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主题：【原创】庖丁解字 之 烟涛微茫： 中国古代数学的无穷思想 上 -- 丁坎
家园 【原创】庖丁解字 之 烟涛微茫： 中国古代数学的无穷思想 上 海客谈瀛洲，烟涛微茫信难求这是李白名作 梦游天姥吟留别 的首句，大家都已耳熟能详了。瀛洲虽然微茫，对李白却不是问题----
他转笔就把诗情挥洒在梦里的天姥胜景，瀛洲早被抛去了爪洼国。我要写的这个话题，微的字形分析和中国古代数学的无穷思想，其渺茫程度比瀛洲好不到哪里去，而我又无法转笔，只得硬着头皮写来，不周之处还望各处海涵。
微茫一词，现在不怎么用了，取而代之的是渺茫二字。微和渺的这种对举关系在更多的材料中得到了显示。
今传老子五千言，开篇就说：
故常无欲以观其妙常有欲以观其微
(微作徼也很常见，此处不讨论。)
此句标点，释义也是说法众多，但不管哪种说法，都得承认：妙和微是对举的观的对象。
微和妙的这种联系，通过微妙这个常用词在现代汉语中得到了保存。
由此看来，似乎渺和妙有很紧密的联系：
从字形来看，都有少这个部件。
从字音来看，同音而只有声调差别。
从字义来看，都与微对举。
如果你大胆猜测，这里的妙和渺是同一个字，那就得恭喜你答对了。单凭以上几点而下断言肯定是不够的，不过，我们还有别的证据。在出示别的证据之前，我们先来讲个小故事。
(故事是多年前读的，忘了具体的人物，粗粗搜了搜，没有结果。希望知道的朋友能告诉我。)
话说有个大人见到一个小孩子，问这孩子是否识字。小孩说会识字，大人就随手指了指旁边一个牌子上写的 此路不通 来考孩子。孩子说他只认识后面三个字。大人有些奇怪，此字很常用，字形也不难，不该不认识。小孩解释说：我已经读完了论语。论语里面没有这个字，所以我不认识。大人大吃一惊，跑回家翻论语，翻完发现果然是这样。论语没有此字，所有后人用此的地方在论语里都是用斯。
类似地，今传道德经中的妙字，在道德经所处的时代，也根本没有出现。
整部说文解字没有妙字，所有的妙字都由眇字代替。
外链图片需谨慎，可能会被源头改说文对眇的解释为：小目也。(据段玉裁改，原作一目小也。)
意思比较含糊，大致是把小当作对眼睛的限定了。其实这里应该是以目视小。
所以这个字的本义应该是小和看小的东西。因为看小的东西看不清楚，所以派生出了
帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予那种望而不见的含义，进而又派生眼疾的含义。
(确定构字部件后如何理解部件之间的组合关系，这也是会意字的一个难点。如树杪百重泉的杪字，就应该把小解作对木的限定，作树梢讲。)
用例见康熙字典：
【唐韻】亡沼切【集韻】【韻會】【正韻】弭沼切，??音藐。【說文】一目小也。【釋名】目匡陷急曰眇。眇，小也。【正韻】偏盲也。【易·履卦】眇能視。【穀梁傳·成元年】晉郤克眇。 又【正韻】微也，細也，末也。【前漢·昭帝詔】朕以眇身護保宗廟。 又【博雅】遠也。【莊子·庚桑楚】藏其身也，不厭深眇而已矣。 又【增韻】盡也。【荀子·王制篇】王者仁眇天下，義眇天下，威眇天下。 又細視也。【前漢·班固答賔戲】離婁眇目於毫分。 又杳眇，遠視貌。【史記·司馬相如傳】俛杳眇而無見。 又【集韻】【正韻】??彌笑切，音妙。【類篇】成也。【易·繫辭】眇萬物而爲言。王肅說。今本作妙。 又【集韻】眇然，微細貌。 又幼眇，精微也。【前漢·元帝贊】窮極幼眇。【註】師古讀要妙。 又要眇，好貌。【楚辭·九歌】美要眇兮宜修。
通过以上分析，我们了解到，妙即眇，也就是后来的渺，含义为小。
同样的，微字与妙对举，也是微小之义。那么，这个字的字形是如何表现小的含义呢？
元宝推荐：张七公子,家园 庖丁解字 之 烟涛微茫： 中国古代数学的无穷思想 下 上文说道，微以手抉微，眇以目视小。微取象于飘散的发丝，而眇取象于散落的点(小为三点，少为四点，义同。) 微眇表现的不是不同的小，而是成为人类认识对象的小。
由此，微与眇均发展成为中国哲学的重要概念。
微眇共举已在道德经第一章中得到表现。
而由于语言发展的不平衡性，微字似乎得到了更多关注，在历史舞台上占有了更重要的地位，
例如在下面的哲学思考中：
道德经说：
视之不见名曰夷，听之不闻名曰希，搏之不得名曰微。此三者不可致诘，故混而为一用今天的语言来说，实际上就是刻划道不为人类视觉，听觉和触觉所企及，超越了感觉的极限。注意，搏与微的组合，也是对我们推断的一个验证。
庄子.秋水
河伯曰：「世之議者，皆曰：『至精無形，至大不可圍。』是信情乎？」北海 若曰：「夫自細視大者不盡，自大視細者不明。夫精，小之微也；垺，大之殷也；故異便；此勢之有也。夫精粗者，期於有形者也。無形者，數之所不能分也；不可圍者，數之所不能窮也。今传道德经河上公注，在搏之不得名曰微之后注解到：
无形曰微以上还仅仅是在哲学思考，但是，我们可以注意到，微已经开始表示
搏之不得的无形的小，这种小，与数学上的无穷小的之间的联系已经呼之欲出，只等一个数学家张口呐喊。
魏晋时期的刘徽就是这样一个应运而生的数学家。
在介绍刘徽的工作之前，我们需要交代一点预备知识：
中国古代数学具有强烈的应用性，在几何学上的体现是，数学家们的考虑对象是在社会生活中常见的特殊几何形体，而没有进行一般化处理。
这些形形色色的特殊形体的名称正如沈括说：
“算术求积尺之法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣。”--------《梦溪笔谈·技艺》：
下图所示是一些常用的形体，其中前三个是我们今天主要处理的对象：
堑堵（沿长方体对角面切割而得的楔形立体）
阳马（直角四棱锥）
鳖臑（四面均为直角三角形的四面体）
设堑堵的长宽高分别为a,b,c，易见堑堵体积为abc/2,因为两个这样的堑堵可以拼成一个
长宽高分别为a,b,c的长方体，而长方体的体积为abc。
那么长宽高分别为a,b,c的阳马体积是多少呢？
大约成书于西汉末到东汉初之间的《九章算术》里有这个问题的解答：
今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何?答曰：九十三尺、少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。
即说阳马体积等于abc/3。
《九章算术》里给出了算法，但没有给出对算法的解释，让人对这个算法无法完全信从。
刘徽为《九章算术》作注时开始着手给出阳马体积求法的合理解释。
用论坛语言来说，就是《九章算术》的作者挖了个坑，刘徽试图帮他填坑。
坑有小有大，这个坑呢？
很大！大到一个平庸之辈把一生填进去也填补不满。因为当时处理这类体积问题的方法主要是通过对已经体积求法的
几何形体进行切割，期望将切割后的几何体重新组合，可以得到待求体积的几何形体，从而求得其体积。而这个方法
对付这个坑是无能为力的。
1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上提出了23个数学问题(23个大坑！)，为二十世纪的数学发展指定方向。
其中第三个问题是这样的：
若有任意两个体积相等的多面体，能否通过有限次切割，将第一个多面体组装为第二个多面体？
这个问题由希尔伯特的学生 Max Dehn 解决了，答案是否定的。
也就是说多面体体积问题必须引入无穷思想才能得到解答。
刘徽填坑的时候大约是在十几个世纪之前的公元三世纪中叶，他面临的困难可想而知。
我们今天已经不知道这个坑里填入了他多少苦苦思索的日夜，多少反复拼砌的几何模型，多少呕出的心血，但是我们知道，他把这个大坑填平了，而且，用的关键概念是微。
他的论证过程是：
其使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之棊各二，皆用赤棊。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棊一，堑堵、阳马之棊各二，皆用黑棊，棊之赤黑，接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中效其广，又中分其高，令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺，方二尺，每二分鳖臑则一阳马也。其余两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棊改，而固有常然之势也。按余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广袤高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉。数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。其数学含义大略如下：
如上构造的鳖臑包含四个部件：两个小堑堵和两个小鳖臑，均为红色。
阳马包含五个部件：一个小立方，两个小堑堵和两个小阳马，均为黑色。
显然，来自鳖臑的两个小堑堵体积为来自阳马的一个小立方，两个小堑堵体积之和的1/2。
鳖臑剩余的两个小鳖臑与阳马剩余的两个小阳马体积之比呢？
按照上面的方法继续操作，鳖臑与阳马的体积比，已知部份始终是1/2，而未定部份取决于不断变小的小小鳖臑与小小阳马之比。
由于这样操作每次尺度减半，鳖臑与阳马的尺度如同一个无穷的等比数列：
1，1/2，1/4.........
用现代的语言来说，这个数列是收敛的且极限为0。
用刘徽的话来说：半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉。
(刘徽文中说到的1/4是就体积而言，我们说1/2是就线度而言，只求叙述方便，没有区别。)
于是，我们可以确定，鳖臑与阳马的体积比是1/2，在它们组成的堑堵中，阳马的体积是2/3，
所以，阳马的体积=堑堵*2/3=abc/2* 2/3= abc/3 .
刘徽对阳马体积的求索，不禁又让我们想起 烟涛微茫信难求 的诗句。
瀛洲虽微茫，犹有舟楫可渡。而无穷小之烟涛微茫，让普通人只能望洋兴叹：欲济无舟揖。
刘徽天才思想造就的舟楫是古代探险无穷世界的冲锋舟，更是今世我辈仰而有愧的丰碑。
参考文献：
郭书春 中国古代的无穷小分割思想 外链出处
Donald B. Wagner An early Chinese derivation of the volume of a pyramid:
Liu Hui, third century A.D.
清华大学“中国科技史数字图书馆资料库”
附记：应该还有个补，不过今天太累了，看看大家有什么问题再说。
家园 【原创】庖丁解字 之 烟涛微茫： 中国古代数学的无穷思想 中 在讨论文字源流时往往需要深入到对构字部件的分析，这就产生一个如何输入的难题。
为了方便下面将要进行的讨论，我们先来完成几个约定：
微字除去双人旁的部份，我们叫A
A去掉反文旁的部份，我们叫B。
说文对微的解说：
外链图片需谨慎，可能会被源头改说文对A的解说：
外链图片需谨慎，可能会被源头改两字合观,我们可以发现，微字的本义应该是道之小者，即小路，如诗经中有
遵彼微行。小的含义来自A，而A的字形包括B和反文旁。反文旁本身没有小的含义，那么
微之小义，必须落脚到B。
说文本身没有提供关于B的进一步信息，那么，我们的讨论是否只好到此为止了呢？
不，所幸我们还有甲骨文资料。要说清楚B的含义，就不得不提到甲骨文研究中的一个标志性事件----卜辞四方方名和风名的发现。
1941年，胡厚宣先生发表了《甲骨文四方风名考证》一文，在卜辞中释读出四方方名与四方风名，并阐发了卜辞方名，风名与传世文献《尚书》 《山海经》乃至《夏小正》《国语》中相关记载的对应关系，在学术界引起轰动，杨树达先生对此高度评价道：
而甲学诸家能以故书雅记稽合甲文以证明古史者,寥寥不过数人,胡君厚宣其一也。庐江刘氏藏一片,所记为四方风名,君以尚书尧典及山海经诸古书证合之。是其事也,昔王静安以楚辞山海经证王恒、王亥,举世莫不惊其创获。及君此文出,学者又莫不惊叹,谓君能继王君之业也。在胡厚宣之后，杨树达，于省吾，裘锡圭，林沄等诸先生又在几十年的跨度中持续对四方方名和风名的释读进行了探讨。这一系列的探讨胜义纷呈，精彩迭出，可以说是文字学研究的示范文本。由于篇幅所限，本文不打算对此进行全面介绍，而将注意力集中在与本文话题密切相关的南方风名上面。
上图即所谓庐江刘氏(刘体智)藏一片载有四方风名的甲骨拓片，
其中右起第二行释读为：
南方曰因，风曰B。
胡厚宣先生将B释为 微，得到了大多数学者的赞同。
他们认为B是微的初文，并通过微音通凯，与诗经的凯风自南和尔雅的南风谓之凯风联系起来。
林沄先生在 《说飘风》 一文中对此提出了反对意见，他的主要理由是：
1 一个构字部件不一定就是一个字的初文，比如说牛这个部件就不是牧的初文。
2 微音与凯音的通假证据不足。
他将B解释为批长发的人形，认为B即髟，髟风即吹得人长发飘飘的风。
髟，说文释为：
長髮猋猋也。林先生说：
对于前说对文献的引证，他指出，文献中除了凯风之外，飘风，飙(左部)风也习见。
通过对飘风古注的分析归纳，得出结论：飘风可泛指一切骤起的大风，这类风在中原地区通常集中发生于夏季，故用以配南方，是合宜的。
此外，他还在卜辞中找到了许多 关于髟的辞例，与 卜辞习见的
关于风的词例均可相互映证。
我们认为林沄先生此说可以信从，那么B即为髟--披长发的人形。
A即以手梳理头发，其义为小。
在造字初始的年代，以人体最微小的部份发丝来表达微小之义，应该说是最自然的选择。事实上，善治小者往往喜欢用发丝来展现自己的技艺。这一传统在今天也还维持着，如下图，陈建全的头发丝微刻作品《醉翁亭记》
与眇进行一下比较，前者是以目视小，以表征小，
后者是以手抉微，以表征微。
到今天，人们仍然以发丝来形容极小。
读者可能会问，既然微眇二字的构字部件已经有小的含义，为什么还要添加手形和目形，这是不是画蛇添足呢？
答案是：不，单纯的小和头发所表示的小还没有成为人类操作的对象，加上手形和目形后，这种小才成为眼睛与手的操作对象，进而成为人类的认识对象。这一点，对于微眇二字在汉语中的使用是极为重要的。
家园 孟嘉的帽子 梦露的裙子 本文写道：
南方曰因，风曰B。
B长期以来被解释成凯，微之初文。
支持此说的根据之一是：
诗经凯风自南
和尔雅的南风谓之凯风。
但林沄先生的飘风说同样具有文献根据：
诗经也有
有卷者阿，飘风自南的说法。
就信从飘风说而言，
文献中除了凯风之外，飘风，飙(左部)风也习见的现象已经足够。但进一步思考，凯风与飘风的关系如何也是需要回答的问题。
写此文的时候苦于没有线索而无从答起，
偶得九霄环佩兄发文介绍
陶渊明诗文之一：和郭主簿二首（其一）
中有：
凯风因时来，回飙开我襟顿起踏破铁鞋无觅处，得来全无费工夫之感。
此句很清楚地说明了凯风的性质---回飙。
可见凯风，飘风，飙风都是一回事。
那么凯风之名从何而来呢？
应当还是与长发飘飘的字形有关。
初步可以认为凯是微的形讹，准确的说是A的形讹。
飘风骤起，长发飘飘，需要用手去按住它，所以需要一个手形。
这不由得让人想起一个故典来：
陶渊明《晋故征西大将军长史孟府君传》载：
孟嘉为征西大将军谯国桓温参军。“君色和而正，温甚重之。九月九日，温游龙山，参佐毕集，四弟二甥咸在坐。时佐吏并著戎装。有风吹君帽堕落，温目左右及宾客勿言，以观其举止。君初不自觉，良久如厕，温命取以还之。廷尉太原孙盛，为咨议参军，时在坐，温命笔令嘲之。文成示温，温以著坐处。君归，见嘲笑而请笔作答，了不容思，文辞超卓，四座叹之。”从此，后世文人一说重阳就要用这个典故，
常恨世人新意少爱说南朝狂客
把破帽
年年拈出
的故典。
搞得
孟嘉的帽子
在中国古代
比
梦露的裙子
在美国现代
还出名。
看过梦露照片的朋友，一定对她按住裙子的动作记忆犹新。
那么，风骤起，有帽落帽，无帽头发飘起，用手按住头发自然并无疑议了。
需要说明的是，有人可能会很怀疑：
你刚论证了A的字形是以手抉微以示微，
现在又说以手按发，吹动头发的风可不小，
从微到不小是不是自相矛盾呢？
其实不存在矛盾：
前者的发并非实指，而只是微小的象征物。
所以手形符号是以手抉微。
后者的发是实指，被吹动的头发，
所以手形符号是去按住它，主要表征的不是风大，
而是风骤起。
而且，同一个字形，在会意时组合出不同意思并不罕见。
举一个常见的例子吧：
休，
这个字今天一般解作休息，休止之意，
从人从木，人靠在树下休息。
先秦常见
先生可以休矣
又如诗经中：
南有乔木 不可休思都是这个意思。
但是，休字另外还有一个意思，也源自 从人从木，
却完全不同，
用例如诗经.商颂.长发：
受小球大球，为下国缀旒，何天之休。这个休字，就是福荫的意思。(何为负荷之荷，何天之休即蒙受上天福荫)
是从人在树下，得树荫蔽而来。
家园 真的很厉害。 提到《论语》，想到论语中的字，当时的含义跟现在白话文的含义差别很大，而现在市面上的翻译，基本都是按照字的白话文的含义来解释的，而且断句也成问题。
家园 坐等下文 家园 希望下面能谈谈妙和微的区别。 家园 献花，等下文。 家园 送花 家园 老丁是俺的百字师啊。花！ 家园 花，丁兄的沙发是要坐的！