主题：【讨论】数学思考题 -- 伊粟

两位数年龄的甲乙两人，甲为XY，乙为YX，且X不等于Y，则称之为对易数年龄。试问任意两个人至少年龄差为多少才能在一生中至少出现一次对易数年龄，以一百岁作为两个人的寿命上限，试问最多出现一次的年龄差是多少，出现次数最多的年龄差和次数又是多少？

8次： 12-21；23-32；34-43；45-54；56-65；67-76；78-87；89-98

这个我前两天恰好想过。结论是只有一个可能，就是每１１年对易一次。因此最小年龄差出现在１２岁和２１岁之间，为９岁的差距。同样是这对组合，一生可能出现对易８次，分别为１２／２１， ２３／３２， 。。。。。。， ８９／９８。

这到题的初衷是前两天新闻报道的某人从２８／８２ 到３９／９３的事吧？我就是看到那个新闻开始想这个问题的。

29/92, 39/93, ......, 89/98, 任何与９组合的数对都只能对易一次.

如2-9 和1-8年龄差都是7。。。

Agree with your opinion. Details as below:

Let the age of the older and younger people be A and B,

Also let x,y be the integer representing the tens digit and ones digit of the older's age.

Then, in the case of “exchange age” (对易数年龄), we have

A=10x+y, B=x+10y ; (A,B, x,y are all integers)

also, We know x<>y, A>B, 0<A,B<100, (x,y) are in the set of {0,1,2,3,...8,9}

Then we have

x>y .......(1) (if x <y then B>A) and

0<|x-y|< 9 ......(2) ; and

0<A-B<100......(3) ;

From (3), 0 <10x+y-x-10y <100,

or 0<9(x-y)<100,

or 0<x-y< 11

Combining (1), (2), (3) ,

The constrain is : 0< x-y < 9, and (x,y) are in the set of {0,1,2,3,...8,9}......(4)

From (4), there are only 9 cases meet the required situation:

x-y =1, or A-B=1*9=9;

x-y =2, or A-B=2*9=18;

x-y =3, or A-B=3*9=36;

........

x-y =8, or A-B=8*9=72;

x-y =9, or A-B=9*9=81;

Therefore,

1. The minimum age difference is 9 years, which the two people can have at less one chance to meet the "exchange age" requirement.

which is in the case of x-y =1, or A-B=9;

2. Also in the case of x-y =1, or A-B=9; the two persons can have maximum chance to meet the "exchange age" requirement.

i.e., {01,10},{12,23}, {23,32}, ....{89,98}; in total 9 pairs.

3. In the case of x-y =9, or A-B=81; or the age difference is 81 years, the two persons can have only one (最多出现一次) chance to meet the "exchange age" requirement.

which is {09,90}.

先列一个等式

(10x + y) - (10y + x) = 9(x-y)

再加几个条件

1. 因为 x ！= y ，切 x - y 不能是负数（负数也行，只是反过来而已）

2. y 至少是1

3. x ， y 都是个位数，切不为0，即 取值范围是 1 - 9

再加一个属性

如果，x，y 满足以上条件，x+1，y+1 只要还在取值范围内，也满足同样的条件。

那么 x 值 可以取 2，3，4，5，6，7，8，9，

当x 取值2 时，两人的年龄还可以重复 （9 - 2 + 1）次，即 从（21 - 12）到（98 - 89） ，这时重复次数最多。

当x - y = 6 时就是翁帆套牢在山顶的情形。

09不算

没注意看清这个前提。

这样的话，x的定义域，就仅仅是从1到9的自然数。而y的定义域，才是从0到9的自然数。x与y的最大差值就是8而不是9。

因此，01,10;02,20; ......,08,80；和 09,90；都不应考虑在内。

如题

如果限定x,y分别属于{0...9}

第一组，y-x=1,年龄差为：9，共9次

（01,10）（12,21）（23,32）（34,43）（45,54）（56,65）（67,76）（78,87）（89,98）

第二组，y-x=2,年龄差为：18，共8次

（02,20）（13,31）（24,42）（35,53）（46,64）（57,75）（68,86）（79,97）

第三组，y-x=3,年龄差为：27，共7次

（03,30）（14,41）（25,52）（36,63）（47,74）（58,85）（69,96）

第四组，y-x=4,年龄差为：36，共6次

（04,40）（15,51）（26,62）（37,73）（48,84）（59,95）

第五组，y-x=5,年龄差为：45，共5次

（05,50）（16,61）（27,72）（38,83）（49,94）

第六组，y-x=6，年龄差为：54，共4次

（06,60）（17,71）（28,82）（39,93）

第七组，y-x=7,年龄差为：63，共3次

（07,70）（18,81）（29,92）

第八组，y-x=8,年龄差为：72，共2次

（08,80）（19,91）

第九组，y-x=9,年龄差为：81，共1次

（09,90）

所以：

1、任意两个人至少年龄差为9岁，才能在一生中至少出现一次对易数年龄，

2、以一百岁作为两个人的寿命上限，最多出现一次的年龄差是81岁，

3、以一百岁作为两个人的寿命上限，出现次数最多的年龄差是9岁，次数是9次。

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如果限定x,y分别属于{1...9}，则答案修改为：

1、任意两个人至少年龄差为9岁，才能在一生中至少出现一次对易数年龄，

2、以一百岁作为两个人的寿命上限，最多出现一次的年龄差是72岁，

3、以一百岁作为两个人的寿命上限，出现次数最多的年龄差是9岁，次数是8次。

结果自己不小心聪明反被聪明误。出于好奇看看是不是数学基础没打好的缘故，也给后来者提个警示。

红黑点分别代表XY和YX，蓝线段代表年龄差。