主题：要是我来出高考题，我会出这类的 -- 大洋芋

不说这些，是因为下面两个例子很多人都知道了，不适合当考题。

1. 定义在实数上的函数g满足对所有的实数x，y都有g(x+y)=g(x)+g(y)，且不存在实数a，使得g(x)≡ax，证明g(x)的图像在平面上稠密，即，平面上任何一个半径不为零的园内都可以找到一个点(x,g(x))。

2. 称定义了内积的实向量空间为欧氏空间（下面大写的英文字母代表向量，小写希腊字母代表实数，|U|代表向量U的长度，*代表实数乘法），在欧式空间上定义一个二元函数g，我们称之为乘法：g(U,V)≡U×V=W，满足以下条件：

1. 结合律：(U×V)×W≡U×(V×W)

2. 线性，分配律：(αU+βV)×W≡α(U×W)+β(V×W)；W×(αU+βV)≡α(W×U)+β(W×V)

3. 连续性：|U×V|≤|U|*|V|。（这条表示我们不希望两个一般大小的向量可以乘出很大的向量）

4. 存在乘法单位E，满足E×U≡U×E≡U，且|E|=1

证明仅在三种情况下这种定义才是可能的，而且确实是可以定义的：

a). 一维空间，乘法等同于实数乘法：(αE)×(βE)=(α*β)E

b). 二维空间，乘法等同于复数乘法：即可以找到单位向量I垂直于E，I×I=-E，一般地，(αE+βI)×(γE+δI)=(α*γ-β*δ)E+(α*δ+β*γ)I

c). 四维空间，乘法等同于四元数乘法：即可以找到单位向量I，J，K，使得E，I，J，K两两垂直，且I×I=J×J=K×K=-E；I×J=-J×I=K；J×K=-K×J=I；K×I=-I×K=J

特别地，证明这种乘法必定满足|U×V|≡|U|*|V|而不仅是|U×V|≤|U|*|V|

上面这两题都没有超纲，但是要做出来需要真功夫，第二题属于现在流行的给材料，给信息题。

• 关于复数，我个人很喜欢这种导出方式

如果我预先看过这些书，有基本的理解，做题就有很大优势。

这是在鼓励学生们预习大学教材么~~

会做的不看也会，不会的大学毕业也未必会。

虽然近来大力扩招，大学数量还是不能满足需求，因此高考还是选拔而不是达标考试，在这个前提下很有必要用考题区分出真正有能力的和经过一年多重复重复再重复形成条件反射的那种考生。

那么多符号，学生一看就晕了，要出事故的

及时不需要特别的大学知识，也未免太抽象了，而且不能考察学生对高中知识的掌握情况

估计学生会崩溃的，当然状元除外

否则最后的结果就是中学生的课业负担越来越重。中国人对付GRE什么的都有办法，何况这么几道题？

与其让学生把时间浪费在低水平重复上，还不如做些比较能够开阔视野的东西。

不过第一题并不难，那些位有兴趣练练手？如果以前没见过的话。

没学过抽象代数这类东东，大概想了一下，不知道对不对？

第一题：

1、因为“且不存在实数a，使得g(x)≡ax”

总存在g(x0)/x0=alpha 使alpha不是0

存在一个点x1使得g(x1)=alpha*x1+beta （beta也不是0）

2、因为“g(x+y)=g(x)+g(y)”

所以g(x0)=2*g(x0/2)=4*g(x0/4)=...=2^n*g(x0*2^(-n))...

3、把x1写成x1=n0*x0+n1*x0*2^(-1)+...+ns*x0*2^(-s)+dx，其中ni都是整数。可知 g(x1)=alpha*(x1-dx)+g(dx)，推出g(dx)=beta+alpha*dx，定义为b

4、对于任意一点(xx,yy)，做一个半径为r的圆。xx可以写成xx=m0*x0+m1*x0*2^(-1)+...+mt*x0*2^(-t)+dxx，其中mi也都是整数，只要t足够大dxx就可以小于r/4。

5、如果yy-g(xx-dxx)=c的绝对值也小于r/2，那么这一点就找到了，否则在3中把s取足够大，可以同时做到以下两点:

因为beta是一个常数，总可以找到足够大的r，使c=L0*b+L1*b*2^(-1)+...+Lr*b*2^(-r)+d时，d的绝对值小于r/2（Li也是整数）

而且dx足够小，使L0*dx+L1*dx*2^(-1)+...+Lr*dx*2^(-r)的绝对值小于r/4

6、于是我们就在圆心为(xx,yy)，半径为r的圆内找到了点：

x=xx-dxx+L0*dx+L1*dx*2^(-1)+...+Lr*dx*2^(-r)

y=g(x)=yy-c+L0*b+L1*b*2^(-1)+...+Lr*b*2^(-r)

这里|x-xx|<r/2；|y-yy|<r/2，g(x)=y，得证

不过这个想法明显是学了微积分以后的思路，还不知道是不是严格，不知道有没有特别简明的做法...

x0可以直接取成1，α是不是零无关紧要。如果先证明对有理数q有g(qx)=q*g(x)，后面的表述就不会这么啰嗦了。

对第二题有没有兴趣啊？

其实中途看出来g(qx)=q*g(x)了，已经写了一半，就没有改...

第二题好像没那么明显，得想想，过两天吧...