主题：不是有关梦中情人的八卦 -- 荷子

来写点八卦，算作投名状，可是能力实在是有限，只好从最严肃与八卦距离最远的数学开始...

且慢，俗话说一个公式就能吓走一半的观众，数学，还八卦呢，别八卦不成坏了龙门的生意，马社长和平阿姨喜欢mm地主老爷还不得把俺交给刑部处置，想起机会主义者在刑部的遭遇俺就不寒而栗啊...

别急，先来个笑话：

杨振宁说，数学书分两种，一种是看了一页看不下去的，另一种呢——

是看了一行看不下去的。

什么，兔偶得？要砸砖？别急嘛。

再来句煽情的：（八卦也要尊重版权，出自ukim的heroes in my heart，俺向女神mm推荐充满乐趣哲理和八卦的科学木有得到回应，只好厚着脸皮再发一次）

怎么样，够煽情吧。

和老萨说的一样，费马那太窄的书边，伽罗华决斗前夜的手稿，也是人类智慧的结晶啊。

还有俺自己的——

夹带私货，还跑题了！

别急别急，还有一句呢：

怎么样？勉强可以算个有点禅意的相对论了吧。

书归正传，小时候最爱看的，小人书之后，是少年百科丛书系列，特别是其中的中国历史故事系列（个人感觉某些超过了《上下五千年）和外国科学家的故事系列。那个年代又恰好是所谓的科学的春天，于是乎这些八卦故事就深深地铭刻在俺的脑海里了。

后来又看了许多，《从一到无穷大》，《古今数学思想》，最近十年来，湖南教育的世界科普名著，复旦的西方数学文化丛书，上海教育的通俗数学名著译丛，特别是一本E.T.Bell的men of mathematics 商务版译名《数学精英》，哲人石丛书新译《数学大师》，那里面可是八卦众多啊。

嗯，从哪里开始呢，欧洲杯刚过去，奥运会又来了，响应尚书的号召，咱们从足球开始吧。

对，就从只用加减乘除证明足球是圆的开始...

啊，不是，是指用加减乘除证明足球就是足球...

呸！这都哪儿跟哪儿啊。

写到这里俺的本本蓝屏鸟...折腾半天上来一看，我哭，足球后面的都没了...伤自尊了，睡觉去...（后面那段是提前写好的）

声明一下，俺不是学数学的，顶多算个爱好者，之所以把这东西冒充八卦放在龙门，就是因为不敢去科经那边，那边的高手如云，人气仅次于青史，砖头横飞啊，肯定是不能收俺这种货色的。龙门这边，俺就厚着脸皮准备帮南瓜老大爷盖小厨房了。

什么，你还不知道南瓜老大爷？罚回去看看小木的梦中情人先。

土鳖太累了，让它休息休息吧，俺请槑赑。

• 上一篇在这里

您一定是图书管理员！而且大脑中配置最先进的连接管理器。

您一定是河道疏浚者！多少年的河泥下藏着的绣花针都能翻出来。

看来写上数学俩字的确吓跑了绝大多数的八卦爱好者...

关于人择理论唯心唯物的讨论才过去没几天，关于中医的讨论有轰轰烈烈的开始了，本来想起来说说关于数字的葱白和迷信的，打住，还是先说说足球。

先来看个足球，想偷懒，试试看直接链接图片

引自外链出处

这个更具真实感

引自外链出处

好了，进入我们的主题——证明足球为什么是现在这个样子的——足球的结构。

从哪里说起呢？当然要从已知条件谈起，别怕，不是数学，全是常识。

首先，足球是对称的，这一条貌似简单其实是最重要也是最强的条件，许多伟大的发明发现都来自于此，许多炸药奖也来源于此。即使你拿不到炸药奖，也至少能写本书，这就是——

其次，常常和足球联系在一起的一个词富勒烯（又叫巴基球或者大名鼎鼎的碳的第三同素异形体——C60，参见——《完美的对称-富勒烯的意外发现》，维基百科之富勒烯条目）

这个是看上去最不眼花缭乱的结构图

来自

比这个强多了

来自外链出处

比这个也强

来自外链出处

把五边形涂成红色更清楚些

来自外链出处

把足球和结构图放在一起看

来个展开图

以上两图来自外链出处

好了，看了这么多图，加上第二个常识（知识）——足球和富勒烯也就是C60结构相同，啥意思呢？足球有60个顶点

第三个常识就简单了，看看图，或者看看你踢过几万脚看过几万眼的足球——它是由正五边形和正六边形组成的。

问题开始：足球有多少个正五边形和正六边形组成呢？

好像，常识还不太够...

好吧，再加上几个，

对一个多面体，我们当然知道它有点，线（边）和面，重要的，是它们之间的关系。

第四个常识，五边形有五个顶点五条边，六边形有六个顶点六条边。（别打我！砖头请送南瓜老大爷厨房筹备处，谢谢！）

第五个常识，任何多面体，每条边由两个面公用（也很平凡）

第六个常识，任何多面体，每个顶点处至少有三个面，至多有五个面，具体到足球，就是三个面。

嗯，这个不太平凡了，需要解释一下。

至少三个面好说，俩面是不可能的。至多怎么说？

牵扯到正多边形的内角——

打住，我们不要公式！

好吧，正三角形一个内角六十度，正四边形（正方形）内角九十度，正五边形以上多少度不知道，但肯定大于九十度。

这总算常识了吧。算作准备常识6.1

要想把几个面围在一个顶点，这几个面在此顶点处的几个内角之和必须小于三百六十度。

为啥涅？

这个，要是等于三百六十度，就围不成个多面体，只能摊成平面了（比如四个正方形拼在一起），大于三百六十度更不用说。

这算作准备常识6.2

那么，只要没有三角形，任何多面体的每个顶点处都是三个面。常识6

这回必须是土鳖了，要是槑赑就不仅仅盖厨房了...

• 好题目

拿个足球过来数一下不就成了嘛。。。。。。。。。

阿姨说得对。不过数数本来就是数学的基础啊，再说了，俺这后面还有下呢。

===

看来无论科普还是八卦，都是个技术活啊，俺还需要学习提高。

感谢社长，感谢阿姨，感谢送花和没送花的朋友。

闲话少说，先把这个足球八卦完成了吧。

首先列出我们上次已经知道的常识

1.足球是对称的多面体

2.足球有60个顶点

3.足球由正五边形和正六边形组成

4.五边形有五个顶点五条边，六边形有六个顶点六条边

5.任何多面体，每条边由两个面公用

6.只要没有三角形，任何多面体的每个顶点处都是三个面

好了，开始数数。

假设一共有F5个五边形和F6个六边形

那么一共有 F=F5+F6个面，根据常识4，一共有 E=5F5+6F6 条边，V=5F5+6F6个顶点...

抱歉抱歉，要是这么算就完蛋了，再说我们的常识5和6还没用上呢。

每条边被用了2次，那么一共有 E=(5F5+6F6)/2 条边

每个顶点被用了3次，那么一共有 V=(5F5+6F6)/3 个顶点

然后呢？

嗯，实在不好意思，不得不引进一个公式了。这个公式是如此的大名鼎鼎，从这里可以引出一系列伟大的名字——高斯，欧拉，庞加莱，陈省身...和拓扑学，整体微分几何等等一系列数学分支...

打住打住，不说无聊的了，给公式吧

V-E+F=2

就是说，对于任何正多面体，顶点数（1维）-边数（2维）+面数（3维）=2

对于平面上的多边形自然也成立，只需要把它看成多面体的投影，最外面的轮廓算作一个面就行

这叫做多面体欧拉公式，这种交错和（奇数项为正而偶数项为负）的形式可以推广到高维，右面那个2是拓扑性质，称为欧拉示性数，一个更伟大的定理——高斯-博内定理把局部的曲率和这一全局拓扑性质联系起来，陈省身最大的成果就是给出了高斯-博内定理的内蕴证明。

说句题外话，关于这个公式的历史，有一本书叫做《证明与反驳》，读过之后可以知道，不仅仅是男人，女人，兄弟，组织不可靠，连逻辑，也不可靠。

怎么样？可以说颠覆性不亚于哥德尔不完备定理和海森堡测不准原理吧。开个玩笑，其实是更严谨，更深刻地认识了什么是证明。

好，有了这个公式，我们的足球数数问题就可以解决了，下面的计算完全是加减乘除。

V=(5F5+6F6)/3

E=(5F5+6F6)/2

F=F5+F6

因为V=60

那么5F5+6F6=180

那么E=(5F5+6F6)/2=90

V-E+F=2

那么F=32

F5+F6=32

5F5+6F6=180

那么F5=12，F6=20

结论，足球是一个12个正五边形和20个正六边形组成的多面体。

怎么样，是不是还是觉得很无聊很不八卦？

其实，阿姨说得对，我们还有个更好的方法——直接数数就知道了，而且，迄今为止，我们的常识1似乎还没有用到啊？别急

-------------------------下面是完全数数的方法-------------------------

好，让我们来看看足球，每个五边形的边上的五个图形是什么？每个六边形的边上又是什么？

五边形有5个对称轴，而5是个素数，所以——每个五边形的边上必须是5个一样的图形，才能保证对称，但我们可以知道，这5个一样的，不能是五边形，因为这样一来，只要整个足球上有一个五边形，所有的都是五边形了。

六边形有6个对称轴，可以有两种对称形式——全是一样的图形，或者两两相间的序列（您要是打过六个人的扑克游戏比如够级就很容易理解）也就是说可能每个六边形的边上全是五边形，或者3个五边形和3个六边形。

然而，因为每个顶点处有三个面，那么在五边形的一个顶点处的两个六边形，必然是相邻的，所以每个六边形的边上是3个五边形和3个六边形。

好了，我们再来看看这样两句话

每个五边形的边上是5个六边形

每个六边形的边上是3个五边形和3个六边形

您有什么结论？

五边形和六边形的比例是3:5

有了这个条件，我们就完全可以不用公式了

只要知道了

V=(5F5+6F6)/3=60和

F5:F6=3:5

同样可以得到

F5=12，F6=20

这就是伟大的对称

-------------------------完全数数的方法结束-------------------------

其实，还有更进一步的结论

回到C60

假如我们知道一个多面体只有正五边形和正六边形组成，那么有什么结论呢？

V=(5F5+6F6)/3

E=(5F5+6F6)/2

F=F5+F6

V-E+F=2

那么(5F5+6F6)/3-(5F5+6F6)/2+(F5+F6)=2

非常奇妙的，我们得到了F5=12

就是说，如果一个多面体只有正五边形和正六边形组成，无论有多少个正六边形，正五边形有且只有12个

当然，正六边形最少是0个，这时候就是正十二面体——每个面都是正五边形。

注意，下面的标示错了，是正十二面体。

好了，这个八卦就到这里吧，

最后还有几个小尾巴，究竟是现有的足球，还是先有的C60？

除了C60，还有C70等等，它们的结构有何特点？

为什么说足球其实是正十二面体或者正二十面体切出来的？而且，还是最简单最接近球的“半正多面体”？

正二十面体

通过对正二十面体截角生成的C60

从一个五边形出发画足球

为什么说正十二面体和正二十面体相互对偶？

为什么说只有5种正多面体（每个面都是相同的正多边形），柏拉图毕达格拉斯开普勒是如何把它和宇宙万物特别是行星轨道联系起来的？

找行星轨道图的时候

不小心发现原来有一篇这个了安德的游戏:【原创】闲谈科学之正多面体（续四）

哈哈，幸好咱没去科经版，还是在这儿有社长阿姨地主喜欢罩着好

看到qiaozi:【原创】今天的数学（系列）里面不爱吱声:数学太抽象了,的帖子，非常赞同，事实上，从某种角度上说，物理学就是几何学的实现。

我们的直觉也许很难超越函数和方程，但对于几何，无论是被许多数学家所崇拜的“对数学一窍不通”的埃舍尔的画（他画出了所有的17种二维平面分割（镶嵌）模式）还是简单的足球，这里面蕴含的美是我们每个人都能够体会的，而格式塔学派等心理学所注意到的错觉以及画家们所熟知的的射影原理，其中蕴含的的美学和哲学等深刻的哲理，也是我们每个人都会思考的。

埃舍尔的画

另一方面，对于数字和图形的迷信和崇拜却又从古至今从来没有停止过，倘若我们多知道一些，就会少被骗一些。马丁加德纳的一本《矩阵博士的魔法数》是戳穿这种数学占星术的很好的例子。

先到这里吧，八卦得不好，抱歉了。

===

• 老兄一片保卫西西河的热心，不必客气啦

这不是增加俺们八卦的深度和层次嘛, 建议送我们爱科学.

喜欢这个旋转的正二十面体

鲜花已经成功送出。

此次送花为【有效送花赞扬，涨乐善、声望】

那才叫热闹。

那边高手如云，眼前有景题不得啊

社长你可不能赶偶走啊，飞远送信肯定把内容偷看并修改了...

鹿鹿社长和和平阿姨已经给与了鼓励和批评，要是再来个群...那简直令人发指了