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主题：【原创】老马丁胡侃统计之三： 关于两个错误 -- 老马丁
小时候听过这么一个故事，某朝某代，皇帝问宰相：“全国有几个人呀？一年又生几个呀？”该大臣虽然掌户部，但是不管户口，当场就答不出来。郁闷的回家问LD, LD说，这容易，全国有12个人，鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪；一年生一个，就是那个属相动物。推比过来，我一辈子就犯两个错误，你一辈子也就犯两个错误，他一辈子也就犯两个错误，所有人一辈子就犯两个错误…
这两个错误在统计上有个挺好记但是又容易混淆的名字：一号错误和二号错误。一号错误指误真为假，二号错误指误假为真。任何不是100%确定的事情，都有可能发生这两类错误。这两个错误有什么特点呢：故总理的明言“错误是不可避免的，但是不能重犯”是老马座右铭之一，把这话改一改来形容这两个错误挺恰当的：这两个错误是不可避免的，但是你却不可能同犯。
举一个例子来说明：
花花公子老李去医院检查自己有没有患艾滋病，那么原命题是“老李没得病”。如果检测结果的正确性只是99%，即，如果老李得病，有1%的机会查不出来；如果老李没得病，也有1%的机会查不出来。这即有不确定存在。那么医生凭测试结果来判断老李是否得病，他肯定会按一定的可能性犯下面的两个错误之一：
（1） 老李的结果是阳性。但是老李确实干净。
（2） 老李的结果是阴性。但是老李是个定时炸弹
在（1）中，原命题“老李没得病”为真，医生却按测试结果误真为假，把老李判了死刑；在（2）中，原命题“老李没得病”为假，医生却按测试结果误假为真，放任老李继续祸害妇女百姓。
有人问，那么医生能不能不犯任何错误？比如说，医生能不能不凭测试结果来判断老李的病呢？这真是个好问题。
另外，一号和二号错误是相对于原命题来的。如果改变原命题，按上面的例子，原命题改为“老李有病”，上面的一号错误和二号错误要掉个。
为加深对一号和二号错误的理解，看道题先。还是接上面的条件，原命题是“老李没得病”，检测结果的正确性是99%，如果大众人群里得病的概率为1%，老李也是其中一员。请问：
如果老李查出阳性，那么他没病的概率是多少（即，医生犯一号错误的机会）？
如果老李查出阴性，那么他中招的概率又是多少（医生犯二号错误的机会）？
这道题有显著的生活应用意义。
上面提及，对一个原命题的进行分析判断都会发生这两个错误之一，但是这两个错误的后果却大不相同。接上面的例子，如果这个医生犯了一号错误，没病查出有病，那么老李肯定找另一个医生看看。独立事件的概率好算，另一个医生也犯错误的概率很低。退一万步说，这也会老李以后生活上也会检点一些，功在当代，利在千秋，对不？如果医生犯了二号错误，有病当没病，完了，老李气焰更嚣张了，以前乍玩乍没事…
各种统计测试是无法同时兼具克服两个错误的。降低一号错误发生的机会，就会增加二号错误发生的概率，反之亦然。既然错误肯定要犯，那么就定一条犯错误的原则吧。在设计测试时，通用的犯错误原则是，尽可能的降低那个后果严重的错误发生的概率。回到那个艾滋病测试的例子，为了尽可能的检测出真正的患者，那么就会让合格的标准，过关的门槛更苛刻，结果呢？有病的更会被查出来，但是更多的没病的会被当成有病。
在社会问题里面，关于一号错误和二号错误的犯错误原则被广泛的应用着。比如说，它有意无意的在指导人们的交友原则。交友这个问题同样会有两个错误：误交损友和错过好友。大多数人奉行风险回避，那么对他们而言误交损友的错误后果更严重一些，这也是为啥很多人在和陌生人交往时保守，含蓄，被动。但是另有一伙人热爱交友，知道世界上还是好人多，人间定有真情在，愿意采取主动的态度，不放过每一个交友的机会。那么对这些人来说，错过一个好友的后果更严重。这种人古代就有：宋江柴官秦叔宝。老外里更多见。河里的朋友呢，我觉得后一类不少。
把上面交友两字换成“婚恋”，又变成一个应用。老马某位知己的口头禅是对这两种错误态度的真实写照：“宁可孤寂一生，不可痛苦一世”。
法律上的应用也很广泛。美国的陪审团制度是一个具体的例子。在法庭上入某人的罪也是个测试。原命题是：某人无罪。一号错误：把无罪的某人关起来了；二号错误：把有罪的某人放跑了。美国的司法原则是宁可放跑坏人，也不可冤枉好人。很显然，美国人认为一号错误的后果更严重。在操作上如何实施的？辩方和控方互相砸砖，控方的拉人坐牢的论据要beyond all the reasonable doubts，即，入它人罪的证据必须经得起一切合理的质疑。这让辩方的工作比控方轻松，辩方只要提出一点让控方无法对付的质疑就行了。这就是无罪推定的实质。
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就是汽车报警器的误报率和漏报率，要是太灵敏了它老瞎叫，漏报率低。反过来就是不怎么误报，漏报的可能性比较大。:)
有趣的是测量结果一般不是100%确定的，这个和测量误差有关系吧。所以概率统计几乎无处不在。:)
先花，然后觉得这里似有疑问 --- “如果检测结果的正确性只是99%，即，如果老李得病，有1%的机会查不出来。如果老李没得病，也有1%的机会查不出来，即有不确定存在。”
俺的记忆，如果正确性是99%的话，那么，那个1%的错误率是针对一种错误的，而不是两种错误。假定原命题是“老李没病”，那么这个1%的错误率是说，--- 检测结果否定原命题“老李没病” (reject H-null)，可实际上老李没病，这种情况发生的概率是1%。这个概率大家都知道，是 alpha.
另起一行，省得乱糊 --- 维持原命题不变 --- “老李没病”，如果检测结果是维持原命题“老李没病”，可实际上老李已经病入膏肓了，这种情况的发生概率，应该不是1%。这个概率是 beta.
alpha 与 beta 的确是负相关，即前者越大，后者越小，但并非简单线性关系，而是一个相当复杂的关系，好像与整体的大小(size of the population)和样本大小(sample size) 以及方差都有关系。具体受几个变量的影响，没有查书，可能记忆有误。
老酒说的全对。我只是为了简化那个统计题的计算，因此也定义beta为1%。beta和alpha只有一个定性的此长彼落的关系，他们是可以同时为1%的。
是负相关如果测量选择的合理，如何相关不完全是统计样本的事情，是和测量有关的，不会有单纯从统计上推导出apha和beta的关系。测量过程对“真数据”（有病样本）和”伪数据“（无病样本）的处理需要具体分析。:)
如果老李查出阳性，那么他没病的概率是多少？
这道关系老百姓生死的问题竟然没人回答呢？
如果老李是人群中随机的一个人，而且检查出错也是完全随机的，那应该是一半对一半，50%吧，因为1%x99%（确实有）=99%x1%（被误诊）。但是如果已知老李是个花花公子嘛。。。
老马丁教授把这个问题提升到关系广大老百姓生死的高度
，那我就来试试。
首先我想问明白
如果答案是yes, 简单的 Bayes 就算得他没病的概率是50%。
人民群众放心了。原来就是个抛硬币的概率。
原来人民群众是非不能也，实不愿耳。懒得搭理这种小问题。
最好用不同的方法来检查。:)
设计题目时，如果outcome有两种，概率最好不要设为1/2，特别是当文章对象是非专业读者时。
为啥？
把复杂的问题给想简单了