主题：在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 -- 大明湖

不过，此例究竟是否如贝特兰的悖论一样，还待高人给出一个确实的说法。

贝特兰的概率悖论

在日常生活中有许多事情，如果你细细思量一番，就会觉得其间有些自相矛盾。

比如，一个村子里只有一位理发师，这位理发师只给本村不替自己理发的人理发。这是长年延袭下来的，不可违背的村规。现在问：这位理发师的头由谁来理？

无论怎样的答案，都将出现矛盾。倘若理发师的头发是“由别人理”的，那么按村规他的头必须由理发师来理，但村里的理发师只有一个，这就变成理发师自己理自己的头，这与原先假定的理发师头“由别人理”自相矛盾。又若理发师的头由“自己来理”，那么按村规：由自己理发的人，理发师是不该给他理的。然而“他”的头，恰恰就是理发师理的，又矛盾。

上例在数学上称为“悖论”，意思是自相矛盾的奇谈怪论。一门学科出现悖论，表明该学科的基础还不够严谨。十九世纪末，集合论已成为近代数学的基本工具之一，但究竟什么是集合，连它的创始人，德国著名数学家康托（Cantor，1845～1918）教授，也没有能完全讲清楚。1902年，英国数学家罗素（Bretrand Russell 1872～1970）提出了一个类似于前面例子的集合悖论，使人对严谨的集合论产生怀疑，从而给整个数学界以极大的震动。此后多年，许多著名的学者绞尽脑汁，试图医治这个怪症，终于使集合论的基础研究取得了重大的突破。

集合论是如此，概率论也是如此，到十九世纪末，概率论虽说已经头角峥嵘，但由于缺乏严格的理论基础，常常被人找到一些可钻的空子。其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰（1822～1900）提出的概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形边长a的概率是多少？

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因为设PQ为直径。以P、Q为顶点作圆内接等边三角形，分别交PQ于M、N点。在PQ上任取一点H，过H作弦AB⊥PQ，由H必为AB中点。显然，要使AB长大于a，必须使H落于MN之中，易知MN的长为PQ的一半。

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因为设AB为任意弦，由AB中点H必在以AO为直径的小圆周上。过A作圆内接等边三角形交小圆于M、N点，显然，要使AB长大于a，必须使H落于MN上。易知MN的长为小圆圆周的三分之一。

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因为设AB为任意弦，H为中点。显然，要使AB长大于a，必须使OH小于a/2，即在大圆半径一半的小园内。这样小园的面积是大圆的四分之一