"，当时把我吓得浑身一哆嗦。后来知道 Conway上课时狮子吼是常事，有位师姐也碰见过。还有一次我路过一间教室，忽然听里面传出一声咆哮"ABSOLUTELY!!!"，心知就是 Conway在里面上微积分课，正吓唬本科小孩们。

前面已经说过，Conway是一流的纽结专家。别人讲纽结都是用绳子、皮带之类的有一定韧性的东西来演示，他偏要用刚性的东西。他有几根弯曲的金属管，连接起来后在接口处可以转动， Conway能以此展示出所有交叉点不超过五个的纽结。有一次他在common room里给大家摆弄这件宝贝，末了觉得不过瘾，便往地下瞅。我被他瞅得心中直发毛，突然见他俯下身，伸出魔爪，一把握住我的鞋，我没敢抵抗，

任凭他把我的鞋连同腿脚一同搁到茶几上。然后他便开始解我的鞋带，扯了几下后发现我的鞋带并不像他想象中那样好解，于是又开始打别人的主意，环视一圈后没找到合适的目标，只得转而寻求更加正统的方法。他拿起笔，在一张纸上随手画了一些纽结，用的还是他自己的记号。不过画纽结并非Conway的独门绝学，好多纽结专家信笔一挥也能画出非常复杂的纽结。

Conway还有许多数学内容的T恤衫，整天穿着。有些上面是数学漫画，有的则相对简单，比如圆周率到小数点后一千位。据说有一次Conway的现任太太――也是一位数学家――需要用π的精确数字，便问Conway，Conway随口就背出了小数点后的一百位。可他太太嫌不够，问他能不能背更多。 Conway感到很没面子，便决定背到一千位。他制定计划，每天跟太太出去散步时背上二十位，而且是两人一起比赛着背，互相考问。这样没用多长时间，他们夫妇俩就都能背到一千位了。

Conway是数学游戏爱好者，他发明过好多游戏，生命游戏只是其中最有名的一个。据说以前在剑桥时，他经常在休息室里赤着脚，用纸和笔来玩数学游戏。有时他抓着学生、同事或访客陪他玩，找不到对手就自己坐在地下研究这些游戏。Conway在游戏方面的一个有趣结果是"超现实数(surreal numbers)"。他发现每个实数都能对应一个游戏，相应地，实数的四则运算可以用游戏的语言来解释；此外还有许多游戏具有类似于实数的性质，却不对应实数。这样，Conway便把游戏看作"数"，

得到实数体系的扩充，称为"超现实数 "。Conway把他的想法告诉了另外一位终级老怪Donald会，写成了一本小说体的数学书 Surreal numberson to pure mathematics and found total happiness : a mathematical novelette.需要指出的一点是，Conway对游戏的研究与博弈论(Game theory)是风马牛不相及的两回事，标准的博弈论教科书上根本没有一点儿对Conway工作的介绍。Conway研究的游戏确实非常有趣，但在我们这些人眼中，不会给数学带来多大的进益。也许在Conway看来，一个问题并不必重要或困难，只需要有趣便可以吸引他去研究。

在21世纪的今天，数学已经更多地成为一种职业而非兴趣，可对于如孩童一般在海滩拾贝的Conway来说，它永远还只是游戏。

参考文献：

劳拉?常，赵伯炜等译，约翰?H?康威 --神秘数学世界的漫游者，《纽约时报50位科学家》，海南出版社，2003.李学数，英国的怪数学家康威，《数学和数学家的故事3》，新华出版社， 1999.J. J. O'Connor and E. F.ry.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Conway.html.

说起背圆周率，记住一个故事就可以背到20位，我是这么背的。

商店一时已无酒，而刘武上午白酒汽酒上啊上，罢市刘！

讲的是一个欺行霸市，垄断酒业的不法商人刘武的故事。翻译成数字就是

3.14159265358979323846

不知道大家怎么记圆周率的。

尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐！

时间长了，才能知道的。有趣，欢迎多讲几个，我最爱听故事了。学了好讲个女儿听。

已经被转来转去好多次了