主题：偶感 -- tom

一直不是太明白实数要通过p/q来定义。最近读苏联人写的书《数学-它的内容方法和意义》才明白其中历史渊源。话说这种一边讲数学，一边上纲上线讲辩证唯物主义，批驳唯心主义的书读起来很带感。另一方面唯心著作《一个数学家的自白》也写得相当精彩了。

不知道有没有写这两派数学家典型人物典型故事书出来。

其实数学本来就应该是知识、方法、思想一块讲的。

不是取p或q这个符号的原因，而是用他们比值（分数）的原因。

我曾经以为实数是整数的自然衍生，是数，直接定义他的性质就行了，就像虚数i一样，先有概念再说，最符合直觉的定义是小数，而不是分数。

事实上，虽然高度的抽象性是数学的一大特点，唯物主义的观点认为它的一切抽象性都有其客观世界的对应。

具体到实数而言，它对应的，或者说它要抽象表达的，是现实世界的“连续性”。牛顿的《数学原理》提到：“我们与其把数理解为单位的集合，　不如把数理解为某个量对另一个被取作单位的量的抽象的比。”

从数学的西方起源来说，数早期对源于古埃及的土地测量，后来古希腊人学过去了，对古希腊人一切数学都是几何．在那个几何压倒一切的时期，实数的缘起和发展就是线段／面积／重量的比来比去（测量）中，不能整除，理论与实际的矛盾及其解决过程。

简单说，实数用比来定义，一是因为客观历史需求，以及在数学的某一发展阶段几何对算术在历史上的压倒地位，　二是它本质不是用来记数，而是表达客观世界的绵绵不绝连续性。

我不是学数学的，这只是我读亚历山大诺夫的《数学概观》的体会，不一定全面准确。

上面特意提到西方，是因为，在我看来，中国古代工程技术冠绝全球的发达，数学不可能差，只不过没有独立发展成为一门学科，给个标签，于是现代数学才采用了西方的一套历史叙事。

虽然不是数学专业，数学也是从初等数学到现代数学，我还从来没有读过这样一篇从哲学高度概述／讲述数学的。这种讲述方式应该说有其历史背景。

最近也读了一些美国人写的数学史书，感觉没有这套书书整体性，哲学性强，更多是从历史叙事角度，相比之下感觉有点散。

就像我们的教材，从来没人告诉我为什么在什么阶段要学这个。为什么小学叫算术，中学叫代数和几何，大学叫高等数学／线性代数／复变函数／概率与数理统计，研究生叫现代数学。

可惜我上大学的时候没有读到这本书，不然我可能对数学投入更多精力。原版是１９５６年的，图书馆里应该有早年版的。

我怎么记得有理数才用两个整数的比呢？无理数例如根号2不能表示为两个整数的比啊。

重点是比。无理数产生于这个困惑：古人测量等腰三角形的斜边比直角边表达不了了。亚历山大诺夫说的，我不背锅。

更新：

你的提问然我又有点迷糊了，我又翻了一下书：

“实数是脱离了具体性质来加以考察的一般量的比。”

“这个数（即比）可以是整数，有理数，或者当给定的量与单位不可通约时，是无理数。”

有理数的概念在这篇文章里基本是个提一下的概念，没有特别里程碑的意义。

教材……不提了

我娃其实很痛苦，每天被老师追着“纠错”，因为老师看不懂她的解题过程，但答案又显然是对的。

我的意思是说，从教育的角度来看，数学教学是很不成功的。

这个例子就是“相遇问题”。

比如甲、乙从两地同时出发，相向而行，甲的速度3km/h，乙的速度是2km/h。按我们常规讲法，就是时间相同，速度比就是路程比，故而甲程：乙程=3：2……

但我认为这样讲太粗糙了，孩子们并不能真正的理解“相遇问题”：

1.我先将原题变为：两只毛毛虫分别从叶子的两端开始啃树叶，大毛毛虫一分钟啃三口，小毛毛虫一分钟啃两口。是不是跟原题一样呢？这个比较容易接受。

2.我继续变：两个工人一块搬箱子，甲从左边开始搬，乙从右边开始搬，甲一趟搬三个箱子，乙一趟搬两个箱子。是不是跟原题一样呢？这个也能接受。

3.但如果接下来问：两个工人显然是在一块合作搬箱子，为什么两只毛毛虫就不是合作啃叶子，原题中的两个人为什么就不是合作走完一段路呢？

这对孩子们来说，就是一次强烈的冲击，一次头脑风暴。

于是我们会说：对啊，相遇的本质就是合作啊！

这样就将表象中的相遇问题转换成了本质上的合作问题。

那么合作我们又该如何理解呢？合作是不是可以“合体”呢？原题是甲乙两人，是不是当成是一个巨人的左脚和右脚呢？两只毛毛虫是不是可以理解为一只双头毛毛虫呢？两个搬箱子的工人是不是可以当成是一个巨人的左右两只手呢？这种“合体”的背后到底是什么呢？是对“整体与局部之关系”的理解。

除了这种“合体”，是不是还有另一种“合体”呢？原题甲乙合体为一个人，速度为5km/h；毛毛虫合体为一只超大毛毛虫，一分钟啃五口……这第二种“合体”的背后到底是什么呢？是对空间序的理解与重构。

仅仅只有这些吗？不，还有。如果仔细体会一下，就会发现传统讲法的立足点是“加减式”，是以甲程+乙程=总程为出发点的；而将相遇问题转换为合作问题后，就回归了问题的本质，即以路程=时间*速度为核心关系式来展开研究。这两种思路看起来似乎都有理，但如果我们切换到混合运算，就会发现：

路程÷（甲速+乙速）

这个算式它是一个除式，而并非是一个加式。这也就是说，传统讲法讲的是这一问题中的次要问题，即加式；合作讲法讲的是这一问题中的主要问题，即除式。

他的局限就在于他没有认识到“语言始终是有局限的”，不过他后面应该是意识到了，所以发现“宗教所倡导的抛开语言来与神相会，即经验到神的存在”才能破解“康德的二律背反”。

具体而言，或可以这么简单的来说：所谓有理数，就是在度量时并没有意识到“度量的角度是180°”，是特殊情况。所以“一切数都是可比数”这种说法并不成立，也就是说并不能总是可以用“辗转相除法求得两数的公约数”，因为存在“无限循环”的情况，这里的 无限循环并非是指无限循环小数中的无限循环，而是指无法用“辗转相除法”求得正方形的对角线与边长的公约量。所谓无理数，就是把角度考虑进去了，这也就是后来出现的“余弦定理”。故而从“意会”的角度来，无理数才真正表述了连续量。可是，虽说三角函数是用来解决“直曲互换”问题的，然而难点却是角度如何表述连续？我们有办法吗？这就好比问：人类有办法抓住自己的头发将自己提起来吗？这不光是数学语言的“死穴”，而是一切人类语言的“死穴”。这是第一个问题。

第二个问题就是你后面提的那句话：中国数学不可能差，但为什么后面没落了呢？有人说，这是因为中国人不讲系统，而西方人重视体系的构建，然而这种看法可以说是相当片面的，当今对“系统”的迷信已经达到了空前的程度，而忘了一个最简单的事实：所谓序，既包含了有序也包含了无序，所谓变，既包含了变也包含了不变，所谓系统，既包含了系统也包含了非系统。

只是历史上一个阶段的认识，也不是亚历山大诺夫在文章中最后采纳的定义，相反他认为所有的数学定义都会向前发展的。

但我读到这儿时，是焕然大悟的一个点，仿佛发现了历史真相。我以前的误区思维是实数是个数，正是牛顿的“与其”部分。

中国在近现代数学没多少位置，这本书也给了我一些想法。

亚历山大诺夫认为符号语言体系的建立是数学发展的必须， 汉字却是反符号的。几千年来，用乎也矣这些词作句读，标点符号的广泛采用好像是新文化运动后。

所以中国几乎不可能产生现有形式的数学学科体系。但是数学知识毫无疑问用在了历史上的所有工程成就里面里，比如桥梁。因为不自成体系，所以没有像文史哲那样精细的分类和记载，失传不少也未可知。

无理数也能通过p/q来定义?