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主题：【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科
家园 【讨论】【分享】动脑筋消遣 实在无聊，又不会写文章，分享两个问题。虽然没有创意，但好歹也是主题贴，谁想送花，赶紧，先谢谢您先，过两天改了版，不知道咱小虾有没有得混啦。
（1）三个盒子其中两个装着石块，一个装有金条。你初选一个先不打开。然后主持人打开另外两个的其中之一，是石块。问：你坚持自己的初选，还是改选择另外那个盒子？
（2）三位枪手决斗，枪法命中率分别是1/3，2/3，3/3。由弱到强轮流开枪。问：如果你是那位1/3你应该朝谁开枪？（注：可以朝天放枪。假设另外两位枪手都会作出最佳决定。）
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 完整来说应该分3种不同情况讨论 I：确定主持人知道秘密，每次总打开空盒。
II：确定主持人并不知道秘密，只是碰巧打开空盒（换言之，有时会打开金盒）。
III：不确定主持人是否知道秘密，所以无法确定他是有意打开空盒，还是碰巧打开空盒。
建议一个“笨”的方法---模拟。
情况I最好做，自己用三张扑克牌，每次洗牌后选定一张，直接翻开就知道输赢了。
情况II稍麻烦也可以做，想快点就写个小程序。
情况III有点麻烦。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 【原创】预先决定的选择 第一题在网上有许多讨论，正确的观点是在主持人翻出空盒子后改变原先的选择，中奖的概率将是2/3，不改变选择的话中奖概率就是1/3。不过许多讨论结果经常将人搞得更迷糊。我们迷惑的是不管我第二次到底改不改选择我都是从三个中挑一个，而且即使我第二次改变选择也不过是二选一，那么和不选有什么区别。为何命运在这次选择中发生了巨大的变化？
突然想起《Matrix II》（黑客帝国）中Neo和祭师之间的那次对话，感觉就像为这题而设的
Neo：Do you already know if I will take it
祭师：Wouldn’t be much of an oracle if I didn’t
Neo：But if you already know, how can I make a choice?
祭师：Because you didn’t come here to make the choice. You’ve already made it. You’re here to try to understand why you made it.
祭师一如既往地没有正面回答问题，这里我来尝试一下解释命运是怎么改变的。
首先，这里有两次选择，第一次是随机选择，真正决定命运的就是这次，虽然祭师知道你会做什么选择，但是命运并不在她手里，她只是预先看到了一些事情而已。当然了，如果你认为我们不过都是Matrix里面的程序的话，当我没说。第二次选择其实不是选择，而是一次决策，在精确的计算下所谓的选择是确定的——这就是题目迷惑人的地方，第二次选择其实和概率无关！是预先安排好的——You’ve already made it. You’re here to try to understand why you made it.
决策的依据是主持人翻开的盒子，如果是空的，那么你就必须改变原先的选择！否则……等会再谈这种情况。
我们用最笨的办法先列出我们的所有选择情况。先给盒子编号A,B,C。其中A中有我们要的东西。那么如果我们选择改变的策略那么两次选择的盒子有AB,AC,BA,BC,CA,CB六种可能，其中BA和CA的决策将是我们想要的结果，而其他四种决策都是失败的。从概率上看的确是1/3。但是命运在主持人翻出一个空盒子的时候被改变了。由于这个空盒子，BC和CB这两条支流悄悄地在我们命运的河中消失，于是我们只剩下AB,AC,BA和CA四条支流。虽然有4条支流，但只有3个入口，这就是你的第一次选择。命运给我们开了个玩笑，第一次选对的话反而一无所得，好在这个概率只有1/3。只要主持人翻出空盒子，我们就知道命运发生了改变，因此改变是我们唯一的选择。
不过主持人如果翻出一个有金条的盒子，那就接受命运吧。实际上如果主持人知情的话，他/她总可以翻出一个空盒子，从而将两条可能失败的分支帮你去掉。这种情况我觉得应该算一种合谋作弊，和概率没什么关系。
（我的答案和主持人知不知情无关，关键是主持人翻出的是不是空盒子）
通宝推：侯登科,家园 我怎么还是觉得选与不选没有区别 我还是觉得在主持人开了一个无效的盒子后，保留原来选择的盒子，还是选择另外一个盒子，得宝的概率应该是一样的，就是50%。
在你列出的六种可能中，我觉得你还漏列了 AA,BB,CC 这三种情况。也就是在第一次选择之后，继续保持第一次选择结果的情况。这样的话，总共是9种可能的组合而不是6种。在主持人翻掉一个空盒子后，BC和CB如你所说消失了，同时，BB或CC中的一个也消失了（主持人选了B则BB消失，选了C则CC也消失，但是只会是其中一个消失）。这样，最后剩下 AB,AC,BA,CA,AA和BB或CC的一个。经过两轮选择，BA,AA,CA这三种情况可能得到A，则得到A的可能性就是3/6。
关键是这一句：“第一次选对的话反而一无所得，好在这个概率只有1/3。”这句话在第一次选对，然后继续保持的情况下不成立。
家园 谢老大捧场：） 家园 关键在主持人是否是有意为之的 解释A：
一个前提是，不论主持人如何动作，主观意愿怎样，都不会改变你手里盒子的得宝率（！），它永远是1/3。如果主持人是随机打开盒子的，主持人打开宝盒的概率为3/2乘1/2等于1/3，打开空盒的概率也是1/3。在后一种情况下，你手里的盒子和剩下的盒子得宝率相等，1/3 vs 1/3，重新计算为各1/2。问题在于，如果主持人是知道内幕的，并且有意去掉空盒子，不存在主持人打开宝盒的情况，所以剩下的盒子的得宝率为2/3。
解释B：
如果你第一次选对，概率为1/3，主持人有意从两个空盒中去掉一个，剩下的一定是空的。如果你第一次选错了，概率是2/3，奖品必在剩下的两个之中，主持人去掉空盒，剩下的一定是宝盒，它实际上汇集了两个盒子的中奖率。所以，手里的盒子的中奖率一定是1/3，剩下的一定是2/3。
家园 化为纯概率题的说法 当主持人翻出一个空盒子的时候，改变初衷的命中概率（针对第一次选择）是多少，不改变初衷的概率由是多少？
这是一个条件概率的计算，由于条件概率所以可能的事件发生了变化。
家园 我也把事情搞复杂了 我说过第二次的选择（选择改不改变初衷，不是选择盒子）是一种对策，不是随机事件。所以两种对策的情况必须分开考虑。这样不改变初衷的情况是AA,BB,CC，而改变初衷的情况是4种（由于主持人的缘故少了两种）。这两种对策由于第二次选择是确定的，因此概率从第一次选择开始算分别是1/3和2/3。所以我说第一次选择决定命运，第二次选择你应该一早就made it了（命中注定的）。
有意思的是如果你第二次选择也是随机的时候Oracle和你将看到不同的世界。注意第二次选择随机的意思是你有一半机会选择改变初衷，也有一半机会不改变初衷，表现出来的现象确是换不换盒子。这样Oracle看到的或者是1/3，或者是2/3的概率。而对你而言是1/2！
我之所以想起黑客帝国就是因为这个，预言师可以看到一切，但我还是可以选择！
家园 绕来绕去，换个思路试试 即首次选择无效，那么管你什么概率，先知啥的统统GET OUT。
第一次选择对结果其实完全无影响力，所以直接剔除，那么就很容易理解这一过程了。
家园 其实从概率来说只需知道一件事 那就是不换你选中的概率总是3分之1.
家园 问题是，在主持人翻开一个空盒子后，概率就应该是2分之1了 如果只是从三个盒子里选一个，概率当然是3分之1。但是在主持人翻掉了一个空盒子后，要不就是你手里的盒子里有东西，要不就是另外一个盒子有东西，结果就是2选1了啊。
家园 这第一题河里几年前就讨论过， 结论是：如果主持人知道内情，那么换就是2／3中奖。
如果主持人不知道内情，那么换不换都是1／2中奖。
俺再补充一点看法，象这种单次的情况下，机遇就上升为主要因素，看你rp怎么样了。就象买彩票，卖得多了总会有人中大奖，但作为中大奖的那个个人，就完全是碰运气了，概率毫无作用。
第二题，应该朝天放枪，或者对任一人但故意不打中。
很简单，如果你万一打中了，第二枪必定是对着你自己。不打中，第二枪即使想打人也会对着最强的一个。
三个人都选最佳决定，就会变成三个人轮流对天开枪。
家园 第一个问题用假设检验，第二个是经典的博弈问题直接知道答案 1.第一个问题用假设检验来做
（1）如果主持人是随机打开盒子。首先假设我拿到的盒子里面是金条，那么主持人打开的盒子里是石块的概率为100%。其次假设我拿到的盒子里面是石块，那么主持人打开的盒子里面是石块的概率为50%。所以接受第一个假设。即我手中的盒子是金条
（2）如果主持人是有意打开一个装有石头的盒子，那么我手中盒子是金条的概率为50%
（3）综上，我不会换盒子。
2第二个问题是经典的博弈问题，三枪手博弈（可以维基之），我本身就知道答案，如果没有对天开枪的话，最弱和次弱的人都会优先向最强的人开枪，最强的人死亡的概率最大。如果可以对天开枪，那么最弱者应该对天开枪。