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主题：【原创】“罪大恶极”的数学家 -- 潘承彪 -- 萨苏
家园 据说有上百种证明 家园 好玩呀。献花 记得上中学时证明过勾股定理。
方法是以直角三角形的三边为边做三个正方形，再加几条辅助线。因为，所以，又因为，又所以若干次就证明出来了。
哈，说起来容易。。。
家园 总算知道这题谁出的了 家园 出这类题目（把一个体系里的命题拎出来要求证明）的人确实欠揍 因为他没指明哪些命题或定理可以作为证明的基础，命题之间的关系往往是网状而不是树状的，为了不被说成循环论证，考生最稳妥的方法就是照抄课本里的证明或者从公理出发证明，前者只考背书能力不说，还会使学生思想僵化，不敢脱离课本划出的道道，后者要求太高，平时自己做练习还可以，考场上真是难为人了，何况中学的几何公理还是欧几里德的那一套，并不完备，为了证明需要自己加一些“显然”的东西，比如说借助精确的作图，这表明需要另外加一些公理，中学里不提而已，大家还记得是如何利用中学几何知识“证明”所有三角形都是等腰三角形，从而是等边三角形的吗？
家园 对于“所有三角形都是等腰三角形”问题河里曾经讨论过 使用平面几何与简单的代数就能证明那个"证明过程"是错误的。下面是具体论证：
家园 不敢苟同 这种题目可以说是“简单的难题”，考的不是对这道题目本身的证明，而是对欧氏几何学体系的了解。对这一体系了解清楚的人才能记得这些命题之间的逻辑顺序。学习一门科学总是从“分析”开始，即从最基本的公理出发一步一步推出它们可能有的结论。但到了一定阶段，对这一学科更高的要求便是要有综合的能力，要对这一整个逻辑体系的发展有一定的认识。这对进一步学习是很有帮助的。
另外，科学命题之间不可能是网状的，不会存在闭合的有向环，即不可能从一个命题出发，经过有限推导再回到本命题。否则便是循环论证，（或者这一环上的所有命题都是等价命题。这种情况下他们是一个命题）。科学体系中的命题之间只能是有向树关系。还有，欧氏几何是严密的逻辑体系，即从几个尽可能少的公理出发（任何科学体系都是如此）推导出一个严密的逻辑体系。这些公理也是“经验”的，不能证明（因为是所有逻辑的出发点）但和日常生活经验相吻合。虽然在殴几里德最初的几何原理中并不完善，但经过这么长时间的加工，我们初中课本中的欧氏几何已经是完备的逻辑体系了，并不需要“另外”的公理，（虽然将平行公理用另外的方式叙述可以得出另外的几何体系，但那也是与欧氏几何平行的等等，不多说了）。那个所谓的所有的三角形都是等腰三角形的证明我见过，具体细节不记得了，但那并不是欧氏几何的悖论，而只是一个错误的证明罢了,用初中几何知识便可以证明那个“证明”是错误的。
- 复 不敢苟同
家园 虽然是对于第五公设的怀疑引发了几何的严格公理化 但是严格化以后的几何公理和欧几里德的体系在平行公设上是一致的，不同点在于加了一些公理，补足了原来不自觉地依赖于直觉而没有标明的公理，如顺序公理，完备公理等。上面的那个证明的“错误”在于没有顺序公理作保证，中学里恰恰没有这个公理，因此如果仅从中学的公理体系来看，这个证明是对的，你认为那个证明是错的，必定是引进了一些欧几里德公理没提到的几何直观，比如说角平分线和对边的中垂线交于三角形之外，当然，这个符合事实，但却不是用欧几里德公理能够证明的。
几何公理的不完备会导致公理确定的几何和直观的几何不相等，从而引发矛盾（并非真正的矛盾，因为直观是不能作为证据的，只能引导我们去寻找一个更好的表述）。比如说，如果去掉了完备公理，我们就可以构造一个以通常平面上所有从单位出发尺规可作的点、线（线上的点当然只取尺规可作的那些）为对象的“平面几何”，这个模型不仅满足中学里的所有平面几何公理，而且满足希尔伯特公理去掉完备公理后的所有公理，显然，这种几何不是我们想要的。
家园 抱歉，说错一处 仅从中学的公理体系来看，这个证明是对的只能说不能说它是错的。
家园 什么是顺序公理？什么是完备公理？ 能够该介绍介绍
"角平分线和对边的中垂线交于三角形之外"用代数可以证明。并不需要引入新的几何公理。
家园 如果真感兴趣可以找本书看一下 这里有很多书下载，最经典的是希尔伯特的《几何基础》，如果觉得难可以看看《高等几何》。
用代数可以证明。并不需要引入新的几何公理这个看法错误的地方就在于你用了几何模型的性质来证明需要你从公理出发证明的问题。模型是满足所有的公理的，但是满足所有公理的并不一定就是这个模型，上面已经给出例子了，在那个模型里是不存在20度角的。
家园 多谢提供的信息，已经收藏 但确实不太明白你所说的
这个看法错误的地方就在于你用了几何模型的性质来证明需要你从公理出发证明的问题。模型是满足所有的公理的，但是满足所有公理的并不一定就是这个模型，因为我记得《几何原本》的很多证明中使用代数作为辅助证明手段。
anyway,等我先看了你提供的书籍再来请教。
家园 笑死了，老先生这个跟头栽的太爆了 后面高考题倒好说。反而是帮了差生了，大家一起死，均贫了。
家园 不找高中老师出题是有点道理的。 不然出题老师的学校不是占便宜了？
家园 哈哈,这个真是难为高中生了 估计有很多人用推论来证明的.