主题：【原创】科普--混沌预测 -- 秦关

看了几个月的书，趁没忘写个科普，从预测的角度谈混沌。最近比较忙，不想再去翻文献了，有疏漏之处欢迎指正。

在混沌被发现之前数据通常被分为两种有确定解的和随机的。在理想条件下，给定一个小球初速度和地面阻力，可以算出小球在任意时刻的速度，这是有确定解的；商场每天来多少人是随机的，只能用概率来统计，精确度差了。随机和确定之间似乎有不可逾越的鸿沟。笛卡尔那个时代的科学家确信，只要给出准确的方程和初始条件，他就可以象钟表一样推算出宇宙任何时刻的状态，但事实真的如此吗？随机量是怎么来的呢？

混沌的发现在确定量和随机量间架起了梁。通俗的讲，混沌量是一个确定方程（组）的解，每一个数都是必然的，但如果单看这些解，她们在统计上是随机的——确定的方程可以得出随机的数。反过来随机数背后是不是也有确定的方程？如果是的话就可以准确的预测“随机数”了！这是个激动人心的发现。

下面给出下面给出logistic方程：

x(n+1)=4*x(n)*(1-x(n))

初始x(1)=0.41，下图是迭代的前100点

通常得到一组数据判定是混沌的之后也无法得知其背后的方程，要想预测还要另想办法，其中之一是局域法，基于相空间重构。

（待续）

挑几个typos

我想你指的是Laplace，Descartes 1650年去世，那时人们还不懂微分方程和初始条件。

这里多打了-1

不过那个函数图里有很多类似抛物线的区间，一看就不是随机的啊。

一般认为，混沌是由很多个周期量组成的，这些周期量没有一个主导，因此表现出来的是混乱。那些抛物线看起来象，又不全象，出现的频率也不太固定。下图是上文数据的傅立叶变换，看不到主要的周期，有几个高峰

混沌和随机在频域的区别主要是，随机（主要指白噪声）均匀的分布在整个频域内，混沌的频域图是连续的、有高峰或者高原（应该说是在功率谱中，因为傅立叶变换是复数）。

混沌时间序列预测的基础是状态空间的重构，1980年由Packard等人提出了混沌时间序列的预测重构思想，1981年Takens在拓扑学嵌入理论基础上，提出了时间序列的延迟相空间重构和嵌入定理。其主要思想是：系统任一分量的演化是由与之作用着的其他分量决定的。因此这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。这样就可以从某一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出原来的规律。

比如气温受日照、阴晴和季节等因素影响，记录气温的数据包含着这些影响因素的信息（临时想的例子，不一定严格）。具体方法是：

对于时间序列X=[x(1),x(2),……,x(n)],延时t采样，构成m维状态空间，即

X1=[x(1) ,x(2) ,……, x(p)

x(1+t),x(2+t),……, x(p+t)

. .

. .

. .

x(1+m*t),x(2+m*t),……,x(p+m*t)]

t称为延迟时间，m为嵌入维，每一列代表空间中的一个点。Takens定理说明在已知嵌入维空间可以把有规律的轨迹恢复出来。

还以上面的logistic方程为例延迟时间取1，嵌入维数取2，相空间重构入下图：

可见在相空间中变的很有规律了：集中在一定的区域内，有一定的结构，如果嵌入维数足够使这个结构没有任何交叠，就可被称为吸引子了，logistic方程需要3维。

局域预测：

先画上图取18点的相图，

最上面的三个红圈由左到右分别是4，17，10点，右下角的是5，11。在相邻区域内的点在下一时刻有相近的趋势，因此预测１８点只要找到１７点相临的４，１０，再根据

x(5)=a+b*x(4);x(11)=a+b*x(10)

计算出a,b，再代入x(17)就可以了。事实上18点是右下角没画红圈的点。实际应用可以多选几个点，用最小二乘法计算a,b；上面方程是一阶线性的，也有用0阶、2阶、3阶……的，还有神经网络、支持向量机等方法。

混沌短期可预测性与长期不可预测性

还以logistic方程为例子，初始值分别选为0.41、0.42，数据如下图：

开始1、2个点还接近，不出几步就差别很大了。这是混沌的一个特征：微小的误差以指数形式增长，连续多步预测累计误差迅速增大，因此只能做短期预测。这也可以解释为什么混沌系统对初始值非常敏感，初始一个微小的差别会导致后果巨大的差异，即蝴蝶效应。

上世纪80年代有一本介绍混沌的科普《上帝掷骰子吗》，书名来源于波尔和爱因斯坦在量子力学中对确定性和不确定性的争论。在混沌学中这句话可以这样理解：虽然理论上知道了骰子的速度、力矩、与空气和桌面的摩擦力等可以计算出骰子最终的点数，但这个过程如果是混沌的，这些条件要求精确到无穷位数，人是无法做到这一点的，所以对人来说掷骰子是偶然事件；对上帝（或者可以理解为自然）来说综合考虑这些因素，他得到的结果是必然的。

前一段时间讨论地震是不是可以预测，说下我的猜想。首先要寻找一个或几个量，这些量发生异常的时候意味着地震发生；其次要证明这些量的变化是混沌的；第三要积累很多数据，这可以从络伦兹对天气的预报方法中得到启发，络伦兹发现大气运动是混沌的之后曾运用混沌预测天气：根据今天的气象图寻找历史上与今天相近的日子，历史上的第二天就是明天的天气。但他只有400多个气象图，数据不够，所以效果不好。这个方法是可行的，实际这就是上文提到的0阶预测，看90年代的书介绍，当时对台风等剧烈变化天气的预测就是用这个办法，不知道现在怎么样了；第四相空间重构嵌入维数和延迟时间的选取很重要，直接关系到预测结果，探讨相空间中的规律也是件复杂的事。

混沌学是新兴的科学，有许多东西还不成熟，但她开启了一扇门，使我们对的世界有了新的认识，有能力去探讨精彩纷呈背后的秘密。

“功率谱”是自相关auto-correlation的傅里叶变换。这里的应该就是频谱的幅度吧。

不知道混沌能不能看作一个随机过程？如果可以的话，它是平稳过程吗？感觉不太像。

例子里面那个m维状态空间X1可以用来算自相关，那么相空间是否和自相关有关呢？

混沌从统计上是随机过程，但如果只看成随机过程就亏大了，它的规律性还是很强的。是不是平稳过程就不知道了，我随机过程没学明白-_-!!

功率谱图我图省事，按直接法计算的，是频谱的幅度（没除数据长度-_-!!）。

自相关在计算延迟时间时有重要价值，复自相关法求延迟时间就是自相关在高维空间的扩展（相点中各量不能关系太弱，也不能太强，一般取下降到初始值的1-1/e）。

看了下我写的关于傅立叶变换和功率谱，有点混乱，重新说明下。

功率谱估计有直接法和间接法。直接法就是傅立叶变换，再取幅值的平方，再除以数据长度；间接法就是你说的求自相关函数的傅立叶变换，间接法当数据较少时，计算量不是很大，因此在快速傅立叶变换出现之前常用。

我画的功率谱图是傅立叶变换的幅值，没平方，没除数据长度，大体趋势是一样的。

功率谱密度的定义就是自相关函数的傅里叶变换。信号傅里叶变换幅度的平方是“能量谱密度”。

能量谱密度考察的是均方可积也就是能量有限的信号。均方不可积的随机信号有无限能量，只能考察功率。如果这个随机过程是宽平稳的，那么根据维纳辛钦定理，它的自相关函数的傅里叶变换就是功率谱密度。所以我看到你提到功率谱，才会问混沌信号的平稳性。因为，如果不平稳，就不好说功率谱了。另外你还提到白噪声的功率谱是平的，你可以试试用你说的“直接法”能不能得到一个平坦的谱。

上花一朵，请继续说混沌吧

让我想起编程里的伪随机。本来我就觉得人的记忆跟缓存的工作方式有点象，这样我就更觉得我其实是虚拟的。。

能不能理解成，虽然命运不可预测，但是命运是注定的。。

我还是更喜欢去掉一些必然性的量子世界。。

直接法是1899年提出来的，间接法是1958年提出来的，这里有个链接http://cache.baidu.com/c?m=9d78d513d9d437ab4f9d97697d60c010184381132ba7d5020cde8449e3732b4a5015e7ac56220775a0d27d1716de4d4b9cf52173471450bc8cb98a5dadca85592b9c60742e13dc0754910eaeb85b389b7b875a9eff4abcecb72593d9838e8049139d005b24dbbbcc47504a973aed4f77b4f984181f5841b9ba6132f80e752ecc7041bc17fce2303f0dd6a5ca5c3b996c8f3f&p=8b2a950a968301ff57ebd2347f&user=baidu

两种方法都用到了。

随机过程讲谱密度只讲间接法，以前还真没注意到呢，会不会是不同领域侧重点不同？

是整个系统的一部分，一切变化人也参与其中，也会对其他事物产生影响。未来不是注定的。

只是这个系统太大了，我对她仍然充满了敬畏。