主题：【智慧一下】看看怎么做这道题阿 -- 坏坏哥

十三个球，外形都一样，其中十二个球重量一样，另外一个球重量跟这十二个球重量不一样，不过人手是无法感觉出来的，现在只给你一个天秤，只能测三次，把那个不一样的球挑选出来。

有办法没？

我认为是相当复杂滴，

——如果完全由自己想出这解决办法。

——如果还能清晰地表达这解决办法。

有的人说这个题很容易，BS 他/她！

将球编号1至13号，并用》表示天平称量左重右轻，《表示左轻右重，＝表示左右一样重。

甲、第一次　若１２３４＝５６７８

　　　　第二次　若１２３　＝　９　１０　１１　得知　１２或 13号次

　　　　　　第三次 很简单

　　　　第二次　若１２３　《 ９　１０　１１ 　（因１２３为好球，故次品较重）

　　　　　　第三次　９＝１０　 　得知　１１号次

　　　　　　第三次　９《１０　　　　　得知　１０号次

　　　　　　第三次　９》１０　　　　　得知　９号次

第二次　若１２３　》 ９　１０　１１ ...

乙、第一次　若１２３４＜５６７８

　　天平两边一边取掉一球，一边取掉两球，假定左边取走１２，右边取走８，并从已知好球中取一个补在左边，记为Ａ；然后从两边各取一球（Ａ球以外）的球进行交换，假定交换的是４号与６号，并进行称量，得如下结果：

　　　　第二次：若３６Ａ＝４５７，次球在１２８号中，取１８与两好球（ＡＡ）

　　　　　　第三次　１８＝ＡＡ　　　　得知　２号坏

　　　　　　　　　　１８》ＡＡ　　　　得知　８号坏（若１号坏，应左边轻）

　　　　　　　　　　１８《ＡＡ　　　　得知　１号坏（类似上面）

　　　　第二次：若３６Ａ》４５７，此时３５７号为好球（否则不能左重右轻，见与第一次比较），再取４６与两好球比较：

　　　　　　第三次：４６＝ＡＡ　　　　（不可能，因４６必坏其一）

　　　　　　　　　　４６》ＡＡ　　　　得知　６号坏

　　　　　　　　　　４６《ＡＡ　　　　得知　４号坏

　　　　第二次：若３６Ａ《４５７，此时４６号为好球（否则与第一次矛盾），取３７号与两好球比较：

　　　　　　第三次：３７＝ＡＡ　　　得知５号坏

　　　　　　　　　　３７《ＡＡ　　　得知３号坏

　　　　　　　　　　３７》ＡＡ　　　得知７号坏

丙、第一次：若１２３４》４５６７，参考乙类情形。

有的是知道某一个球比其他的重或轻，有的是如本题根本不知轻重。

解决的关键，我认为，是把每个球先编号，再分组。然后怎么称重比较的过程就相对简单了。

如果没有编号这一步，每个球看起来都一样，便无从下手。

另外问题的问法也是有微妙区别的。这里问最多（或只能）称三次，如何称。

还有的是问最少要几次才能找出那个不同重量的球。答案是两次。

设想取两个球在天平两侧称，凑巧重量不一样。但是不知道是轻球比其他球轻还是重球比其他球重。于是要第二次称量。任意用第一次称量中轻或重球中的一个和另外的任意一个球称，还是轻或重的便是那唯一的另类。如果重量一样，则第一次称量时的另一个球为另类。

如果知道这个另类的球比别的重还是轻，3次可解了。

否则，问题很严重。

比如你的第一种情况，假设得知不同的球在12和13号里，可是你不知道这个不同的球到底是轻还是重，所以还是没法确定到底是谁。

参见:

Cover T.M. and Thomas J.A. "Elements of Information Theory"

第二章第13道习题.

这个题目难么......

这个问题我想：

天平两边每盘放5个球，余3个。如果天平平衡，那么这余下的3个球两步就可以分出不一样的球咯。

如果天平不平衡......

用天平每次称量会产生3个结果: "<","=",">".

故而三次称量产生3*3*3=27个结果.

{十三个球, 一个球重量跟其它十二个球重量不一样} 这共有26种可能性,因此找出"坏"球原则上不是不可行.

在设计称量的方案时,须要注意的是: 均衡地划分概率空间.

例子:

"天平两边每盘放5个球，余3个。"

如天平平衡, 那么余下的3个球一球为次, 共6种可能, 而两次称量给出3*3=9种可能性, 故而不是不可行. 但若天平不平衡, 那么就还剩10种可能性. 两次称量绝对无法决定何者为次. 所以此方案一开始就应被否决, 而不必再在这条路上花脑筋了.