主题：求教一个统计问题，多谢 -- 无花

我是学生物的， 遇到一个问题， 不知道什么样的statistical test合适，希望大虾指

点一二。

用仍硬币做比方。

每个trial仍100次，记录多少次正面。

重复1000个trial，（每个trial会有不同的条件， 比如不同的人， 不同的房间等）。

这样就有1000个数据， 问用什么样的test可以判断这个硬币是不是fair？

多谢。

你这个是“产生随机数”的问题吧？就是说是“真随机数”还是“伪随机数”的问题吧。有专门文章讲这个东西的。

具体到仍硬币，1000个trial，可一用大数定理了。这个硬币如果是fair，在正、反面占百分比的坐标下，应该是以（0.5,0.5）为中值的正态分布？

为了比较100和1000次的分布？

说英文吧。术语熟一些。

It is related to a Monte Carlo simulation.

1. You calculate the number of heads for each trial, for 1000 times. Call the value y1 to y1000. You have a distribution of 1000 y values.

2. You calculate the average of these 1000 y values and call it X. X is the sample mean of your distribution.

3. According to the central limit theorem, X follows a normal distribution. You can use this distribution to test your hull which is 50 (a fair toss out of 100). The test stat is: z= (X-50)/s/sqrt(1000), where s is the variance of a binomial distribution of 100 tosses: s=100*(0.5)*(1-0.5)=25. Compare z with a standard normal distribution table, or a t-dist table. A rule of thumb is that in order to not reject the null, z should be smaller than 1.96.

Hope it helps.

你的问题抽象一下就是

假设第i次trial硬币是正面的概率是p+ai。p是真正的概率，ai是不同的人，不同的房间额外的影响。

假设ai~N(0,sigma^2)

每次trial,

xi|p,ai~Bin(p+ai,100)

使用Central Limit Theorem, 平均数xibar大致是正态分布。

xibar|p,ai~N(p+ai,(p+ai)(1-p-ai)/100)

那么

f(xibar,ai|p,sigma^2)=f(xibar|p,ai)g(ai|sigma^2)

(g(ai)是marginal distribution of ai)

对ai积分，你可以得到marginal distribution of xibar

根据这个你可以写出xibar的Likelihood Function，使用Maximum Likelihood估计p和sigma^2，然后套用各种aysmptotic tests就是了。

H0：p=0.5

Likelihood Ratio Test是说

2(L(p=0.5)-L(p=p_mle))大约是chi-square分布，自由度是1。