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主题：回科学板，锐角三角形概率“年华似水流”的解法 -- CatOH
家园 重心的证明多显然阿 和你的1/2一样显然，如果非要证明就这样
单位圆上3点
a1：(sin(theta1),cos(theta1))
a2：(sin(theta2),cos(theta2))
a3：(sin(theta3),cos(theta3))
重心在(a1+a2+a3)/3处，据圆心的距离l：
l=sqrt(((sin(theta1)+sin(theta2)+sin(theta3))/3)^2+((cos(theta1)+cos(theta2)+cos(theta3))/3)^2)
总可以取theta1=0，
l=1/3*sqrt(3+2*(cos(theta2)+cos(theta3)+sin(theta2)*sin(theta3)+cos(theta2)*cos(theta3)))
0<theta2<180,180<theta3<180+theta2是锐角三角形的条件，用mathematica画个图一目了然。
家园 灌水，我的解法 为了赶紧攒积分，再灌一片
这题基本的假设是每一点在圆周上的概率分布均匀，如果没有这个基础就成了不爱吱声提到的贝特兰的概率悖论。
画一个单位圆，因为均匀分布，取第一点为（1，0）总是可以的，y轴与x轴垂直，取在第二点与第一点构成的劣弧a那一边（如果第一点第二点正好构成直径，那么y的上下方向就任意取，而且这种情况的概率为0，其实可以忽略），那么第二点对应的圆心角设为theta，可知theta<=pi。而且第二点的theta均匀分布。
过第一点与第二点作两条直径将单位圆分为四分，只有当第三点落在前面提到的劣弧a对面等长的劣弧b上时，三点才可能构成锐角三角形，这个概率是theta/(2pi)。
因为第二点theta均匀分布，所以构成锐角三角形的概率是:
{0-pi的积分[theta/(2pi) * d(theta)]}/pi
=1/4
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家园 正确，继续研究 实际上，任何一个三角形都有一个外接圆；圆上任三点都可以组成三角形。那就意味着，原题目可以修改为在平面内任何画一个三角形，其中画出锐角三角形的概率是多少？
于是，这个问题原来是可以脱离圆来考虑的。因此，还有一个求解方法是：仅仅利用三角内角之间的关系来求解，而不需要圆的存在。
设任意三角形三个内角角度为x,y,180-x-y,对于任意三角形，我们有：
0<x<180; 0<y<180; 0<x+y<180 （1）
对于锐角三角形，我们有：
0<x<90; 0<y<90; 90<x+y<180 （2）
用解析几何的方式，我们可以将x,y看成是两个坐标，第一个不等式组在x,y坐标空间上围出一个等腰直角三角形区域，两个直角边长为180；同理第二个不等式组在x,y坐标空间上也围出一个小一点的等腰直角三角形区域，两个直角边长为90。如果我们假设x,y的值在坐标空间是均匀分布的话，你会发现，第二个不等式组围出一个小三角形的面积正好是第一个不等式组围出一个大三角形的面积的1/4。
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家园 再灌点水 就可以了