主题：偶感 -- tom

或者等腰三角形的弦除以勾，股？

那还有什么好讨论。对任意实数r，令p=2r，q=2，则r=p/q。

相向是合作，那背向是对抗呢，同向了，竞争？

隐藏在这题背后的是矢量的概念，也就是有方向的量，如果让小孩明白有些量是有方向的，有些是无方向的，我觉得就够了。了

新的概念的引入，就是因为原有概念和现实的矛盾。

当出现无理数比值的时候，引入实数来代表就是调和这个矛盾。

我原有的成见在于，没有深刻认识到实数与比值的联系。从数学的发展历史来看，正是对比值的研究导致了实数的概念。

对我们现代人来说，常常会因为教学的关系，倒置数学定理/公理的推导关系。倒不一定是坏事，说不定在某个平行宇宙，这些定理的认识就是相对我们逆序。反正重要的是定理/公理本身。

是因为，孩子成长中，能有父母的亲自陪伴，而不是外包给各种学习班，是最大的福气。对双方都是其实。

大概地说历史上是这样地（西方）：人类最早认识的数是自然数，而自然数是离散的，扩展到有理数仍然是离散的。上升到哲学就是原子论，貌似当时占主导地位（其实现在貌似也是），也就是说万事万物，包括数都应该由”单元“组成。但是几何对象确实是连续的，没法全部用有理数表示，但不能这样就不研究几何了啊。所以古希腊人就回避了这个问题，改用“量”的“比”来描述：比如两条线段，其长度是量，这个量可以用p，q表示，不管这两个量是不是可以用数来表示，只要它们能”比“就行，而什么是”比“呢，汉语里直接顾名思义，就是用来比较大小（包括相等）的意思。《几何原本》说：”比是两个同类量之间的一种大小关系“。这样就用”量“的”比“回避了不能用”数“来比较大小的缺憾。

后来人一琢磨，这样做太麻烦了，干嘛不直接把”能比较大小的东西“都叫成”数“呢？管它是什么东西。这样就抽象出了”实数“。

实数出现之前，（几何）”量“不能全用”数“表示。但”量“可以比较大小，也就是”比“。

后来人们把这个关系倒过来了：能”比“的都是”数“，因此”量“就都可以用”数“来表示。所以一切都可以在"数"的框架内讨论。

可能还要加上能进行四则运算

你说的“比”，是比较（comparison），还是比值（ratio）？或者你觉得两者没区别？注意楼主说的“比”可是实实在在的比值（p/q）。

如果是比较，我没意见，现代实数理论的确是用比较和排序来定义实数的，但是比较不一定需要用除法。

如果是比值，恕我不能苟同。例如如果e+pi=p/q，麻烦你说说pq分别是什么？别告诉我p=2e+2pi哟。

是两个概念的比，还是两个测量结果的比，还是两个“实在”的比值呢？

两个概念的比，是不是有种用结果解释原因，用一个式子的变形再带回这个式子的嫌疑呢

两个测量本身没的说

两个“实在”的比，那么两个实在肯定不会同时“有理”

p, q都是量，比“数”更高一点的抽象概念。

我可能借用了大家熟知p,ｑ这两个字符，误导了你的，让你有了过于实在化的联想联系。

亚历山大诺夫也是这么说的。数学家纠缠连续性几千年，直到近代才有了比较满意的理论体系，比实际应用玩了很多年。

以前以为连续性这是只是物理学家的事，粒子还是量子的问题。现在看来牛顿，莱布尼兹既是物理学家也是数学家真不是偶然。

亚历山大诺夫的说法是，不是古希腊人是回避了算术，而是一切现实问题都是几何问题，所以都从“形”上考虑问题。真相只有穿越回去问古希腊人了。

看了一下目录，很不错的样子。

因为这是历史问题， 您不管同意还是不同意都不能穿越回古希腊讲理去不是。

《几何原本》卷V说：”比是两个同类量之间的一种大小关系“。

句读并非是简单的依靠标点符号，虚词虽无实意但有“声”，故刘大櫆说“我之神气即古人之神气，古人之音节都在我喉吻间”。我女儿第一次接触就喜欢上了文言文，全仗有声虚词之韵律美。这样来看，无声的标点符号毫无美感可言。

另外，西方对数学发展的一大贡献是发明了公式，从语言的角度看，公式就好比是自然语言中的句子，以前是没有句子的。所以说，“先乘除后加减”这种口诀其实是有害的，既然是句子，那就要先断句，“+”、“-”作为断句符，级别要高于“×”、“÷”，应该是“先断句后运算”。