主题：【原创】从零是不是自然数谈起 -- 代码ABC

最近意外发现国内教材把零纳入自然数范畴。在我印象中零并不是“自然”出现的，我隐约记得小学时老师说自然数就是自然界存在的数，因为没有不存在的东西，所以零不算自然数。事实上在数学史中“零”比无理数出现还要晚。查了一下资料，发现一些有趣的事情和大家分享一下：

首先谈谈“零”的来历。

如果我们按字面意思，把自然数理解为自然界存在的数的话，那么我们可以扯上毕达哥拉斯，早在公元前500年左右他就基于一个朴素的原子论的观点提出了万物皆数的思想，他们认为万物都是由一个个微小不可分割的原子组成，这些原子是可数的，也就是万物都可以用数字描述。当时没有用于表示数码的符号，所以他们用小点直接点出数值。很明显这时的“自然”是不存在“零”这个数值的。而在其后的数学发展史中几何几乎就是数学的全部，这里甚至不存在“零”的概念。当无理数都被发现了的时候，对于表示不存在的“零”，数学家们一直视而不见。再往后由于数学应用的需求，人们发展出代数学，作为一种运算技术“零”才开始进入人们的视野。把“零”引入数学作为一个数值参与运算应该是公元9世纪的印度人完成的。可见“零”是一个很特殊的数值。它事实上是一个思维的产物，而不能算一个自然的东西。因此传统上“零”不算自然数。

再来看看零又是什么时候被列入自然数的。

这个问题和19世纪逐渐发展起来的集合论有关。简单地说，集合论用集合的语言来重新定义自然数。因此自然数从此有了一个清晰、明确的数学定义，这样我们就不再需要纠缠于自然语言中什么叫“自然”的麻烦。而在定义中出于方便（与空集对应的需要）把“零”作为第一个自然数，纳入了自然数的范畴。选择哪个数值作为第一个自然数从定义来说没有什么区别，但这样就需要用非零数值和空集对应，这样就很不“自然”了。和集合论密切关联的逻辑也是如此，另外，现代计算机科学中也倾向于零作为自然数使用，对于ＣＰＵ来说０才是打交道最多的数，没有之一。

数学本来就是思维的产物，不严格地说这是一门规定出来的学科（不是科学）。这些规定并不是一成不变的。所以教材上改变自然数的定义并不是什么大问题。我觉得考试按教材的规定作答，但是能够了解事情的来龙去脉远比一时的对错更重要，不是吗？

但毕竟是人为定义，爱怎么定就怎么定吧

国内教科书规定零算自然数。

因为不同的人对他的理解不同，所以造成对自然数的定义也就不同。而现在数学里从皮亚诺公里到基数理论和序数理论都习惯于将0算做自然数（而数论里却相反），其实说穿了就是为了方便。

不过从实用角度来讲，把0算成自然数在大多数领域确实更方便（其他的就忍耐一下用正整数替代好了）。别的不说，如果自然数不包括0，那10，100，1000这样的自然数却又必须引入0就很不方便（虽然后者的0严格来说是占位符而不是数字）。

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There is no universal agreement about whether to include zero in the set of natural numbers: some define the natural numbers to be the positive integers {1, 2, 3, ...}, while for others the term designates the non-negative integers {0, 1, 2, 3, ...}. The former definition is the traditional one, with the latter definition first appearing in the 19th century.